动载荷计算Word下载.docx
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下面,就依次讨论构件受前两类动载荷作用时的强度计算问题。
14.2构件作加速运动时的应力计算
本节只讨论构件内各质点的加速度为常数的情形,即匀加速运动构件的应力计算。
14.2.1构件作匀加速直线运动
设吊车以匀加速度a吊起一根匀质等直杆,如图14-1(a)所示。
杆件长度为l,横截面面积为A,杆件单位体积的重量为,,现在来分析杆内的应力。
由于匀质等直杆作匀加速运动(故其所有质点都具有相同的加速度a,因而只要在每质点上都施加一个大小等于其质量m与加速度a的乘积、而方向与a相反的惯性力,则整个杆件即可认为处于平衡状态。
于是这一动力学问题即可作为静力学问题来
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处理。
这种通过施加惯性力系而将动力学问
题转换为静力学问题的处理方法,称为动静
法。
对于作匀加速直线运动的匀质等直杆来
说,在单位长杆上应施加的惯性力,亦即它
所受到的动载荷显然为
Aγp,adg
它的方向与a相反,并沿杆件的轴线均匀分
布。
为了计算此杆的应力,首先来分析它的内力。
为此,应用截面法,在距下端为x处将杆假想地切开,并保留下面一段杆,其受力情况如
图14-1(b)所示。
此段杆受到沿其长度均匀分布的轴向载荷的作用,其集度即单位长杆所受到的载荷为
Aγap,p,p,Aγ,a,Aγ(1,)stdgg
p,A,式中,是单位长杆所受到的重力,即a=0时单位长杆所受到的载荷,亦即静st
载荷。
在上述轴向载荷作用下,直杆横截面上的内力应为一轴力,由平衡条件
F,0得此轴力的大小为,x
aF,px,Aγ(1,)x(14-1)Ndg
轴力在横截面上将引起均匀分布的正应力,于是,该截面上的动应力为
FaNdζ,,γx(1,)(14-2)dAg
由式(14-2)可知,这一动应力是沿杆长按线性规律变化的,其变化规律如图14-1(c)所示。
若此杆件静止悬挂或匀速提升时,亦即受静载荷作用时,由于a=0,由公式(14-2)得其静应力为
ζ,γxst
于是动应力又可以表示为
aζ,ζ(1,),Kζ(14-3)dstdstg
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ζad(14-4)K,,1,dζgst
K称为动荷系数。
于是,构件作匀加速直线运动的强度条件为d
ζ,ζ.K,[ζ](14-5)dmaxstmaxd
K由于在动载荷系数中已经包含了动载荷的影响,所以即为静载下的许用应力。
[,]d
动载荷系数的概念在结构的动力计算中是非常有用的,因为通过它可将动力计算问题转化为静力计算问题,即只需要将由静力计算的结果乘上一个动载荷系数就是所
K需要的结果。
但应注意,对不同类型的动力问题,其动载荷系数是不相同的。
d
14.2.2构件作匀角遮转动时的应力计算
构件作匀角速转动时,构件内各点具有向心加速度,施加离心惯心力后,可采用动静法求解。
图14-2(a)所示为一等直杆绕铅直轴O(垂直于纸面)作匀角速转动。
现求杆内最大动应力及杆的总伸长。
设匀角速度为,(rad/s),杆的横截面积为A(杆的重量密度为,,弹性模量为E。
因杆绕O轴作匀角速转动,杆内各点到转轴O的距离不同,而有不同的向心加速度。
对细长杆距杆右端为的截面上各点的加速度为,
2a,,(l,,)n
该处的惯性力集度为
2ρAωq(ξ),(l,ξ)dg
取微段,此微段上的惯性力为d,
2,,AdF,(l,,)d,g
计算距杆右端为x处截面上的内力,运用截面法,保留杆x截面以右部分,在保
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留部分上作用有轴力F(x)及集度为q的分布惯性力,如图14-2(b)所示,由平衡条件Nd
F,0得,x
x2ρAωF(x),(l,ξ)dξN,g0
由此得出
22ρAωx(),(,)FxlxN2g
最大轴力发生在x=l处
2ρAω2Fl,Nmax2g
最大动应力为
2ρω2ζ,lmax2g
可见,本例中杆的动应力与杆的横截面面积无关。
下面计算杆的总伸长。
距杆右端为x处取微段dx,应用虎克定律,此微段的伸长
为
F(x)Nd(,l)dxEA
进行积分,求得杆的总伸长为
ll2223F(x)ρωxρωlNΔldx(lx)dx,,,,,,EAEg23Eg00
例14-1图14-3(a)所示之薄壁圆环,以匀角速绕通过圆心且垂直于圆环平面的
轴转动,试求圆环的动应力及平均直径D的改变量。
已知圆环的横截面面积为A,材
料单位体积的质量为,弹性模量为E。
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解因圆环作匀角速运动,所以环内各点只有向心加速度。
对于薄壁圆环,其壁厚远小于平均直径D,可近似认为环内各点向心加速度大小相同,且等于平均直径为D的圆周上各点的向心加速度,即
2D,,an2
于是,沿平均直径为D的圆周上均匀分布的离心惯性力集度q为d
2Dω,,qAρρAρdn2
按动静法,离心惯性力q自身组成一平衡力系。
为了求得圆环的周向应力,先求通过d
直径截面上的内力。
为此将圆环沿直径分成两部分。
研究上半部分,见图14-3(c),内
FF,0力以表示,由平衡条件,得,Ndy
πD2sinF,qθdθNdd,20
22DAρρω,,Fq解得,Ndd24
22FρDωNd,,ζ圆环的周向应力为d4A
22ρDωζ,,[,]根据强度条件d4
可确定圆环的极限匀角速度为
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2[,]。
ω,uDρ
ω可见与横截面面积无关,即面积A对强度没有影响。
u
下面计算平均直径的改变量。
若周向应变为,有,d
π(Dδ)πDδ,,ε,,dπDD
δ,εD即d
ζd,ε根据虎克定律,代入上式,得平均直径的改变量为dE
32ζρDωdδD,,E4E
若圆环是飞轮的轮缘,它与轮心采用过盈配合,当转速过大时,则由于变形过大
而可能自行脱落。
例14-2在AB轴的B端有一个质量很大的飞轮(图14-4)。
与飞轮相比,轴的质
量可以忽略不计。
轴的另一端A
装有刹车离合器。
飞轮的转动惯
2I,0.5kNms量为,轴的直径x
d=100mm,转速n=300r/min,刹
车时使轴在10秒内均匀减速停
止转动。
试求轴内最大动应力。
解轴与飞轮的角速度(rad/s)为
,n300,,,,10,030302刹车时的角加速度(rad/s)为
,,,0,1010,,,,,at10
等号右边的负号只是表示与的方向相反。
按动静法,飞轮的惯性力偶矩与轮am,0d
m上的摩擦力矩组成平衡力系。
惯性力偶矩(kN?
m)为f
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m,,Ia,0.5,dx
M,0m,m,0.5π由平衡条件,得,xfd
轴横截面上的最大切应力为
3m0.5π,10dη,,Pa,8MPamaxπW3n,0.116
14-3构件受冲击时的应力与变形
当不同速度的两个物体相接触,其速度在非常短的时间内发生改变时,或载荷迅速地作用在构件上,便发生了冲击现象。
例如汽锤锻造、金属冲压加工、传动轴的突然制动等情况下都会出现冲击问题。
通常冲击问题按一次性冲击考虑,对多次重复性冲击载荷来说将产生冲击疲劳。
14.3.1冲击问题的理想化
冲击应力的计算是一个复杂问题。
其困难在于需要分析物体在接触区内的应力状态和冲击力随时间变化的规律。
冲击发生时,冲击区和支承处因局部塑性变形等会引起能量损失。
同时,由于物体的惯性作用会使冲击时的应力或位移以波动的形式进行传播。
考虑这些因素时,问题就变得十分复杂了,其中许多问题仍是目前正在研究和探索的问题。
因此,在工程中通常都在假设的基础上,采用近似的方法进行分析计算。
即首先根据冲击物被冲击物在冲击过程中的主要表现,将冲击问题理想化,以便于求解。
这里介绍一种建立在一些假设基础上的按能量守恒原理分析冲击应力和变形的方法,可对冲击问题给出近似解答。
假设当冲击发生时:
1(冲击物为刚体,即略去其变形的影响。
2(被冲击物的惯性可以略去不计,并认为两物体一经接触就附着在一起,成为一个运动系统。
3(材料服从虎克定律,并略去冲击时因材料局部塑性变形和发出声响等而引起的一切其它能量损失。
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基于上述假设,任何受冲击的构件或结构都可视为一个只起弹簧作用,而本身不具有质量的受冲击的弹簧。
例如图14-5(a)、(b)、(c)、(d)所示的受自由落体冲击时的构件或结构,都可简化为图14-6所示的冲击模型。
只是各种情况下与弹簧等效的各自
EA的弹簧常数不同而已。
例如图14-5(a)、(b)所示的构件,其等效的弹簧常数应分别为l3EA和。
3l
14.3.2简单冲击问题的解法
1(自由落体冲击
设一简支梁(线弹性体)受自由落体
冲击如图14-7所示,试分析此梁内的最
大动应力。
设重物的重量为G,到梁顶面的距
离为h,并设冲击时梁所受到的冲击力为
F,其作用点的相应位移。
则冲击物dd在冲击前的瞬间所具有的速度为
v,2gh
而在它与被冲击物一起下降后,这一速度变为零。
于是,冲击物在冲击过程中的d
能量损失包括两部分,一部分是动能损失
G2T,v2g
-332-
另一部分是势能损失
V,GΔd
而被冲击物在这一过程中所储存的变形能,即等于冲击力所作的功。
对于线弹性体,
有
FΔddU,d2
根据前面的假设,在冲击过程中,冲击物所损失的能量,应等于被冲击物所储存
的变形能,则有
U,T,Vd
即
FΔG2dd(a),v,GΔd22g
如设冲击点在静载荷G作用下的相应位移为,对于理想线弹性体,显然有,st
FGd,ΔΔdst
所以得到
FΔdd,,K(b)dGΔst
K式中,为动荷系数。
将动载荷系数的表达式(b)代人能量转换式(a)并经整理后得d
2v2KK,2,,0(c)ddgΔst
方程(c)显然有两个根,其中负根对于这里讨论的问题来说是无意义的,故舍弃。
于是
动载荷系数为:
2vK,1,1,(14-6)dgΔst
式(14-6)适用于所有自由落体冲
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