几何证明的好方法截长补短Word下载.docx
- 文档编号:16029181
- 上传时间:2022-11-17
- 格式:DOCX
- 页数:15
- 大小:20.52KB
几何证明的好方法截长补短Word下载.docx
《几何证明的好方法截长补短Word下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《几何证明的好方法截长补短Word下载.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
b与c构建在一个三角形中,然后证明这个三角形为特殊三角形,如等边三角形,等腰直角三角形,或一个角为30°
的直角三角形等。
对于类型③,一般将截长或补短后的a±
b与c构建在一个三角形中,与类型②相同。
实际上是求类型②中的k值。
对于类型④,将c²
b化为=的形式,然后通过相似三角形的比例关系进行证明。
在证明相似三角形的过程中,可能会用到截长或补短的方法。
例:
在正方形ABCD中,DE=DF,DGCE,交CA于G,GHAF,交AD于P,交CE延长线于H,请问三条粗线DG,GH,CH的数量关系
方法一(好想不好证)
方法二(好证不好想)
例题不详解。
(第2页题目答案见第3、4页)
(1)正方形ABCD中,点E在CD上,点F在BC上,EAF=45。
求证:
EF=DE+BF
(1)变形a
正方形ABCD中,点E在CD延长线上,点F在BC延长线上,EAF=45。
请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系?
(1)变形b
正方形ABCD中,点E在DC延长线上,点F在CB延长线上,EAF=45。
(1)变形c
正三角形ABC中,E在AB上,F在AC上EDF=45。
DB=DC,BDC=120。
请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系?
(1)变形d
正方形ABCD中,点E在CD上,点F在BC上,EAD=15,FAB=30。
AD=
求AEF的面积
(1)解:
(简单思路)
延长CD到点G,使得DG=BF,连接AG。
由四边形ABCD是正方形得
ADG=ABF=90
AD=AB
又DG=BF
所以ADGABF(SAS)
GAD=FAB
AG=AF
DAB=90=DAF+FAB
=DAF+GAD=GAF
所以GAE=GAF-EAF
=90-45=45
GAE=FAE=45
又AG=AF
AE=AE
所以EAGEAF(SAS)
EF=GE=GD+DE=BF+DE
变形a解:
EF=BF-DE
在BC上截取BG,使得BG=DF,连接AG。
ADE=ABG=90
又DE=BG
所以ADEABG(SAS)
EAD=GAB
AE=AG
DAB=90=DAG+GAB
=DAG+EAD=GAE
所以GAF=GAE-EAF
GAF=EAF=45
又AG=AE
AF=AF
所以EAFGAF(SAS)
EF=GF=BF-BG=BF-DE
变形b解:
EF=DE-BF
在DC上截取DG,使得DG=BF,连接AG。
=BAF+GAB=GAF
EF=EG=ED-GD=DE-BF
变形c解:
EF=BE+FC
延长AC到点G,使得CG=BE,连接DG。
由ABC是正三角形得
ABC=ACB=60
又DB=DC,BDC=120
所以DBC=DCB=30
DBE=ABC+DBC=60+30=90
ACD=ACB+DCB=60+30=90
所以GCD=180-ACD=90
DBE=DCG=90
又DB=DC,BE=CG
所以DBEDCG(SAS)
EDB=GDC
DE=DG
又DBC=120=EDB+EDC
=GDC+EDC=EDG
所以GDF=EDG-EDF
=120-60=60
GDF=EDF=60
又DG=DE
DF=DF
所以GDFEDF(SAS)
EF=GF=CG+FC=BE+FC
变形d解:
过E作EHAG.前面如
(1)所证,
ADGABF,EAGEAF
GAD=FAB=30,SEAG=SEAF
在RtADG中,GAD=30,AD=
AGD=60,AG=2
设EH=x
在RtEGH中和RtEHA中
AGD=60,HAE=45
HG=x,AH=x
AG=2=HG+AH=x+x,EH=x=3-
SEAF=SEAG=EHAG2=3-.
(第5页题目答案见第6页)
(2)
正方形ABCD中,对角线AC与BD交于O,点E在BD上,AE平分DAC。
AC/2=AD-EO
(2)加强版
正方形ABCD中,M在CD上,N在DA延长线上,CM=AN,点E在BD上,NE平分DNM。
请问MN、AD、EF有什么数量关系?
(2)解:
过E作EGAD于G
因为四边形ABCD是正方形
ADC=90,BD平分ADC,ACBD
所以ADB=ADC/2=45
因为AE平分DAC,EOAC,EGAD
所以EAO=EAG,
DGE=AOE=AGE=90又AE=AE,
所以AEOAEG(AAS)
所以AG=AO,EO=EG
又ADB=45,DGE=90
所以DGE为等腰直角三角形
DG=EG=EO
AD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2
(2)加强版解:
MN/2=AD-EF
过E作EGAD于G,作EQAB于Q,
过B做BPMN于P
按照
(2)的解法,可求证,
GNEFNE(AAS)
DGE为等腰直角三角形
AG=AD-DG=AD-EF,
因为四边形ABCD为正方形,
ABC=GAQ=BCM=90
BD平分ABC,BC=BA
ABD=ABC/2=45,又EQB=90
EQB为等腰Rt三角形,BEQ=45
因为GAQ=EGA=EQA=90
所以四边形AGEQ为矩形,
EQ=AG=AD-EF,EQ//AG
QEN=ENG
又ENG=ENF,所以QEN=ENF
由BC=BA,BCM=BAN=90,CM=AN,
所以BCMBAN(SAS)
BM=BN,CBM=ABN
ABC=90=ABM+CBM
=ABM+ABN=MBN,又BM=BN
所以MBN为等腰Rt三角形,
又BP斜边MN于P,
所以NPB为等腰Rt三角形。
BP=MN/2,PNB=45。
BNE=ENF+PNB
BEN=QEN+QEB
又QEN=ENF,PNB=QEB=45
所以BNE=BEN
BN=BE,
又PNB=QEB=45=NBP=EBQ
所以BEQBNP(SAS)
EQ=BP
因为EQ=AG=AD-EF,BP=MN/2
所以AD-EF=MN/2。
综合题体中的截长补短
1、如图,在⊙O中,C是的中点,直线CD⊥AB于点E,AB=BE,PB、PA组成的⊙O的一条折弦,C是劣弧的中点,直线CD⊥PA于点E,则AE=PE+PB,请证明你的结论。
分析:
本题要证明AE=PE+PB,可以将AE分为两段,使其中一段长度等于PE,然后另一段长度关于PB。
反之亦。
证明△AHC≌△BPC。
然后再证明PB=PE,那么AE=PE+PB。
证明:
在AE上截取AH=PB,连接AC、CH、BC、CP。
∵C是的中点
∴=
∴AC=BC
∵=
∴∠A=∠B
∴在△CAH与△CBP中
∴△CAH≌△CBP(SAS)
∴CH=CP
∵CE⊥HP
∴PE=EH
∴AE=PE+PB
2、如图,⊙O为△ABC的外接圆,弦CP平分△ABC的外角∠BCQ,∠ACB=120°
,求的值。
要求的值,可用截长的方法来做,即可在AB上截取BE=AC,使△PBE≌△PAC。
即可求出的值。
解:
连接PA、PB,在BC上截取BE,使BE=AC,连接PE。
∵∠QCP+∠PCA=180°
又∵∠PCA+∠PBA=120°
∴∠QCP=∠PBA
∵=
∴∠PCB=∠PAB
又∵∠QCP=∠PBA
∴∠PBA=∠PAB
∴PA=PB,=
在△PBE与△PAC中
∴△PBE≌△PAC(SAS)
∴PC=PE
∴∠PEC=∠BCP=30°
3、如图,⊙O为△ABC的外接圆,弦CP平分△ABC的外角∠ACQ,∠ACB=90°
,
①=
②AC-BC=PC
要证明AC-BC=PC,可使用截长的方法,即在AC上截取AH=BC,HC=AC-BC,然后将HC与PC构建一个等腰直角三角形,且HC为斜边,PC为直角边。
通过求解△APH≌△CBP。
即可证明AC-BC=PC。
连接PA、PB,在AC上截取AH=BC。
∵CP平分∠ACQ,∠ACQ=90°
∴∠PCA=∠QCP=45°
∵四边形APCB为圆的内接四边形
∴∠PAB+∠PCB=180°
=∠PCQ=∠PCB
∴PA=PB
∴∠CBP=∠PAC
在△APH与△CBP中
∴△APH≌△CBP
∴PH=PC
∵∠PCH=45°
又∵△PHC为等腰直角三角形
∴AC-AH=AC-CB=HC=PC
∴AC-BC=PC
4、如图,⊙O为△ABC的外接圆,弦CD平分∠ACB,∠ACB=120°
,求的值。
要求,我们的思路是将CB延长至并与CD构建在一个三角形内,然后解三角形并证明延长线与CA相等。
我们将CB延长至H,作CH=CA+CB,然后将CH和CD构建在一个三角形内,即过点D作∠CDH=60°
延长CB,交DH于点H,即可证△CAD≌△HBD,再可求出的值。
过点D作∠CDH=60°
延长CB,交DH于点H,连接AD、BD,
∵∠ADB=CDH=60°
∴∠BDH=∠ADC
∵∠DCH=60°
=∠H=∠ACD
∴DH=DC
在△CAD与△HBD中
∴△CAD≌△HBD(ASA)
∴CA=BH
∴CB+BA=CD
∴=1
5、如图,P是等边△ABC外接圆上任意一点,求证:
PA=PB+PC。
要证明PA=PB+PC,可用截长的方法,即在PA上截取AG=CP,然后证明PG=BP即可。
在AP上截取AG=CP
∵△ABC为等边三角形
∴AB=BC
∴∠BAG=∠PCB
在△ABG与△CBP中
∴△ABG≌△CBP(SAS)
∴BP=BG,∠ABG=∠PBC
∴∠GBP=60°
,BP=PG
∴PA
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 几何 证明 方法 截长补短