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一、從文獻資料中探討圓周率的求法。
二、蒐集周遭環境中各類圓形器物,求出它的圓周長和直徑的比值。
三、嘗試以圓內接正多邊形探讨圓周率的近似值。
四、從圓周率驗證操場跑道起跑線的劃設。
貳、文獻探討
一、圓周率的意義
我們所蒐集到的有關圓周率的意義,如下面所列出:
所謂的圓周率就是指圓周長和直徑長的比。
无论圓的大小,圓周長大約都是直徑得………倍,這個倍數叫做圓周率(國立編譯館,民87)
圓周率是指平面上圓的周長與直徑之比。
【(上網查詢時間:
3月22日上午8:
00)】
圓周率就是圓周長與直徑的比率,通常以希臘字母π來表示此符號,由數學家歐拉(Euler)首倡。
【(上網查詢時間:
3月20日上午10:
20)】
二、圓周率的發展
(一)根據地理區域來劃分
從文獻的整理發現,圓周率的發展能够從它的地理區域來劃分:
1.古希臘時期的圓周率
阿基米德《幾何本来》(約公元前3世紀初)中提到圓周率是常數,第一個用科學方式尋求圓周率數值的人是古希臘的阿基米德,他在《圓的气宇》(公元前3世紀)顶用圓內接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界,從正六邊形開始,逐次加倍計算到正96邊形,取得3
<
π<
3
,開創了圓周率計算的幾何方式(亦稱古典方式,或阿基米德方式),得出精確到小數點後兩位的π值。
2.中國古代的圓周率
中國古算書《周髀算經》(約公元前2世紀)中有「徑一而周三」的記載,也認為圓周率是常數。
中國數學家劉徽在注釋《九章算術》時(263年)只用圓內接正多邊形就求得π的近似值,也得出精確到兩位小數的π值,他的方式被後人稱為割圓術。
南北朝時代的數學家祖沖之進一步得出精確到小數點後7位的π值(約5世紀下半葉),給出不足近似值和過剩近似值,還取得兩個近似分數值,密率355/113和約率22/7。
3.古埃及時期的圓周率
歷史上曾採用過圓周率的多種近似值,初期多数是通過實驗而取得的結果,如古埃及紙草書(約公元前1700)中取π=(
)4≒。
4.西方時期的圓周率
密率在西方直到1573才由德國人奧托取得,1625年發表於荷蘭工程師安托尼斯的高作中,歐洲稱之為安托尼斯率。
另外,德國數學家柯倫於1596年將π值算到20位小數值,之後他投入畢生精力,於1610年算到小數後35位數,該數值使用他的名字稱為魯道夫數。
1579年法國數學家韋達給出π的第一個解析表達式,此後,無窮乘積式、無窮連分數、無窮級數等各種π值表達式紛紛出現,π值計算精度也迅速增加。
1706年英國數學家梅欽計算π值冲破100位小數大關。
1873年另一名英國數學家尚可斯將π值計算到小數點後707位,可惜他的結果從528位起是錯的。
到1948年英國的弗格森和美國的倫奇一路發表了π的808位小數值,成為人工計算圓周率值的最高紀錄。
電子計算機的出現使π值計算有了突飛猛進的發展。
1949年美國馬里蘭州阿伯丁的軍隊彈道研究實驗室第一次用計算機(ENIAC)計算π值,一下子就算到2037位小數,冲破了千位數。
1989年美國哥倫比亞大學研究人員用克雷-2型和IBM-VF型巨型電子計算機計算出π值小數點後億位數,後又繼續算到小數點後億位數,創下新的紀錄。
【網址:
(上網查詢時間:
91年3月18日11:
15)。
】
(二)根據方式演進來劃分
若是根據解圓周率的方式來劃分,圓周率的發展通常可分為四個時期:
1.實驗時期;
2.幾何法時期;
3.分析法時期;
4.計算機時期。
1.實驗時期:
圓周率之測定常憑直觀推測或實物气宇而得。
例如賴因德紙草書是現存世界上最古老的數學書(約產生於公元前1650年),其中記載圓面積的算法為直徑減去它的1/9,然後加以平方,依照這個方式計算,則圓周率大約是。
舊約聖經中也有圓周率為3的記述。
在中國也利用3粗率之值,中國古書「九章算術」第一章方田引題:
「今有圓田,周三十步,徑十步,為田幾何?
」就認定π為3。
2.幾何法時期:
阿基米德用幾何的方式,證明了圓周率是介於3又1/7與3又10/71之間,現在人們常利用22/7來計算π的近似值。
公元150年左右,希臘天文學家托勒密(Ptolemy),製作一個弦表(正弦函數表的雛形)來計算圓周率,其值為377/120=,比阿基米德更為進步。
九章算術第一章方田的第32題有提到計算圓面積的法則:
「術曰:
半周半徑相乘得積步。
」,若圓面積為A、圓周長為C、半徑為r,則A=(C×
r)/2;
若是我們用現在已經明白的圓周公式C=2πr代入,則A=πr2就是圓面積的公式,可見這個敘述是正確的,劉徽在九章註解上便給了詳盡的證明,並且順便也算出比較精確的圓周率為157/50(此亦稱為徽率),劉徽所用的方式是「割圓術」,劉徽曾說:
「割之彌細,所失彌少,割之又割,以至於不可割,則與圓周合體而無所失矣。
」也就是利用圓內接正n邊形,然後讓n越來越大以求圓周長的近似值,不過當年還未能引進極限的觀念,所以无论圓內接正n邊形的n有多大,始終只是近似值。
劉徽之後二百年,約在南北朝時期,祖沖之(西元429~500年),在圓周率上的計算有更大的冲破,他已經算出:
<π<;
也就是算出π的近似值到小數點後第七位,這是相當精密的圓周率。
3.分析法時期:
這一時期人們開始擺脫利用多邊形周長的繁雜計算,而利用無窮級數或無窮連乘積來計算π。
4.計算機時期:
1946年,世界第一台電子計算機EMAC製造成功,人類歷史正式邁進了資訊時代,1949年EMAC根據梅欽公式計算π值到小數點後第2035位,時間花了70小時,當計算機的發展不斷更新,計算π值的記錄也紛紛被打破,1960年尚克斯和倫奇(Wrench,英人),算到小數點後第100,265位,1967年吉尤(Guilloud,法人)算到小數點後第500,000位,1987年已有人算到第2936萬位以上,進入90年代後紀錄已經超過10億位了。
3月19日5:
12)】
四、研究的方式
由文獻的探討可知,求圓周率的方式大約可分為四種:
有實驗法、幾何方式、分析法和電子計算機。
由於我們只是小學的學生,受知識和能力的限制,在這一次的研究中,我們將採取前兩種方式,藉第一,我們將蒐集各類文獻中有關圓周率的各項資料,以了解圓周率的發展。
第二,由實作的方式蒐集周遭環境中各類圓形器物,以實際測量的方式,求出它的圓周長和直徑的比值,以推估圓周率的可能大小。
第三,是利用幾何的方式,由研究小組的同學實際畫出圓的內接多邊形與外切正多邊形,藉由多邊形的周長和直徑的比值,驗證前一項實驗法的精確程度。
最後,我們實際測量操場跑道的畫設,以了解跑道起跑線位置與圓周率的關係。
伍、結果與討論
1、從文獻資料中探討圓周率的求法
根據我們所蒐集到的資料,圓周率大約可分為實驗時期、幾何法時期、分析法時期、計算機時期這四個時期,但因為我和小組組員的能力和智力有限,所以在此我們只簡單介紹實驗時期和幾何法時期的內容,
(一)實驗期的內容:
好久以前(阿基米德之前),π值之測定常憑直觀推測或實物气宇而得。
賴因德紙草書記載圓面積的算法為直徑減去它的1/9,然後加以平方,依照這個方式計算,則圓周率大約是。
劉鰴發現:
當圓內接正多邊形的邊數不斷增加後,多邊形的周長會越來越逼近圓周長,而多邊形的面積也會越來越逼近圓面積。
於是,劉徽利用正多邊形面積和圓面積之間的關係,從正六邊形開始,慢慢把邊數加倍:
正十二邊形、正二十四邊形,正四十八邊形……,一直到正三○七二邊形,算出圓周率等於三點一四一六。
祖沖之在劉徽研究的基礎上,進一步地發展,經過既漫長又煩瑣的計算,一直算到圓內接正二四五七六邊形,而取得一個結論:
圓周率的值介於三點一四一五九二六和三點一四一五九二七之間;
同時,他還找到了圓周率的約率:
22∕7、密率:
355∕113。
祖沖之為了求圓周率小數後的第七位準確值,把正六邊形的邊長計算到小數後二萬八千六百七十二位。
(二)幾何法時期的內容:
在魏晉時(西元263年),數學家劉徽以割圓數求得π=,劉徽的割圓術是:
1.圓內接一個正六邊形,求得六邊形的一邊邊長等於此圓的半徑2.圓內接正六邊形推算得圓內接正十二邊形,再推算得圓內接正二十四邊形,以此類推…3.但是圓內接正多邊形時,此多邊形則接近圓形。
由以上的資料可知,在實驗期求圓周率是依托直觀推測和實物量測得來,我們推測在這個時期由於受到人體感官敏銳度、量測技術的限制、人為誤差的影響等因素的影響,因此,所能求出的小數位數較少,準確值也有限。
到了幾何時期,由於數學的進步,因此能跨越直觀推測和實物量測的限制,而能運用數學的原理,以計算的方式來推論圓周率的小數值,在求小數位數和準確值方面都獲得進步。
我們將各時期求算圓週率的方式與功效,列於表
(一)中:
表
(一)圓周率發展分期
期別
由圓周率的方式
圓周率的值
實驗時期
圓周率之測定長憑直觀推測或實物度量,例如:
賴因德紙草書是現存世界上最古老的數學書。
圓周率的值大約是。
幾何法時期
希臘天文學家扥勒密(Ptolmey),製作一個弦表(正弦函數表的雛形)來計算圓周率,其值為377/120=,比阿基米德更為進步。
祖沖之已經算出:
<π<。
分析法時期
這一時期人們開始利用無窮級數或無窮連乘積來計算π。
到了1873年計算π值至小數點後第767位。
計算機時期
1949年EMAC根據梅欽公式計算圓周率值到小數點後第2035位。
到了90年代後圓周率的位值紀錄已經超過10億位了。
由上表我們發現,隨者方式與科學技術的進步,圓周率能求得的位數就越多,也越精確,特別是資訊科技的進步,使得計算機時期的圓周率位值已超過了十億位了,而且加倍精確;
相反地,初期的實驗法時期,所求得的圓周率值只有。
另外,我們從上表也發現,圓周率的準確值,在實驗時期只有小數以下一名,可是到了幾何法時期祖沖之所求出的圓周率精確值以到達小數以下第六位了。
從上面的分析,我們也明白一個國家的數學能力,能够從所能求出的圓周率位值來展現。
2、從周遭環境中蒐集各類圓形器物,求出它的圓周長和直徑的比值
為了尋找週遭環境中各類圓形的器物,求出它的圓周長和直徑的比值,於是我們這一組去搜尋班上同學所測量出來的圓形器物,這些資料是先以皮尺或繩子測量再以直尺量出長度。
在蒐集到的100多筆資料中,我們把一些誤差較大和重覆的資料刪除,把其它比較完整的資料製作成表
(二):
表
(二):
周遭環境中各類圓形器物的圓周長和直徑的比值
物件名稱
圓周長
直徑
圓周長與直徑的比值
鏡子
405公分
12公分
公分
時鐘
15公分
盒子
100公分
25公分
4公分
垃圾桶
94公分
盆子
84公分
26公分
盤子
70公分
盒蓋
18公分
50公分
錏鈴的模片
47公分
12公
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