专题33 圆中的存在性综合问题解析版.docx
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专题33圆中的存在性综合问题解析版
专题33圆中的存在性综合问题
1、如图,AB、CD是⊙O中两条互相垂直的弦,垂足为点E,且AE=CE,点F是BC的中点,延长FE交AD于点G,已知AE=1,BE=3,OE=.
(1)求证:
△AED≌△CEB;
(2)求证:
FG⊥AD;
(3)若一条直线l到圆心O的距离d=,试判断直线l是否是圆O的切线,并说明理由.
(1)证明:
由圆周角定理得:
∠A=∠C,
在△AED和△CEB中,,
∴△AED≌△CEB(ASA);
(2)证明:
∵AB⊥CD,
∴∠AED=∠CEB=90°,
∴∠C+∠B=90°,
∵点F是BC的中点,
∴EF=BC=BF,
∴∠FEB=∠B,
∵∠A=∠C,∠AEG=∠FEB=∠B,
∴∠A+∠AEG=∠C+∠B=90°,
∴∠AGE=90°,
∴FG⊥AD;
(3)解:
直线l是圆O的切线,理由如下:
作OH⊥AB于H,连接OB,如图所示:
∵AE=1,BE=3,
∴AB=AE+BE=4,
∵OH⊥AB,
∴AH=BH=AB=2,
∴EH=AH﹣AE=1,
∴OH===1,
∴OB===,
即⊙O的半径为,
∵一条直线l到圆心O的距离d==⊙O的半径,
∴直线l是圆O的切线.
2、如图,直径为10的⊙O经过原点O,并且与x轴、y轴分别交于A、B两点,线段OA、OB(OA>OB)的长分别是方程x2+kx+48=0的两根.
(1)求线段OA、OB的长;
(2)已知点C在劣弧OA上,连结BC交OA于D,当OC2=CD•CB时,求C点的坐标;
(3)在⊙O上是否存在点P,使S△POD=S△ABD?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解:
(1)连接AB,
∵∠BOA=90°,
∴AB为直径,根与系数关系得OA+OB=﹣k,OA×OB=48;
根据勾股定理,得OA2+OB2=100,
即(OA+OB)2﹣2OA×OB=100,
解得:
k2=196,
∴k=±14(正值舍去).
则有方程x2﹣14x+48=0,
解得:
x=6或8.
又∵OA>OB,
∴OA=8,OB=6;
(2)若OC2=CD×CB,则△OCB∽△DCO,
∴∠COD=∠CBO,
又∵∠COD=∠CBA,
∴∠CBO=∠CBA,
所以点C是弧OA的中点.
连接O′C交OA于点D,根据垂径定理的推论,得O′C⊥OA,
根据垂径定理,得OD=4,
根据勾股定理,得O′D=3,
故CD=2,即C(4,﹣2);
(3)设直线BC的解析式是y=kx+b,把B(0,6),C(4,﹣2)代入得:
,
解得:
.
则直线BC的解析式是:
y=﹣2x+6,
令y=0,
解得:
x=3,
则OD=3,AD=8﹣3=5,
故S△ABD=×5×6=15.
若S△ABD=S△OBD,P到x轴的距离是h,
则×3h=15,解得:
h=10.
而⊙O′的直径是10,因而P不能在⊙O′上,
故P不存在.
3、如图,B,E是⊙O上的两个定点,A为优弧BE上的动点,过点B作BC⊥AB交射线AE于点C,过点C作CF⊥BC,点D在CF上,且∠EBD=∠A.
(1)求证:
BD与⊙O相切;
(2)已知∠A=30°.
①若BE=3,求BD的长;
②当O,C两点间的距离最短时,判断A,B,C,D四点所组成的四边形的形状,并说明理由.
(1)证明:
如图1,作直径BG,连接GE,
则∠GEB=90°,
∴∠G+∠GBE=90°,
∵∠A=∠EBD,∠A=∠G,
∴∠EBD=∠G,
∴∠EBD+∠GBE=90°,
∴∠GBD=90°,
∴BD⊥OB,
∴BD与⊙O相切;
(2)解:
如图2,连接AG,
∵BC⊥AB,
∴∠ABC=90°,
由
(1)知∠GBD=90°,
∴∠GBD=∠ABC,
∴∠GBA=∠CBD,
又∵∠GAB=∠DCB=90°,
∴△BCD∽△BAG,
∴==tan30°=,
又∵Rt△BGE中,∠BGE=30°,BE=3,
∴BG=2BE=6,
∴BD=6×=2;
(3)解:
四边形ABCD是平行四边形,理由如下,
由
(2)知=,=,
∴=,
∵B,E为定点,BE为定值,
∴BD为定值,D为定点,
∵∠BCD=90°,
∴点C在以BD为直径的⊙M上运动,
∴当点C在线段OM上时,OC最小,
此时在Rt△OBM中,==,
∴∠OMB=60°,
∴MC=MB,
∴∠MDC=∠MCD=30°=∠A,
∵AB⊥BC,CD⊥BC,
∴∠ABC=∠DCB=90°,
∴AB∥CD,
∴∠A+∠ACD=180°,
∴∠BDC+∠ACD=180°,
∴AC∥BD,
∴四边形ABCD为平行四边形.
4、如图,⊙O是△ABC的外接圆,过点A、B两点分别作⊙O的切线PA、PB交于一点P,连接OP
(1)求证:
∠APO=∠BPO;
(2)若∠C=60°,AB=6,点Q是⊙O上的一动点,求PQ的最大值.
(1)证明:
连接OA、OB,
∵PA、PB是⊙O的切线,
∴OA⊥PA,OB⊥PB,
在RT△PAO和RT△PBO中,
,
∴RT△PAO≌RT△PBO(HL),
∴∠APO=∠BPO;
(2)解:
∵PA、PB是⊙O的切线,
∴∠PAB=∠PBA=∠C=60°,OP⊥AB,
∴△PAB为等边三角形,
延长PO交⊙O于Q,连接AQ、BQ,则此时PQ最大,
∵∠APB=60°,
∴∠APO=∠BPO=30°
∴PQ=2×AP=2×AB=2××6=6.
5、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD,连接CD交AB于点M.E是线段CM上的点,连接BE.F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点,连接EF,BF.
(1)求证:
△BEF是直角三角形;
(2)求证:
△BEF∽△BCA;
(3)当AB=6,BC=m时,在线段CM上存在点E,使得EF和AB互相平分,求m的值.
(1)证明:
∵∠EFB=∠∠EDB,∠EBF=∠EDF,
∴∠EFB+∠EBF=∠EDB+∠EDF=∠ADB=90°,
∴∠BEF=90°,
∴△BEF是直角三角形.
(2)证明:
∵BC=BD,
∴∠BDC=∠BCD,
∵∠EFB=∠EDB,
∴∠EFB=∠BCD,
∵AC=AD,BC=BD,
∴AB⊥CD,
∴∠AMC=90°,
∵∠BCD+∠ACD=∠ACD+∠CAB=90°,
∴∠BCD=∠CAB,
∴∠BFE=∠CAB,
∵∠ACB=∠FEB=90°,
∴△BEF∽△BCA.
(3)解:
设EF交AB于J.连接AE.
∵EF与AB互相平分,
∴四边形AFBE是平行四边形,
∴∠EFA=∠FEB=90°,即EF⊥AD,
∵BD⊥AD,
∴EF∥BD,
∵AJ=JB,
∴AF=DF,
∴FJ=BD=,
∴EF=m,
∵△ABC∽△CBM,
∴BC:
MB=AB:
BC,
∴BM=,
∵△BEJ∽△BME,
∴BE:
BM=BJ:
BE,
∴BE=,
∵△BEF∽△BCA,
∴=,
即=,
解得m=2(负根已经舍弃).
6、
(1)如图,∠ABC是⊙O的圆周角,BC为⊙O直径,BD平分∠ABC交⊙O于点D,CD=3,BD=4,则点D到直线AB的距离是
(2)如图,∠ABC是⊙O的圆周角,BC为⊙O的弦,BD平分∠ABC交⊙O于点D,过点D作DE⊥BC,垂足为E(E在B、C之间,且不与B、C重合).探索线段AB、BE、BC之间的数量关系,并说明理由.
(3)如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,∠ABC=90°,∠BCD为锐角.BD平分∠ABC,BD=7,AB=6.求⊙O的面积.
解:
(1)如图①中,作DF⊥AB于F,DE⊥BC于E.
∵BD平分∠ABC,DF⊥AB,DE⊥BC,
∴DF=DE,
∵BC是直径,
∴∠BDC=90°,
∴BC===5,
∵S△BDC=•BC•DE=•BD•DC,
∴DE=,
∴DF=DE=.
故答案为;
(2)如图②中,结论:
AB+BC=2BE.
理由:
作DF⊥BA于F,连接AD,DC.
∵BD平分∠ABC,DE⊥BC,DF⊥BA,
∴DF=DE,∠DFB=∠DEB=90°,
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠EDF=180°,
∴∠ADC=∠EDF,
∴∠FDA=∠CDE,
∵∠DFA=∠DEC=90°,
∴△DFA≌△DEC(ASA),
∴AF=CE,
∵BD=BD,DF=DE,
∴Rt△BDF≌Rt△BDE(HL),
∴BF=BE,
∴AB+BC=BF﹣AF+BE+CE=2BE;
(3)如图③,连接AC,延长BC至H,使CH=AB,
∵BD平分∠ABC,∠ABC=90°,
∴∠ABD=∠CBD=45°,
∴=,
∴AD=CD,
∵四边形ABCD是⊙O内接四边形,
∴∠DCH=∠BAD,
又∵AD=CD,AB=CH,
∴△ABD≌△CHD(SAS)
∴BD=DH=7,∠ABD=∠DHB=45°,
∴∠BDH=180°﹣∠DBH﹣∠DHB=90°,
∴BH===14,
∵AB=CH=6,
∴BC=8,
∵∠ABC=90°,
∴AC是直径,
∵AC===10,
∴OC=5,
∴⊙O的面积=25π.
7、如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,O是BC边上一点,以OB为半径的⊙O交AB于点E,交C于点D,连接CE,且CE=CA.
(1)求证:
CE是⊙O的切线.
(2)如图2,连接AD并延长交⊙O于点F,连接EF.
①如果∠BAC=60°,求证:
EF⊥BC.
②如果∠BAC≠60°,EF⊥BC是否还成立?
如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由.
证明:
(1)如图1,连接EO,
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,
∵CA=CE,OE=OB,
∴∠A=∠CEA,∠B=∠OEB,
∴∠CEA+∠OEB=90°,
∴∠CEO=90°,
∴CE⊥OE,且OE为半径,
∴CE是⊙O的切线;
(2)如图2,连接DE,
∵∠BAC=60°,AC=CE,
∴△ACE是等边三角形,
∴AE=CE=AC,
∵∠CAB=60°,∠ACB=90°,
∴∠ABC=30°,
∴∠CFD=∠ABC=30°,
∵DB是直径,
∴∠DEB=90°,
∴∠ACD=∠AED=90°,
∵AD=AD,AC=AE,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)
∴∠CAD=∠EAD=∠CAB=30°,
∵∠BEF=∠DAE+∠DFE,
∴∠BEF=60°,
∴∠BHE=180°﹣∠CBE﹣∠BEF=90°,
∴EF⊥BC;
②仍然成立,
理由如下:
如图3,连接OE,DE,
∵DB是直径,
∴∠DEB=90°,
∴∠ACD=∠AED=90°,
∴点A,点C,点D,点E四点共圆,
∴∠CAD=∠CED,
∵∠CEO=90°=∠BED,
∴∠CED=∠OEB,
∴∠CAD=∠OEB,
∵∠OEB=∠OBE=∠DFE,
∴∠CAD=∠DFE,
∴AC∥EF,
∴∠ACB=∠EHB=90°,
∴EF⊥BC.
8、如图1,正方形ABCD的边长为4,点E,F分别在BC,BD上,且BE=1,过三点C,E,F作⊙O交CD于点G.
(1)证明∠EFG=90°.
(2)如图2,连结AF,当点F运动至点A,F,G三点共线时,求△ADF的面积.
(3)在点F整个运动过程中,
①当EF,FG,CG中满足某两条线段相等,求所有满足条件的BF的长.
②连接EG,若=时,求⊙O的半径(请直接写出答案).
解:
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