函数单调性教案Word格式文档下载.docx
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四、教学方法和教学手段的选择:
本节课是函数单调性的起始课,采用教师启发讲授,学生探究学习的教学方法,通过创设情境,引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.本节课使用多媒体辅助教学,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识.
五、教学过程:
1•创设情境,导入课题
问题1:
(1)请同学们指出该天的气温在如何变化?
怎样用数学语言来描述“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征?
(2)同学们还能举出生活中其他的数据变化情况吗?
预案:
水位高低、燃油价格、股票价格等.
学生活动:
独立思考
教师行为:
提问、引导学生作答
设计意图:
要想认识和理解函数单调性这一抽象的定义,,必须从几何直观入手,即从函数图象入手。
这个问题的设置就是想通过实际生活中的一个例子,让学生对图象的上升和下降有一个初步的感性认识,为下一步对概念的理性认识做好铺垫。
同时通过这个实例,让学生感受到函数的单调性和我们的生活密切相关,进而激发学生的兴趣,引发学生进一步学习的好奇心。
2.抽象思维,概念的形成过程
问题2:
给同学们一分钟的时间画出函数YX1和Y=X2的图象,回答下面两个问题:
(1)分别指出上面两个函数的图象在哪个区间是上升的,在哪个区间是下降的?
小组合作探求问题的答案
在问题1的基础之上,通过学生们熟悉的两个图象,进一步强化他们对图象的感性认识,引导学生能用自然语言描述出图象的变化规律,让学生大胆去说,教师逐步修正、完善学生的说法,最后给出正确答案。
从数学学科这个整体来看,数学的高度抽象性造就了数学的难懂、难教、难学,解决这一问题的基本途径是顺应学习者的认知规律,在需要和可能的情况下,尽量做到从直观入手,从具体开始,逐步抽象。
以同学们熟悉的一次函数和二次函数为切入点,顺应了同学们的认知规律,做到了直观和具体。
(2)同学们能根据初中学过的知识,用数学语言来描述一下“上升”和“下降”的含义吗?
在知识过渡的关键点处,教师引导学生从函数变量的角度去分析问题,给学生一定的时间,让他们通过观察、思考、探究对问题做出答案。
有条件的情况下,教师可通过“几何画板”展示YX1图象上A点的运动情况,让x学生观察x和y值的变化。
运用初中所学知识就能得到结论:
函数丫X1在R上随着x的增大,y也增大。
我们称这样的函数y为增函数。
同理我们把y随着x的增大而减小的函数称为减函数。
用类比的方法,我们得到:
函数Y=X2在区间,0上,随着x的
增大,y相应的减少。
在区间0,上,随着x的增大,y相应的增大。
设计意图:
学生对图象的认识由感性上升到理性,这是一个难点。
如果能运用几何画板,就会使问题变得直观,让学生更好的体会数与形的完美结合。
问题3:
你能推断yx龙图象的升降趋势吗?
小组合作、交流
就学生目前的认知水平,无法得知函数yx必的图象,学生陷入了困境,在不知图象的前提下,我们能得知图象的升降趋势吗?
教师把问题抛给学生,让学生大胆猜想。
可以推想,同学们在没有图象的前提之下,会想通过给函数的自变量取特殊值来说明函数的增减性,对学生的思考的预想:
预想1:
如当花0.5时,%2.5;
当X21时,y22,显然0.5V1,
2.5>
2由此推断:
当x增大时,y随着减小,会得出结论函数在区间
0,上为减函数。
预想2:
如当X1=1时,y12;
当X2=2时,y22.5,显然1V2,2V2.5此推断:
当x增大时,y随着增大,会得出结论函数在区间0,上为增函数。
同学们的猜想对吗?
用“几何画板”做出yx刃图象,并及时提问,为什么会出错?
因为不能用特殊的两个值来判断。
我们以前学的概念是描述性定义,怎样用精确的数学语言来定义呢?
3.给出定义,剖析概念
教师提问:
1.请大家说说上述定义的“增大”是什么意思?
(比较)
2.比较至少是几个量之间?
(两个)
3.怎样取这两个量?
取特殊值可以吗?
(不可以,必需取遍整个区间的所有值)
4.能做到一一全部都取出来吗?
(不能,任意取x1和x2)
引导学生写出单调性的严格定义:
设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值xi和X2,当xiVX2时,都有f(xi)Vf(X2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数,D称为函数f(x)的单调增区
如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值xi和X2,当XiVX2时,都有f(xi)>
f(X2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数,D称为函数f(x)的单调减区间。
图象的变化趋势为:
对定义的分析:
(1)区间:
函数单调性是针对某一个区间而言的,是一个局部性质
(2)任意:
xi和X2具有任意性,不能用特殊值代替。
(3)函数的单调性与Xi,X2的谁大谁小无关,表现的是函数值随自变
量的变化而变化的一种趋势
函数的单调性的研究经历了从直观到抽象,以图识数的过
程,在这个过程中,留给学生思维的时间和空间,在课堂上随学生的
思路的变化而变化,从而培养学生的创新意识,提高学生的探究能力。
4.范例讲解,运用概念
例1如图,是定义在闭区间[-5,5]上的函数yf(x)的图象,根据图象说出yf(x)的单调区间,以及在每一单调区间上,函数是yf(x)是函数还是减函数?
直接提问
心理学认为概念一旦形成,必须及时加以巩固.设计例1,通过直观的的图象加深学生对函数单调性等概念的理解.
注意:
函数的单调性是对某一个区间而言的,对于单独的一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,因而没有增减变化,所以不存在单调性问题,同时,在区间的端点处若有定义,可开可闭,但在整个定义域内要完整。
例2判断函数f(x)=x2在(0,)上是增函数还是减函数?
并证明结论.
证明:
设任意的Xi,X2(0,)且xi<
X2,则
22
f(Xi)f(X2)XiX2(XiX2)(XiX2)
由Xi<
X2,得XiX2<
0
Xi,X2(0,),XiX2>
于是f(x1)f(x2)<
0即f(xj<
f(x2)所以,f(x)=x2在(0,)上是增函数。
使学生从简单的函数入手,体会用定义证明函数单调性的方法,有助于学生的理解。
例3物理学中的玻意耳定律pkv(k是正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当体积V减小时压强p将增大.试用函数单调性证明之.
学生活动:
教师行为:
提问:
i.p怀是函数吗?
2•你能画出pkv的图像吗?
3.pkv是否具有单调性,请猜想.
4.证明你的猜想.
设任意的vi,v2(0,)且vi<
v2
PiP2Ji■kVj
因为vi<
v2,则viv2<
0又因为Vi,V2(0,),则ViV2>
因为k>
0所以kV2Vi>
viv2
即Pi>
P2所以体积V减小,压强p将增大.
用数学方法证明物理学中的一个定理,体现了学科之间的整合,突出了函数单调性的重要性。
没有按照传统的证明函数单调性的“四步曲”,而是设置了四个问题,尽可能的让学生去思考,这样不仅可以提高学生探究问题的能力,还可以加深学生对定义的理解.
总结:
利用定义证明函数单调性的步骤:
①任意取值:
即设该区间内的任意两个值Xi和x2,且Xivx2
2作差变形:
作差f(Xi)f(X2)(因式分解、配方、有理式等)
3判断定号:
确定f(Xi)f(X2)的符号
4得出结论:
根据定义作出结论
5.归纳小结,巩固新知
归纳小结是巩固新知不可或缺的环节之一,这个环节对培养学生的归纳概括能力、自我获取知识的能力是十分重要的。
本节课我们采用了探究的方法来研究函数单调性的概念,从几何直观入手,最终抽
象出概念,希望同学们能够学会这种探究问题的方式。
对于函数单调性的应用,学习中要注意证明单调性的过程、步骤和格式。
感受数学与实际相结合,体会数学的魅力,注重数与形的和谐美。
6•布置作业,提高升华
必做题:
1•举一个实际生活中的例子,说明函数在定义域上是减函数.
2.书后32页第4题,39页第1、2题
2
二次函数yaxbxc及反比例函数ykX的单调性。
基于函数单调性内容的特点及学生实际,对课后书面作业实施分层设置,安排基本练习题和深化探究题.学生完成作业的形式为必做、选做两种.设置必做题的目的是巩固本节课应知应会的内容,面向全体学生,人人必须完成。
设置选做题的目的是为了提升能力,发展智力,选做题难度稍大一些,要求学生根据个人的实际情况尽力完成,对学有余力的尖子生要求他们要完成,让每一个学生都得到符合自身实践的感悟,使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦,看到自己的潜能,从而激发学生饱满的学习兴趣.
六、教学评价
学生学习的结果评价当然重要,但是更重要的是学生学习的过程评价.教师应当高度重视学生学习过程中的自信心、团队精神、合作意识、独立思考习惯的养成、数学发现的能力,以及学习的兴趣和成就感.学生熟悉的问题情境可以激发学生的学习兴趣,问题串的设计可以让更多的学生主动参与,师生对话可以实现师生合作,适度的研讨可以促进生生交流以及团队精神,知识的生成和问题的解决可以让学生感受到成功的喜悦,让学生在教师评价、学生评价以及自我评价的过程中体验知识的积累、探索能力的长进和思维品质的提高,为学生的可持续发展打下基础。
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- 关 键 词:
- 函数 调性 教案