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不能把“边边角”和“角角角”作为判定两个三角形全等的依据。
4、作三角形
用尺规作三角形的类型主要有:
(1)己知三角形的三边,求作这个三角形
(2)己知三角形的两边及其夹角,求作这个三角形
(3)己知三角形的两个内角及其夹角,求作这个三角形
①在作三角形等几何作图中,作图痕迹务必保留,不能将作图痕迹抹掉
②在作符合某些条件的三角形时,它的作法可能不惟一,只要作法合理,都是正确的。
三、重点难点和关键点
重点:
本章的重点是三角形的性质,包括等腰三角形、直角三角形的一些性质,由于全等三角形是研究图形相等的工具,所以这部分内容也是本章重点。
难点:
是运用三角形全等解决问题,以及它的说理过程。
关键点:
是探索出三角形全等的条件
四、难点突破
1、掌握一些特殊的辅助线的添加方法
例1、如图AB//CD,AD//BC,则AB=DC,AD=BC说理理由。
分析:
要得到AB=DC,AD=BC需要构造三角形,所以连结AC,
解:
连结AC因为AB//CD,所以∠1=∠2又因为AD//BC所以∠3=∠4
在△ADC和△CBA中
所以△ADC≌△CBA(ASA)
所以AB=DC,AD=BC
2、挖握隐含条件利用两次全等
例2、如图,∠1=∠2,∠3=∠4,则∠AEB是否与∠AED相等为什么?
要知∠AEB=∠AED,需要知△ABE≌△ADE,但缺少全等条件,还需要△ABC≌△ADC得到AB=AD,所以本题需要利用三角形两次全等得到两角相等,要注意观察图形,发现公共边等条件。
∠AEB=∠AED理由如下:
在△ABC和△ADC中:
所以△ABC≌△ADC(ASA)
所以AB=AD
在△ABC和△ADC中
所以△ABE≌△ADE(SAS)
所以∠AEB=∠AED
五、思想方法渗透
1、分解图形法复杂的图以都是由较简单的图形组成的,故可将复杂的图形分解成几个基本图形,从而使问题简单化。
2、构造图形法当直接证明有因难时,常通过添加辅助线构造基本图形达到解题的目的。
3、转化思想转化思想就是将复杂的问题的转化为简单的问题,或将陌生的问题转化为熟悉的问题来处理的一种方法。
以上三种方法我们经常在解题中遇到,同学们在学习中总要遵循由特殊到一般的方法,不仅要学习逻辑推理,而且要学习合理推理一一一猜想,不断培养自己的创新精神和实践能力。
六、常见考点例析
考点一:
考查有关概念
三角形的三边关系、三角形的内角等于
的应用是考试的热点问题,经常以填空题、选择题的形式出现。
例1、(2006宁德市)在活动课上,小红巳有两根长为4cm,8cm的小木棒,现打箅拼一个等腰三角形,则小红应取的第三根小木棒的长cm。
要取第三根小木棒的长度,就要看它和己有的两根小木棒构成的三角形是否满足:
任意两边之和大于第三边或任意两边之差小于第三边。
当4为腰时,4,4,8不满足三角形三边关系定理,当8为腰时,4,8,8满足三角形三边关系定理,所以应填8。
例2、若三角形的一个角是另一个角的6倍,而这两个角的和比第三个角大
,则此三角形的最大角是
析解:
设另一个角为x度,则此角是6x度,第三个角是(x十6x一44)度根据三角形的内角等于
,得(x十6x一44)十x十6x=180,所以x=16,6x=96,x十6x一44=68,所以最大角为
。
考点二、考查全等三角形
说明三角形全等的条件,是本章的重点之一,本考点多以解答题、说理题、和简单的探索题形式出现。
例3、(2006陕西)如图四边形ABCD中,AC垂直平分BD于点O。
图中有多少对全等三角形?
请把它们都写出来。
(2)任选
(1)中的一对全等三角形加以证明
判定两个三角形全等的方法有:
SSS,SAS,ASA,AAS,要判定直角三角形全等的方法除上述方法外,还有HL,要综合运用这些方法找全等三角形。
(1)图中有三对全等三角形:
△AOB≌△AOD,△COB≌△COD,△ABC≌△ADC
(2)证明△ABC≌△ADC
证明:
因为AC垂直平分BD,所以AB=AD,CB=CD又因为AC=AC,所以△ABC≌△ADC(SSS)
例4、如图在△AFD和△EBC中,点A,E,F,C在同一条直线上,有下列四个论断:
(1)AD=CB
(2)AE=CF(3)∠B=∠D(4)AD//BC请你用其中的三个作为条件,余下的作为结论,编一道数学问题,并写出解答过程。
本题主要考查对三角形全等的识别的掌握情况,本题答案不惟一,现给出一种情况。
己知AE=CF,∠B=∠D,AD//BC,试说明AD=BC成立的理由。
AE=CF→AE+EF=CF+EF即AF=CE
AD//BC→∠A=∠C
→△ADF≌△CBE→AD=BC
例5、下面四个条件中,请你以其中两个为巳知条件,第三个为结论,推出一个正确的结论(只需写出一个情况)
(1)AE=AD
(2)AB=AC(3)OB=OC(4)∠B=∠C
本题是一道多解型试题,答案较多,目的在于考查学生汇聚思维、探究问题的能力。
由已知
(1)AE=AD
(2)AB=AC说明(4)∠B=∠C成立的理由。
→△ABE≌△ACD→∠B=∠C
考点三、利用三角形全等证明角或边相等的问题
角或边相等的证明大多是通过利用三角形全等来证明的,本考点多以解答题、证明题的形式出现。
例6、(2006宜昌市)已知AB=AC,AE=AD,点D、E分别在AB、AC上,如图
求证:
∠B=∠C
角或边相等的证明大多是通过利用三角形全等来证明的,在证明中要注意全等所应具备的条件。
证明:
在△ABE和△ACD中
因为∠A=∠A
又因为AB=AC,AE=AD
所以△ABE≌△ACD(SAS)
所以∠B=∠C
考点四:
运用全等三角形测量距离
利用全等三角形解决实际问题是考试中的一个重点,多以大题的形式出现。
例7、在一座楼相邻两面墙的外根部有两点A,C,如图请你设计方案测量A,C两点间的距离。
本题无法直接测量A,C两点间的距离,我们可以借助三角形全等的知识解决。
测量方法:
(1)沿两面墙分别画出延长线,使DB=AB,EB=CB
(2)连结DE,DE的长就是A,C两点间的距离。
→△ABC≌△DBE→DE=AC
所以只要测得DE的长就可知A、C两点间的距离。
例8、如图是举世闻名的三星堆考中中发掘出的一个三角形残缺玉片,工作人员想制作该玉片模型,则对图中作哪些数据测量后,就可作成符合规格的三角形玉片模型,并说明其中的道理。
析解:
测量∠A、∠B的度数和线段AB的长度,就能作出和原三角形一样的玉片模型。
理由:
作∠A'=∠A,A’B’=AB,∠B’=∠B则△A’B’C’≌△ABC(ASA)
考点五:
探究直角三角形全等
和直角三角形全等的有关试题多以填空题或解答题的形式出现。
例9、己知:
∠ADB=∠ACB=
,AD=BC,那么AC=BD吗?
为什么?
∠1与∠2是否相等,为什么?
在证明直角三角形全等时,除了一般的判定方法外,还有特殊方法即HL,本题就是利用它来判定直角三角形全等的。
欲证∠1=∠2,必须证△ABD≌△BAC故首先要证∠DAC=∠CBD
因为直角三角形ABD与直角三角形BAC中,有一条直角边AD=BC,另外斜边AB=BA,所即这两个直角三角形全等,即△ABD≌△BAC(HL)所以AC=BD
且有∠DAB=∠CBA,∠CAB=∠DBA
从而∠DAB一∠CAB=∠CBA一∠DBA
即∠DAC=∠CBD
又由AD=BC,AC=BD知
△ADC≌△BCD(SAS)
所以∠1=∠2
答:
AC=BD,∠1=∠2
考点六:
作图
根据所给的线段和条件作三角形是本章的一个组成部分,重在作图能力的考查。
例10、己知:
三角形的两条边另别是3cm和4cm,且3cm这条边所对的角是
,求作这个三角形。
先作一个
角,再作出它的一个邻边,只要再把三角形
角所对的边确定了,所做的三角形就确定了。
作法
(1)作
角
(2)截AB=4cm
(3)以B为圆心,以3cm为半经画弧,交
角的一边于C,C'点
(4)连张结BC,BC',得到的△ABC和△ABC'都是符合条件的三角形。
如图。
考点七:
创新题
例11、(2006浙江绍兴)我们知道,两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等,那么在什么情况下,它们会全等?
(1)阅读与证明:
对于这两个三角形均为直角三角形,显然他们全等,
对于这两个三角形均为钝角三角形,可证他们全等,(证明略)
对于这两个三角形均为锐角三角形,它们也全等,可证明如下:
已知△ABC,
均为锐角三角形,
△ABC≌
分别过点B,
作
于D,
于
如图则
,
△BCD≌△
(2)归纳与叙述
由
(1)可得到一个正确的结论,请你写出这个结论。
这类阅读理解题,在展示问题全貌的同时,在关键处留下一些疑难点,让考生认真思考,以补充欠缺的部分,这相当于提示了整体思路,让学生在整体理解的基础上,给予具体的补充。
(1)又
△ADB≌△
又
△ABC≌△
(2)若△ABC,△
均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形,
则△ABC≌△
点评:
本命题提供的阅读材料为考生暗发了“命题”在一般情况下不成立,却在特殊情况下成立的信号,同时要求考生要面对数学难题,能接受挑战,进入发明创造的角度,提出了较高的素质要求。
六、应注意的问题
1、几何是公理、定理的体系,在学习中要认真理解记忆这些公理、定理,弄请它们的题设和结论,并掌握一些基本图形的特性,以便在几何命题的证明中,能精炼准确地表达推理过程。
2、掌握分析、证明几何题的常用方法。
(1)综合法(由因导果):
从命题的题设出发,通过一系列的有关定义、公理定理的运用,逐步向前推进,直到问题解决。
(2)分析法(执果索因):
从命题的结论出发,不断寻找使结论成立的条件,直至己知条件。
(3)两头凑法:
将分析法与综合法合并使用,比较起来,分析法利于思考,综合法宜于表达,因此在实际思考问题时,可合并使用灵活处理,以利于缩短题设与结论之间的距离,最后达到完全沟通。
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