专题14 利用导数研究函数的单调性备战高考数学理一轮复习考点通.docx
- 文档编号:1603301
- 上传时间:2022-10-23
- 格式:DOCX
- 页数:16
- 大小:179.95KB
专题14 利用导数研究函数的单调性备战高考数学理一轮复习考点通.docx
《专题14 利用导数研究函数的单调性备战高考数学理一轮复习考点通.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《专题14 利用导数研究函数的单调性备战高考数学理一轮复习考点通.docx(16页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
专题14利用导数研究函数的单调性备战高考数学理一轮复习考点通
专题14利用导数研究函数的单调性
基础知识要夯实
1.函数的单调性与导数的关系
函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,
(1)若f′(x)>0,则f(x)在区间(a,b)内是单调递增函数;
(2)若f′(x)<0,则f(x)在区间(a,b)内是单调递减函数;
(3)若恒有f′(x)=0,则f(x)在区间(a,b)内是常数函数.
讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式,求解时,要坚持“定义域优先”原则.
2.常用结论汇总——规律多一点
(1)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.
(2)可导函数f(x)在(a,b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a,b),都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a,b)上的任何子区间内都不恒为零.
基本技能要落实
(1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f′(x)>0.( )
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.( )
(3)在(a,b)内f′(x)≤0且f′(x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)内是减函数.( )
【答案】
(1)×
(2)√ (3)√
(二)选一选
1.函数f(x)=cosx-x在(0,π)上的单调性是( )
A.先增后减 B.先减后增
C.增函数D.减函数
【答案】D
【解析】∵f′(x)=-sinx-1<0,
∴f(x)在(0,π)上是减函数,故选D.
2.函数f(x)=x-lnx的单调递减区间为( )
A.(0,1)B.(0,+∞)
C.(1,+∞)D.(-∞,0),(1,+∞)
【答案】A
【解析】函数的定义域是(0,+∞),且f′(x)=1-=,令f′(x)<0,得0 3.若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是( ) A.(-∞,-2]B.(-∞,-1] C.[2,+∞)D.[1,+∞) 【答案】D 【解析】因为f(x)=kx-lnx,所以f′(x)=k-.因为f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以当x>1时,f′(x)=k-≥0恒成立,即k≥在区间(1,+∞)上恒成立.因为x>1,所以0<<1,所以k≥1. (三)填一填 4.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间为________. 【答案】(2,+∞) 【解析】f′(x)=[(x-3)ex]′=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.令f′(x)>0,解得x>2.故所求单调递增区间为(2,+∞). 5.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上单调递减,则实数a的取值范围是________. 【答案】[-,] 【解析】由题意知f′(x)=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立,所以Δ=4a2-12≤0,解得-≤a≤. 核心素养要做实 [典例] 已知函数f(x)=lnx+-(a∈R且a≠0),讨论函数f(x)的单调性. 【解析】 f′(x)=(x>0), ①当a<0时,f′(x)>0恒成立, ∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. ②当a>0时,由f′(x)=>0,得x>; 由f′(x)=<0,得0 ∴函数f(x)在上单调递增,在上单调递减. 综上所述,当a<0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a>0时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减. [解题技法] 讨论函数f(x)单调性的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求导数f′(x),并求方程f′(x)=0的根; (3)利用f′(x)=0的根将函数的定义域分成若干个子区间,在这些子区间上讨论f′(x)的正负,由符号确定f(x)在该区间上的单调性. [提醒] 研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论. [题组训练] 1.函数f(x)=ex-在定义域内为________函数(填“增”或“减”). 【答案】增 【解析】由已知得函数f(x)的定义域为{x|x≠-1}. ∵f(x)=ex-,∴f′(x)=ex+>0. ∴f(x)在定义域内为增函数. 2.已知函数f(x)=alnx+x2(a∈R且a≠0),讨论函数f(x)的单调性. 【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞). 因为f(x)=alnx+x2,所以f′(x)=+2x=. ①当a>0时,f′(x)>0, 所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. ②当a<0时,令f′(x)=0,解得x=(负值舍去), 当0 所以函数f(x)在上单调递减; 当x>时,f′(x)>0, 所以函数f(x)在上单调递增. 综上所述,当a>0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a<0时,函数f(x)在上单调递减,在上单调递增. [典例] (2020·湘东五校联考节选)已知函数f(x)=(lnx-k-1)x(k∈R).当x>1时,求f(x)的单调区间. 【解析】f′(x)=·x+lnx-k-1=lnx-k, ①当k≤0时,因为x>1,所以f′(x)=lnx-k>0, 所以函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞),无单调递减区间. ②当k>0时,令lnx-k=0,解得x=ek, 当1 所以函数f(x)的单调递减区间是(1,ek),单调递增区间是(ek,+∞). 综上所述,当k≤0时,函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞),无单调递减区间;当k>0时,函数f(x)的单调递减区间是(1,ek),单调递增区间是(ek,+∞). [解题技法] 利用导数求函数单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时,解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间. (2)当方程f′(x)=0可解时,解出方程的实根,依照实根把函数的定义域划分为几个区间,确定各区间f′(x)的符号,从而确定单调区间. (3)若导函数的方程、不等式都不可解,根据f′(x)结构特征,利用图象与性质确定f′(x)的符号,从而确定单调区间. [提醒] 若所求函数的单调区间不止一个,这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接,只能用“,”“和”字隔开. [题组训练] 1.若幂函数f(x)的图象过点,则函数g(x)=exf(x)的单调递减区间为( ) A.(-∞,0) B.(-∞,-2) C.(-2,-1)D.(-2,0) 【答案】D 【解析】设幂函数f(x)=xα,因为图象过点,所以=α,α=2,所以f(x)=x2,故g(x)=exx2,令g′(x)=exx2+2exx=ex(x2+2x)<0,得-2 2.已知函数f(x)=-lnx-,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线垂直于直线y=x. (1)求a的值; (2)求函数f(x)的单调区间. 【解析】 (1)对f(x)求导得f′(x)=--, 由f(x)在点(1,f (1))处的切线垂直于直线y=x, 知f′ (1)=--a=-2,解得a=. (2)由 (1)知f(x)=-lnx-(x>0), 则f′(x)=,令f′(x)=0, 解得x=-1或x=5, 因为x=-1不在f(x)的定义域(0,+∞)内,所以舍去. 当x∈(0,5)时,f′(x)<0,故f(x)在(0,5)内单调递减; 当x∈(5,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(5,+∞)内单调递增. 故f(x)的单调递减区间是(0,5),单调递增区间是(5,+∞). [典例] 设函数f(x)=x3-x2+bx+c,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1. (1)求b,c的值; (2)设函数g(x)=f(x)+2x,且g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数a的取值范围. 【解析】 (1)f′(x)=x2-ax+b, 由题意得即 (2)由 (1)知f(x)=x3-x2+1, 则g′(x)=x2-ax+2,依题意,存在x∈(-2,-1), 使不等式g′(x)=x2-ax+2<0成立, 即x∈(-2,-1)时,a 当且仅当x=,即x=-时等号成立. 所以满足要求的a的取值范围是(-∞,-2). [变透练清] 1.本例 (2)变为: 若g(x)在(-2,-1)内为减函数,其他条件不变,求实数a的取值范围. 【解析】∵g′(x)=x2-ax+2,且g(x)在(-2,-1)内为减函数, ∴x2-ax+2≤0在(-2,-1)内恒成立, ∴即解得a≤-3. 即实数a的取值范围是(-∞,-3]. 2.本例 (2)变为: 若g(x)的单调递减区间为(-2,-1),其他条件不变,求实数a的值. 【解析】∵g(x)的单调递减区间为(-2,-1), ∴x1=-2,x2=-1是g′(x)=0的两个根, ∴(-2)+(-1)=a,即a=-3. 3.本例 (2)变为: 若g(x)在(-2,-1)内不单调,其他条件不变,求实数a的取值范围. 【解析】由1知g(x)在(-2,-1)内为减函数时,实数a的取值范围是(-∞,-3]. 若g(x)在(-2,-1)内为增函数,则a≥x+在(-2,-1)内恒成立, 又∵y=x+在(-2,-)内单调递增,在(-,-1)内单调递减, ∴y=x+的值域为(-3,-2), ∴实数a的取值范围是[-2,+∞), ∴函数g(x)在(-2,-1)内单调时,a的取值范围是(-∞,-3]∪[-2,+∞), 故g(x)在(-2,-1)上不单调时,实数a的取值范围是(-3,-2). [解题技法]由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)由可导函数f(x)在D上单调递增(或递减)求参数范围问题,可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)对x∈D恒成立问题,再参变分离,转化为求最值问题,要注意“=”是否取到. (2)可导函数在某一区间上存在单调区间,实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题. (3)若已知f(x)在区间I上的单调性,区间I中含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令I是其单调区间的子集,从而可求出参数的取值范围. 达标检测要扎实 1.函数f(x)=3+xlnx的单调递减区间是( ) A. B. C.D. 【答案】B 【解析】因为函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=lnx+x·=lnx+1,令f′(x)<0,解得0<x<,所以f(x)的单调递减区间是. 2.已知函数f(x)=x2(x-m),m∈R,若f′(-1)=-1,则函数f(x)的单调递增区间是( ) A.B.C.,(0,+∞)D.∪(0,+∞) 【答案】C 【解析】∵f′(x)=3x2-2mx, ∴f′(-1)=3+2m=-1,解得m=-2, 由f′(x)=3x2+4x>0,解得x<-或x>0, 即f(x)的单调递增区间是,(0,+∞). 3.下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( ) A.f(x)=sin2xB.f(x)=xex C.f(x)=x3-xD.f(x)=-x+lnx 【答案】B 【解析】对于A,f(x)=sin2x的单调递增区间是(k∈Z);对于B,f′(x)=ex(x+1),当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,∴函数f(x)=xex在(0,+∞)上
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 专题14 利用导数研究函数的单调性备战高考数学理一轮复习考点通 专题 14 利用 导数 研究 函数 调性 备战 高考 学理 一轮 复习 考点
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)