北京师范大学第二附属中学选修三第一单元《计数原理》检测卷答案解析.docx
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北京师范大学第二附属中学选修三第一单元《计数原理》检测卷答案解析.docx
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北京师范大学第二附属中学选修三第一单元《计数原理》检测卷答案解析
一、选择题
1.2020年12月1日,大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶,分别是一个可回收物垃圾桶、一个有害垃圾桶、一个厨余垃圾桶、一个其它垃圾桶.因为场地限制,要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落,每个角落至少摆放一个,则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落,它们的前后左右位置关系不作考虑)()
A.种B.种C.种D.种
2.已知.则()
A.-30B.30C.-40D.40
3.的展开式中,含的项的系数是()
A.B.C.25D.55
4.某校实行选科走班制度,张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科,且物理在A层班级,生物在B层班级,该校周一上午课程安排如表所示,张毅选择三个科目的课各上一节,另外一节上自习,则他不同的选课方法有()
A.8种B.10种C.12种D.14种
5.展开式中常数项是()
A.15B.-15C.7D.-7
6.已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,,若,则的值为()
A.1B.-1C.8lD.-81
7.某学校高三年级有两个文科班,四个理科班,现每个班指定1人,对各班的卫生进行检查.若每班只安排一人检查,且文科班学生不检查文科班,理科班学生不检查自己所在的班,则不同安排方法的种数是()
A.48B.72C.84D.168
8.的展开式中二项式系数之和是64,含项的系数为,含项系数为,则()
A.200B.400
C.-200D.-400
9.若,二项式的展开式中项的系数为20,则定积分的最小值为()
A.0B.1C.2D.3
10.在下方程序框图中,若输入的分别为18、100,输出的的值为,则二项式的展开式中的常数项是
A.224B.336C.112D.560
11.在某互联网大会上,为了提升安全级别,将5名特警分配到3个重要路口执勤,每个人只能选择一个路口,每个路口最少1人,最多3人,且甲和乙不能安排在同一个路口,则不同的安排方法有()
A.180种B.150种C.96种D.114种
12.若,则的值为()
A.4B.4或5C.6D.4或6
二、填空题
13.设,则_________________.
14.名志愿者被随机分配到三个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者,则甲、乙两名志愿者没有分配到同一个岗位服务的概率为______.
15.若,则_________.
16.的展开式中的系数为______________.
17.若,则=_____.
18.用这六个数字组成没有重复数字的三位数,且是偶数,则这样的三位数有______个.
19.某市抽调两个县各四名医生组成两个医疗队分别去两个乡镇开展医疗工作,每队不超过五个人,同一个县的医生不能全在同一个队,且同县的张医生和李医生必须在同一个队,则不同的安排方案有______种.
参考答案
20.高中学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6个科目中,依照个人兴趣、未来职业规划等要素,任选3个科目构成“选考科目组合”参加高考.已知某班37名学生关于选考科目的统计结果如下:
选考科目名称
物理
化学
生物
历史
地理
政治
选考该科人数
24
28
14
15
a
b
下面给出关于该班学生选考科目的四个结论:
①若,则;②选考科目组合为“历史+地理+政治”的学生一定不超过9人;③在选考化学的所有学生中,最多出现10种不同的选考科目组合;④选考科目组合为“生物+历史+地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的.其中所有正确结论的序号是_______.
三、解答题
21.已知的展开式中,第3项和第10项的二项式系数相等.
(1)求;
(2)求展开式中项的系数.
22.已知的展开式中所有偶数项的二项式系数和为.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中的常数项.
23.
(1)由0,1,2,…,9这十个数字组成的无重复数字的四位数中,十位数字与千位数字之差的绝对值等于7的四位数的个数共有几种?
(2)我校高三学习雷锋志愿小组共有16人,其中一班、二班、三班、四班各4人,现在从中任选3人,要求这三人不能是同一个班级的学生,且在三班至多选1人,求不同的选取法的种数.
24.计算:
(1)
(2).
25.已知的展开式中,只有第六项的二项式系数最大
(1)求该展开式中常数项;
(2)求展开式中系数最大的项为第几项?
26.为弘扬我国古代的“六艺”文化,某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程.
(1)若体验课连续开设六周,每周一门,求其中“射”不排在第一周,“数”不排在最后一周的所有可能排法种数;
(2)甲、乙、丙、丁、戊五名教师在教这六门课程,每名教师至少任教一门课程,求其中甲不任教“数”的课程安排方案种数.
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一、选择题
1.C
解析:
C
【分析】
分析题意,得到有一个固定点放着两个垃圾桶,先选出两个垃圾桶,之后相当于三个元素分配到三个地方,最后利用分步乘法计数原理,求得结果.
【详解】
根据题意,有四个垃圾桶放到三个固定角落,其中有一个角落放两个垃圾桶,
先选出两个垃圾桶,有种选法,
之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有种放法;
所以不同的摆放方法共有种,
故选:
C.
【点睛】
思路点睛:
该题考查的是有关排列组合综合题,解题方法如下:
(1)首先根据题意,分析出有两个垃圾桶分到同一个地方,有种选法;
(2)之后就相当于三个元素的一个全排;
(3)利用分步乘法计数原理求得结果.
2.B
解析:
B
【分析】
令,得,进而得含的项为,从而得解.
【详解】
令,则有:
,
即,
展开式的通项公式为:
,
所以中含的项为:
.
故选:
B.
【点睛】
关键点点睛:
本题解题的关键是令,转化为求的展开中含的项.
3.B
解析:
B
【分析】
写出二项式的展开式中的通项,然后观察含项有两种构成,一种是中的1与中的二次项相乘得到,一种是中的与中的常数项相乘得到,将系数相加即可得出结果.
【详解】
二项式的展开式中的通项,含的项的系数为
故选B.
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.
4.B
解析:
B
【分析】
由课程表可知:
物理课可以上任意一节,生物课只能上第2、3节,政治课只能上第1、3节,而自习课可以上任意一节.故以生物课(或政治课)进行分类,再分步排其他科目.由计数原理可得张毅同学不同的选课方法.
【详解】
由课程表可知:
物理课可以上任意一节,生物课只能上第2、3节,政治课只能上第1、3、4节,而自习课可以上任意一节.
若生物课排第2节,则其他课可以任意排,共有种不同的选课方法.
若生物课排第3节,则政治课有种排法,其他课可以任意排,有种排法,
共有种不同的选课方法.
所以共有种不同的选课方法.
故选:
.
【点睛】
本题考查两个计数原理,考查排列组合,属于基础题.
5.B
解析:
B
【分析】
先求得展开式的通项公式,分别令r=4,5,6,7,求得对应的四项,又,则展开式中所有x的零次幂的系数和即为常数项,计算化简,即可得结果.
【详解】
的通项公式为,
令,得,
令,得,
令,得,
令,得,
又,
所以展开式中常数项为,
故选:
B
【点睛】
本题考查利用赋值法解决展开式中常数项的问题,考查分析理解,计算求值的能力,属中档题.
6.B
解析:
B
【分析】
根据二项式系数的性质,可求得,再通过赋值求得以及结果即可.
【详解】
因为展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,
故可得,
令,故可得,
又因为,
令,则,
解得
令,则.
故选:
B.
【点睛】
本题考查二项式系数的性质,以及通过赋值法求系数之和,属综合基础题.
7.D
解析:
D
【分析】
分两步,第一步选2名理科班的学生检查文科班,第二步,理科班检查的方法,需要分三类,根据分布和分类计数原理可得.
【详解】
第一步:
选2名理科班的学生检查文科班,有种
第二步:
分三类
①2名文科班的学生检查剩下的2名理科生所在的班级,2名理科生检查
另2名理科生所在的班级,有种
②2名文科班的学生检查去文科班检查的2名理科生所在班级,剩下的2名理科生
互查所在的班级,有种
③2名文科生一人去检查去文科班检查的2名理科生所在的班级的一个和一人去
检查剩下的2名理科生其中一个所在的班级,有种
根据分步分类技术原理可得,共有不同的安排方法
故选:
D
【点睛】
本题考查的是分步分类计数原理及排列组合的知识,怎么将一个复杂的事情进行合理的分步分类去完成是解题的关键.
8.B
解析:
B
【分析】
由展开式二项式系数和得n=6,写出展开式的通项公式,令r=2和r=3分别可计算出a和b的值,从而得到答案.
【详解】
由题意可得二项式系数和2n=64,解得n=6.
∴的通项公式为:
,
∴当r=2时,含x6项的系数为,
当r=3时,含x3项的系数为,
则,
故选B.
【点睛】
本题考查二项式定理的通项公式及其性质,考查推理能力与计算能力,属于基础题.
9.C
解析:
C
【分析】
由二项式定理展开项可得,再利用基本不等式可得结果.
【详解】
二项式的展开式的通项为
当时,二次项系数为
而定积分
当且仅当时取等号
故选C
【点睛】
本题考查了二项式定理,定积分和基本不等式综合,熟悉每一个知识点是解题的关键,属于中档题.
10.D
解析:
D
【分析】
由程序图先求出的值,然后代入二项式中,求出展开式中的常数项
【详解】
由程序图可知求输入的最大公约数,即输出
则二项式为
的展开通项为要求展开式中的常数项,则当取时,令
解得,则结果为,则当取时,令,解得,则结果为,故展开式中的常数项为,故选
【点睛】
本题考查了运用流程图求两个数的最大公约数,并求出二项式展开式中的常数项,在求解过程中注意题目的化简求解,属于中档题
11.D
解析:
D
【解析】
分析:
先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口,先算出总共的安排方法,再减去甲和乙在同一个路口的情况即可.
详解:
先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口,分两种情况:
①三个路口人数情况3,1,1,共有种情况;
②三个路口人数情况2,2,1,共有种情况.
若甲乙在同一路口,则把甲乙看作一个整体,则相当于将4名特警分配到三个不同的路口,则有种,
故甲和乙不能安排在同一个路口,不同的安排方法有种.
故选:
D.
点睛:
本题考查排列、组合的实际应用,考查分析问题、解决问题的能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
12.D
解析:
D
【解析】
因为,所以或,所以或
,选D.
二、填空题
13.21【分析】由二项式定理得出的展开式的通项进而得出的展开式即可得出答案【详解】的展开式的通项为则故答案为:
【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用属于中档题
解析:
21
【分析】
由二项式定理得出的展开式的通项,进而得出的展开式,即可得出答案.
【详解】
的展开式的通项为
则
故答案为:
【点睛】
本题主要考查了二项式定理的应用,属于中档题.
14.【分析】要保证每个岗位至少一人人所以首先将四个人分成三组在将三组全排列求出总事件数然后再将甲乙分到不同两组得出甲乙不在同一岗位的基本事件数总而得出概率【详解】因为每个岗位至少有一人所以要将四个人分成
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