.(表示不超过x的最大整数)
10.小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8,成为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字2,成为一个八位数的电话号码.小明发现,他家两次升位后的电话号码的八位数,恰是原来电话号码的六位数的81倍,则小明家原来的电话号码是.
三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)
11.已知,,为互质的正整数(即,是正整数,且它们的最大公约数为1),且≤8,.
(1)试写出一个满足条件的x;
(2)求所有满足条件的x.
12.设,,为互不相等的实数,且满足关系式
①
②
求a的取值范围.
13.如图,点P为⊙O外一点,过点P作⊙O的两条切线,切点分别为A,B.过点A作PB的平行线,交⊙O于点C.连结PC,交⊙O于点E;连结AE,并延长AE交PB于点K.求证:
PE·AC=CE·KB.
14.10个学生参加n个课外小组,每一个小组至多5个人,每两个学生至少参加某一个小组,任意两个课外小组,至少可以找到两个学生,他们都不在这两个课外小组中.求n的最小值.
2006年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分。
以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填均得0分)
1.在高速公路上,从3千米处开始,每隔4千米经过一个限速标志牌;并且从10千米处开始,每隔9千米经过一个速度监控仪.刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是()
(A)36(B)37(C)55(D)90
答:
C.
解:
因为4和9的最小公倍数为36,19+36=55,所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处.
故选C.
2.已知,,且=8,则a的值等于()
(A)-5(B)5(C)-9(D)9
答:
C.
解:
由已知可得,.又
=8,所以解得a=-9
故选C.
3.Rt△ABC的三个顶点A,B,C均在抛物线上,并且斜边AB平行于x轴.若斜边上的高为h,则()
(A)h<1(B)h=1(C)12
答:
B.
解:
设点A的坐标为(a,a2),点C的坐标为(c,c2)(|c|<|a|),则点B的坐标为(-a,a2),由勾股定理,得,
,
所以.
由于,所以a2-c2=1,故斜边AB上高h=a2-c2=1
故选B.
4.一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出其中一部分,再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到的三部分中拿出其中之一,还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去,最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片,则至少要剪的刀数是()
(A)2004(B)2005(C)2006(D)2007
答:
B.
解:
根据题意,用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时,每剪开一次,使得各部分的内角和增加360°.于是,剪过k次后,可得(k+1)个多边形,这些多边形的内角和为(k+1)×360°.
因为这(k+1)个多边形中有34个六十二边形,它们的内角和为
34×(62-2)×180°=34×60×180°,其余多边形有(k+1)-34=k-33(个),
而这些多边形的内角和不少于(k-33)×180°.
所以(k+1)×360°≥34×60×180°+(k-33)×180°,解得k≥2005.
当我们按如下方式剪2005刀时,可以得到符合条件的结论.先从正方形上剪下1个三角形,得到1个三角形和1个五边形;再在五边形上剪下1个三角形,得到2个三角形和1个六边形……如此下去,剪了58刀后,得到58个三角形和1个六十二边形.再取33个三角形,在每个三角形上剪一刀,又可得到33个三角形和33个四边形,对这33个四边形,按上述正方形的剪法,再各剪58刀,便34个六十二边形和33×58个三角形.于是共剪了58+33+33×58=2005(刀).
故选B.
5.如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在劣弧AB上,连结DP,交AC于点Q.若QP=QO,则的值为()
(A);(B)
(C);(D)
答:
D.
解:
如图,设⊙O的半径为r,QO=m,
则QP=m,QC=r+m,QA=r-m.
在⊙O中,根据相交弦定理,得QA·QC=QP·QD.
即(r-m)(r+m)=m·QD,所以QD=.
连结DO,由勾股定理,得QD2=DO2+QO2,
即,解得
所以,
故选D.
二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)
6.已知a,b,c为整数,且a+b=2006,c-a=2005.若a
答:
5013.
解:
由,,得.
因为,a
于是,a+b+c的最大值为5013.
7.如图,面积为的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC,其中a,b,c为整数,且b不能被任何质数的平方整除,则的值等于.
答:
.
解:
设正方形DEFG的边长为x,正三角形ABC的边长为m,则,
由△ADG∽△ABC,可得,解得
于是,
由题意,,,,所以.
8.正五边形广场ABCDE的周长为2000米.甲、乙两人分别从A、C两点同时出发,沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走,甲的速度为50米/分,乙的速度为46米/分.那么出发后经过分钟,甲、乙两人第一次行走在同一条边上.
答:
104.
解:
设甲走完x条边时,甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上,此时甲走了400x米,乙走了46×=368x米.于是368(x-1)+800-400(x-1)>400,
所以,12.5≤x<13.5.故x=13,此时.
9.已知0答:
6.
解:
因为0<,
所以,,…,等于0或1.
由题设知,其中有18个等于1,所以
=0,
=1,
所以,1≤<2.
故18≤30a<19,于是6≤10a<,所以=6.
10.小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8,成为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字2,成为一个八位数的电话号码.小明发现,他家两次升位后的电话号码的八位数,恰是原来电话号码的六位数的81倍,则小明家原来的电话号码是.
答:
282500.
解:
设原来电话号码的六位数为,则经过两次升位后电话号码的八位数为
.根据题意,有81×=.
记,于是
,
解得x=1250×(208-71a).
因为0≤x<,所以0≤1250×(208-71a)<,故≤.
因为a为整数,所以a=2.于是x=1250×(208-71×2)=82500.
所以,小明家原来的电话号码为282500.
三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)
11.已知,,为互质的正整数(即,是正整数,且它们的最大公约数为1),且≤8,.
(1)试写出一个满足条件的x;
(2)求所有满足条件的x.
解:
(1)满足条件.……………5分
(2)因为,,为互质的正整数,且≤8,所以
,即.
当a=1时,,这样的正整数不存在.
当a=2时,,故=1,此时.
当a=3时,,故=2,此时.
当a=4时,,与互质的正整数不存在.
当a=5时,,故=3,此时.
当a=6时,,与互质的正整数不存在.
当a=7时,,故=3,4,5此时,,.
当a=8时,,故=5,此时
所以,满足条件的所有分数为,,,,,,.………………15分
12.设,,为互不相等的实数,且满足关系式
①
②
求a的取值范围.
解法一:
由①-2×②得,所以a>-1.
当a>-1时,=.……………10分
又当时,由①,②得,③
④
将④两边平方,结合③得
化简得,
故,
解得,或.
所以,a的取值范围为a>-1且,.………………………15分
解法二:
因为,,
所以,
所以.又,
所以,为一元二次方程⑤
的两个不相等实数根,
故,所以a>-1.
当a>-1时,=.……………10分
另外,当时,由⑤式有,
即或,解得,或.
当时,同理可得或.
所以,a的取值范围为a>-1且,.………………………15分
13.如图,点P为⊙O外一点,过点P作⊙O的两条切线,切点分别为A,B.过点A作PB的平行线,交⊙O于点C.连结PC,交⊙O于点E;连结AE,并延长AE交PB于点K.求证:
PE·AC=CE·KB.
证明:
因为AC∥PB,所以∠KPE=∠ACE.又PA是⊙O的切线,
所以∠KAP=∠ACE,故∠KPE=∠KAP,于是
△KPE∽△KAP,
所以,即.
由切割线定理得
所以.………………10分
因为AC∥PB,△KPE∽△ACE,于是
故,
即PE·AC=CE·KB.………………15分
14.10个学生参加n个课外小组,每一个小组至多5个人,每两个学生至少参加某一个小组,任意两个课外小组,至少可以找到两个学生,他们都不在这两个课外小组中.求n的最小值.
解:
设10个学生为,,…,,n个课外小组,,…,.
首先,每个学生至少参加两个课外小组.否则,若有一个学生只参加一个课外小组,设这个学生