《电磁场与电磁波》课后习题解答第五章.docx
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《电磁场与电磁波》课后习题解答第五章
《电磁场与电磁波》课后习题解答(第五章)
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习题及参考答案
5.1一个点电荷Q与无穷大导体平面相距为d,如果把它移动到无穷远处,需要作多少功?
解:
用镜像法计算。
导体面上的感应电荷的影响用镜像电荷来代替,镜像电荷的大小为-Q,位于和原电荷对称的位置。
当电荷Q离导体板的距离为x时,电荷Q受到的静电力为
静电力为引力,要将其移动到无穷远处,必须加一个和静电力相反的外力
在移动过程中,外力f所作的功为
当用外力将电荷Q移动到无穷远处时,同时也要将镜像电荷移动到无穷远处,所以,在整个过程中,外力作的总功为。
也可以用静电能计算。
在移动以前,系统的静电能等于两个点电荷之间的相互作用能:
移动点电荷Q到无穷远处以后,系统的静电能为零。
因此,在这个过程中,外力作功等于系统静电能的增量,即外力作功为。
5.2一个点电荷放在直角导体内部(如图5-1),求出所有镜像电荷的位置和大小。
解:
需要加三个镜像电荷代替
导体面上的感应电荷。
在(-a,d)
处,镜像电荷为-q,在(错误!
链接无效。
)处,
镜像电荷为q,在(a,-d)处,镜
像电荷为-q。
图5-1
5.3证明:
一个点电荷q和一个带有电
荷Q、半径为R的导体球之间的作用力为
其中D是q到球心的距离(D>R)。
证明:
使用镜像法分析。
由于导体球不接地,本身又带电Q,必须在导体球内加上两个镜像电荷来等效导体球对球外的影响。
在距离球心b=R2/D处,镜像电荷为q'=-Rq/D;在球心处,镜像电荷为。
点电荷q受导体球的作用力就等于球内两个镜像电荷对q的作用力,即
5.4两个点电荷+Q和-Q位于一个半径为a的接地导体球的直径的延长线上,分别距离球心D和-D。
(1)证明:
镜像电荷构成一电偶极子,位于球心,偶极矩为2a3Q/D2。
(2)令Q和D分别趋于无穷,同时保持Q/D2不变,计算球外的电场。
解:
(1)使用导体球面的镜像法叠加原理分析。
在球内应该加上两个镜像电荷:
一个是Q在球面上的镜像电荷,q1=-aQ/D,距离球心b=a2/D;第二个是-Q在球面上的镜像电荷,q2=aQ/D,距离球心b1=-a2/D。
当距离较大时,镜像电荷间的距离很小,等效为一个电偶极子,电偶极矩为
(2)球外任意点的电场等于四个点电荷产生的电场的叠加。
设+Q和-Q位于坐标z轴上,当Q和D分别趋于无穷,同时保持Q/D2不变时,由+Q和-Q在空间产生的电场相当于均匀平板电容器的电场,是一个均匀场。
均匀场的大小为,方向在-ez。
由镜像电荷产生的电场可以由电偶极子的公式计算:
5.5接地无限大导体平板上有一个半径为a的半球形突起,在点(0,0,d)处有一个点电荷q(如图5-5),求导体上方的电位。
·
·
·
·
·
d
q
b
q2
q3
-b
-d
q1
a
z
解:
计算导体上方的电位时,要保持
导体平板部分和半球部分的电位都为
零。
先找平面导体的镜像电荷q1=-q,
位于(0,0,-d)处。
再找球面镜像
电荷q2=-aq/d,位于(0,0,b)处,
b=a2/d。
当叠加这两个镜像电荷和原电
荷共同产生的电位时,在导体平面上和图5-5
球面上都不为零,应当在球内再加上一个镜像电荷q3=aq/d,位于(0,0,-b)处。
这时,三个镜像电荷和原电荷共同产生的电位在导体平面和球面上都为零。
而且三个镜像电荷在要计算的区域以外。
导体上方的电位为四个点电荷的叠加,即
其中
5.6求截面为矩形的无限长区域(0 四壁的电位为 解: 由边界条件知,方程的基本解在y方向应该为周期函数,且仅仅取正弦函数,即 在x方向,考虑到是有限区域,选取双曲正弦和双曲余弦函数,使用边界条件,得出仅仅选取双曲正弦函数,即 将基本解进行线性组合,得 待定常数由x=a处的边界条件确定,即 使用正弦函数的正交归一性质,有 化简以后得 = 求出系数,代入电位表达式,得 5.7一个截面如图5-7所示的长槽,向y方向无限延伸,两则的电位是零,槽内y→∞,φ→0,底部的电位为 求槽内的电位。 解: 由于在x=0和x=a两个边界的 电位为零,故在x方向选取周期解, 且仅仅取正弦函数,即 图5-7 在y方向,区域包含无穷远处,故选取指数函数,在y→∞时,电位趋于零,所以选取由基本解的叠加构成电位的表示式为 由基本解的叠加构成电位的表示式为 待定系数由y=0的边界条件确定。 在电位表示式中,令y=0,得 当n为奇数时,,当n为偶数时,。 最后,电位的解为 5.7若上题的底部的电位为 重新求槽内的电位。 解: 同上题,在x方向选取正弦函数,即,在y方向选取。 由基本解的叠加构成电位的表示式为 将y=0的电位代入,得 应用正弦级数展开的唯一性,可以得到n=3时,,其余系数,所以 5.9一个矩形导体槽由两部分构成,如图5-9所示,两个导体板的电位分别是U0和零,求槽内的电位。 解: 将原问题的电位看成是两个电 位的叠加。 一个电位与平行板电容 器的电位相同(上板电位为U0,下 板电位为零),另一个电位为U,即 图5-9 其中,U满足拉普拉斯方程,其边界条件为 y=0,U=0 y=a,U=0 x=0时, x→∞时,电位U应该趋于零。 U的形式解为 待定系数用x=0的条件确定。 化简以后,得到 = 只有偶数项的系数不为零。 将系数求出,代入电位的表达式,得 5.10将一个半径为a的无限长导体管平分成两半,两部分之间互相绝缘,上半(0<Ф<π)接电压U0,下半(π<Ф<2π)电位为零,如图5-10,求管内的电位。 解: 圆柱坐标的通解为 由于柱内电位在r=0点为有限值, 通解中不能有lnr和r-n项,即有 柱内电位是角度的周期函数,A0=0。 因此,该题的通解取为图5-10 各项系数用r=a处的边界条件来定。 柱内的电位为 5.11半径为无穷长的圆柱面上,有密度为的面电荷,求圆柱面内、外的电位。 解: 由于面电荷是余弦分布,所以柱内、外的电位也是角度的偶函数。 柱外的电位不应有项。 柱内、外的电位也不应有对数项,且是角度的周期函数。 故柱内电位选为 柱外电位选为 假定无穷远处的电位为零,定出系数。 在界面r=a上, 即 解之得 最后的电位为 5.12将一个半径为a的导体球置于均匀电场E0中,求球外的电位、电场。 解: 采用球坐标求解。 设均匀电场沿 正z方向,并设原点为电位零点(如 图5-12)。 因球面是等位面,所以在 r=a处,φ=0;在r→∞处,电位应是 φ=-E0rcosθ。 球坐标中电位通解具图5-12 有如下形式: 用无穷远处的边界条件r→∞及φ=-E0rcosθ,得到, A1=-E0,其余An=0。 再使用球面上(r=a)的边界条件: 上式可以改写为 因为勒让德多项式是完备的,即将任意的函数展开成勒让德多项式的系数是惟一的,比较上式左右两边,并注意,得,即,其余的。 故导体球外电位为 电场强度为 r · Ф E0 x 5.13将半径为a、介电常数为ε的无限长介质圆柱放置于均匀电场E0中,设E0沿x方向,柱的轴沿z轴,柱外为空气,如图5-13,求任意点的电位、电场。 解: 选取原点为电位参考点,用 表示柱内电位,表示柱外电位。 ε ε0 在r→∞处,电位因几何结构和场分 布关于y=0平面对称,故电位表示图5-13 式中不应有的正弦项。 令 因在原点处电位为零,定出A0=0,Bn=0。 用无穷远处边界条件r→∞及=-E0rcosФ,定出C1=-E0,其余C0=0。 这样,柱内、外电位简化为 再用介质柱和空气界面(r=a)的边界条件=及,得 比较左右n=1的系数,得 解之得 比较系数方程左右n>1的各项,得 由此解出。 最终得到圆柱内、外的电位分别是 电场强度分别为 5.14在均匀电场中,设置一个半径为a的介质球,若电场的方向沿z轴,求介质球内、外的电位、电场(介质球的介电常数为ε,球外为空气)。 解: 设球内、外电位解的形式分别为 选取球心处为电位的参考点,则球内电位的系数中,.在r→∞处,电位,则球外电位系数中,仅仅不为零,,其余为零。 因此,球内、外解的形式可分别简化为 再用介质球面(r=a)的边界条件=及,得 比较上式的系数,可以知道,除了n=1以外,系数、均为零,且 由此,解出系数 最后得到电位、电场:
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- 电磁场与电磁波 电磁场 电磁波 课后 习题 解答 第五