精编版全国各地中考数学试题分类解析汇编代数综合.docx
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精编版全国各地中考数学试题分类解析汇编代数综合
(精编版)2021全国各地中考数学试题分类解析汇编
代数综合问题
1.〔2021广东佛山10分〕规律是数学研究的重要内容之一.
初中数学中研究的规律主要有一些特定的规那么、符号(数)及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面.
请你解决以下与数的表示和运算相关的问题:
(1)写出奇数a用整数n表示的式子;
(2)写出有理数b用整数m和整数n表示的式子;
(3)函数的研究中,应关注y随x变化而变化的数值规律(课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律).
下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究:
xi
0
1
2
3
4
5
...
yi
0
1
4
9
16
25
...
yi+1-yi
1
3
5
7
9
11
...
由表看出,当x的取值从0开始每增加1个单位时,y的值依次增加1,3,5...
请答复:
当x的取值从0开始每增加个单位时,y的值变化规律是什么?
当x的取值从0开始每增加个单位时,y的值变化规律是什么?
【答案】解:
〔1〕n是任意整数,那么表示任意一个奇数的式子是:
2n+1。
〔2〕有理数b=〔n≠0〕。
〔3〕①当x的取值从0开始每增加个单位时,列表如下:
xi
0
1
2
...
yi
0
1
4
...
yi+1-yi
...
故当x的取值从0开始每增加个单位时,y的值依次增加、、…。
②当x的取值从0开始每增加个单位时,列表如下:
xi
0
...
yi
0
...
yi+1-yi
...
故当x的取值从0开始每增加个单位时,y的值依次增加、、…。
【考点】分类归纳〔数字的变化类〕,二次函数的性质,实数。
【分析】〔1〕n是任意整数,偶数是能被2整除的数,那么偶数可以表示为2n,因为偶数与奇数相差1,所以奇数可以表示为2n+1。
〔2〕根据有理数是整数与分数的统称,而所有的整数都可以写成整数的形式,据此可以得到答案。
〔3〕根据图表计算出相应的数值后即可看出y随着x的变化而变化的规律。
2.〔2021广东梅州10分〕〔1〕一元二次方程x2+px+q=0〔p2﹣4q≥0〕的两根为x1、x2;求证:
x1+x2=﹣p,x1•x2=q.
〔2〕抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点,且过点〔﹣1,﹣1〕,设线段AB的长为d,当p为何值时,d2取得最小值,并求出最小值.
【答案】〔1〕证明:
∵a=1,b=p,c=q,p2﹣4q≥0,
∴。
〔2〕解:
把〔﹣1,﹣1〕代入y=x2+px+q得p﹣q=2,即q=p﹣2。
设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为〔x1,0〕、〔x2,0〕。
∵d=|x1﹣x2|,
∴d2=〔x1﹣x2〕2=〔x1+x2〕2﹣4x1•x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=〔p﹣2〕2+4。
∴当p=2时,d2的最小值是4。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,抛物线与x轴的交点,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的最值。
【分析】〔1〕根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。
【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x1、x2的值,再求出两根的和与积即可】
〔2〕把点〔﹣1,﹣1〕代入抛物线的解析式,再由d=|x1﹣x2|可得d2关于p的函数关系式,应用二次函数的最值原理即可得出结论。
3.〔2021广东湛江12分〕先阅读理解下面的例题,再按要求解答以下问题:
例题:
解一元二次不等式x2﹣4>0
解:
∵x2﹣4=〔x+2〕〔x﹣2〕
∴x2﹣4>0可化为
〔x+2〕〔x﹣2〕>0
由有理数的乘法法那么“两数相乘,同号得正〞,得
解不等式组①,得x>2,
解不等式组②,得x<﹣2,
∴〔x+2〕〔x﹣2〕>0的解集为x>2或x<﹣2,
即一元二次不等式x2﹣4>0的解集为x>2或x<﹣2.
〔1〕一元二次不等式x2﹣16>0的解集为 ;
〔2〕分式不等式的解集为 ;
〔3〕解一元二次不等式2x2﹣3x<0.
【答案】解:
〔1〕x>4或x<﹣4。
〔2〕x>3或x<1。
〔3〕∵2x2﹣3x=x〔2x﹣3〕
∴2x2﹣3x<0可化为x〔2x﹣3〕<0
由有理数的乘法法那么“两数相乘,异号得负〞,得
或。
解不等式组①,得0<x<,解不等式组②,无解。
∴不等式2x2﹣3x<0的解集为0<x<。
【考点】有理数的乘法法那么,一元一次不等式组的应用。
【分析】〔1〕将一元二次不等式的左边因式分解后根据有理数的乘法法那么“两数相乘,同号得正〞化为两个一元一次不等式组求解即可。
〔2〕根据有理数的除法法那么“两数相除,同号得正〞,可以得到其分子、分母同号,从而转化为两个一元一次不等式组求解即可。
〔3〕将一元二次不等式的左边因式分解后,有理数的乘法法那么“两数相乘,异号得负〞,化为两个一元一次不等式组求解即可。
4.〔2021贵州黔西南14分〕问题:
方程,求一个一元二次方程,使它的根分别是方程根的2倍。
解:
设所求方程的根为y,那么y=2x,所以
把代入方程,得
化简,得:
故所求方程为
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法〞。
请阅读材料提供的“换根法〞求新方程〔要求:
把所求方程化成一般形式〕
〔1〕方程,求一个一元二次方程,使它的根分别是方程根的相反数,那么所求方程为:
;
〔2〕关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根,求一个一元二方程,使它的根分别是方程的倒数。
【答案】解:
〔1〕y2-y-2=0。
〔2〕设所求方程的根为y,那么〔x≠0〕,于是〔y≠0〕。
把代入方程,得,
去分母,得a+by+cy2=0。
假设c=0,有,可得有一个解为x=0,与不符,不符合题意。
∴c≠0。
∴所求方程为cy2+by+a=0〔c≠0〕。
【考点】一元二次方程的应用。
【分析】〔1〕设所求方程的根为y,那么y=-x所以x=-y。
把x=-y代入方程,得y2-y-2=0。
〔2〕根据所给的材料,设所求方程的根为y,再表示出x,代入原方程,整理即得出所求的方程。
5.〔〔2021江苏南京9分〕“?
〞的思考
下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批阅。
我的结果也正确
小明发现他解答的结果是正确的,但是老师却在他的解答中划了一条横线,并翻开了一个“?
〞
结果为何正确呢?
〔1〕请指出小明解答中存在的问题,并补充缺少的过程:
变化一下会怎样……
〔2〕如图,矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部,AB∥A′B′,AD∥A′D′,且AD:
AB=2:
1,设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d,要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,a、b、c、d应满足什么条件?
请说明理由.
【答案】解:
〔1〕小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:
1的理由。
在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,那么长为2xm.〞前补充以下过程:
设温室的宽为ym,那么长为2ym。
那么矩形蔬菜种植区域的宽为〔y-1-1〕m,长为〔2y-3-1〕m。
∵,∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:
1。
〔2〕a+cb+d=2。
理由如下:
要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,就要,即,
即,即a+cb+d=2。
【考点】一元二次方程的应用〔几何问题〕,相似多边形的性质,比例的性质。
【分析】〔1〕根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:
1的理由,所以由条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可。
〔2〕由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,利用相似多边形的性质,可得,然后利用比例的性质。
6.〔2021江苏盐城12分〕
知识迁移:
当且时,因为≥,所以≥,从而≥(当
时取等号).记函数,由上述结论可知:
当时,该函数有最小值为.
直接应用:
函数与函数,那么当_________时,取得最小值
为_________.
变形应用:
函数与函数,求的最小值,并指出取得该
最小值时相应的的值.
实际应用:
某汽车的一次运输本钱包含以下三个局部:
一是固定费用,共元;二是燃油费,每
千米为元;三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为.设该汽车一次运输的路程为千米,
求当为多少时,该汽车平均每千米的运输本钱最低?
最低是多少元?
【答案】解:
直接应用:
1;2。
变形应用:
∵,
∴有最小值为。
当,即时取得该最小值。
实际应用:
设该汽车平均每千米的运输本钱为元,那么
,
∴当(千米)时,
该汽车平均每千米的运输本钱最低,
最低本钱为元。
【考点】二次函数的应用,几何不等式。
【分析】直接运用:
可以直接套用题意所给的结论,即可得出结果:
∵函数,由上述结论可知:
当时,该函数有最小值为,
∴函数与函数,那么当时,取得最小值为。
变形运用:
先得出的表达式,然后将看做一个整体,再运用所给结论即可。
实际运用:
设该汽车平均每千米的运输本钱为元,那么可表示出平均每千米的运输本钱,利用所
给的结论即可得出答案。
7.〔2021四川内江12分〕如果方程的两个根是,那么请根据以上结论,解决以下问题:
(1)关于的方程求出一个一元二次方程,使它的两个根分别是方程两根的倒数;
(2)满足,求;
(3)满足求正数的最小值。
【答案】解:
〔1〕设关于的方程的两根为,那么有:
,且由所求方程的两根为
∴,。
∴所求方程为,即。
〔2〕∵满足,
∴是方程的两根。
∴。
∴。
〔3〕∵且∴。
∴是一元二次方程的两个根,
代简,得。
又∵此方程必有实数根,∴此方程的,即,。
又∵∴。
∴。
∴正数的最小值为4。
.
【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式,代数式化简。
【分析】〔1〕设方程的两根为,得出,,再根据这个一元二次方程的两个根分别是方程两根的倒数,即可求出答案。
〔2〕根据满足,得出是一元二次方程的两个根,由,即可求出的值。
〔3〕根据,得出,是一元二次方程的两个根,再根据,即可求出c的最小值。
8.〔2021山东济宁8分〕有四张形状、大小和质地相同的卡片A、B、C、D,正面分别写有一个正多边形〔所有正多边形的边长相等〕,把四张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上,从中随机抽取一张〔不放回〕,接着再随机抽取一张.
〔1〕请你用画树形图或列表的方法列举出可能出现的所有结果;
〔2〕如果在〔1〕中各种结果被选中的可能性相同,求两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的概率;
〔3〕假设两种正多边形构成平面镶嵌,p、q表示这两种正多边形的个数,x、y表示对应正多边形的每个内角的度数,那么有方程px+qy=360,求每种平面镶嵌中p、q的值.
【答案】解:
〔1〕画树形图如下:
所有出现的结果共有12种。
〔2〕∵两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌的情况有4种:
AB,AD,BA,DA,
∴P〔两次抽取的正多边形能构成平面镶嵌〕=。
〔3〕当正三角形和正方形构成平面镶嵌时,那么有60p+90q=360,即2p+3q=12。
∵p、q是正整数,∴p=3,q=2。
当正三角形和六边形构成平面镶嵌时,那么有60p+120q=360,即p+2q=6。
∵p、q是正整数,∴p=4,q=1或p=2,q=2。
【考点】列表法和树状图法,概率,多边形内角和定理,平面镶嵌〔密
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