河北省衡水中学高考三模数学试题附答案解析.docx
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河北省衡水中学高考三模数学试题附答案解析
2020年河北省衡水中学高考三模数学试题
一、单选题
1.若的展开式中第3项的二项式系数是15,则展开式中所有项系数之和为
A.B.C.D.
2.若是虚数单位,则()
A.B.C.D.
3.若向量满足,与的夹角为60°,则在向量上的投影等于()
A.B.C.D.
4.设x,y满足约束条件,则z=x+4y的最大值为()
A.0B.9C.D.10
5.如图,网格纸上的小正方形边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()
A.B.C.D.
6.已知函数有零点,则a的范围是()
A.B.C.D.
7.某中学在高二下学期开设四门数学选修课,分别为《数学史选讲》.《球面上的几何》.《对称与群》.《矩阵与变换》.现有甲.乙.丙.丁四位同学从这四门选修课程中选修一门,且这四位同学选修的课程互不相同,下面关于他们选课的一些信息:
①甲同学和丙同学均不选《球面上的几何》,也不选《对称与群》:
②乙同学不选《对称与群》,也不选《数学史选讲》:
③如果甲同学不选《数学史选讲》,那么丁同学就不选《对称与群》.若这些信息都是正确的,则丙同学选修的课程是( )
A.《数学史选讲》B.《球面上的几何》C.《对称与群》D.《矩阵与变换》
8..设集合A={1,2,3},,则A∩B=( )()
A.{1,2}B.{2,3}C.{1,3}D.{1,2,3}
9.已知函数的部分图象如图所示,,则正确的选项是()
A.B.C.D.
10.设是球心的半径上的两点,且,分别过作垂线于的面截球得三个圆,则这三个圆的面积之比为( )
A.B.C.D.
11.函数的图象大致为
A.B.C.D.
12.已知分别是椭圆的左右焦点,点是椭圆的右顶点,为坐标原点,若椭圆上的一点满足,则椭圆的离心率为()
A.B.C.D.
二、填空题
13.我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道:
问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,…,欲知为田几何.意思是已知三角形沙田的三边长分别为13,14,15里,求三角形沙田的面积.请问此田面积为_____平方里.
14.若双曲线的两个焦点都在轴上,且关于轴对称,焦距为,实轴长与虚轴长相等,则双曲线的方程是_____________.
15.由2,0,1,8,6,7六个数字组成的四位数中,若数字可以重复,则含有奇数个6的数共有_________个.(用数字作答).
16.函数图像上不同两点处的切线的斜率分别是,规定(为线段的长度)叫做曲线在点与点之间的“弯曲度”.设曲线上不同两点,且,则的取值范围是_________.
三、解答题
17.如图所示,直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直,F为BC的中点,∠BAC=∠ACD=90°,AE∥CD,DC=AC=2AE=2.
(I)求证:
AF∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角B﹣DE﹣C的余弦值.
18.(本小题满分14分)某小区想利用一矩形空地ABCD建造市民健身广场,设计时决定保留空地边上的一个水塘(如图中阴影部分),水塘可近似看作一个等腰直角三角形,其中AD=60m,AB=40m,且△EFG中,∠EGF=90°,经测量得到AE=10m,EF=20m.为保证安全同时考虑美观,健身广场周围准备加设一个保护栏.设计时经过点G作一条直线交AB,DF于M,N,从而得到五边形MBCDN的市民健身广场.
(1)假设DN=x(m),试将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数,并注明函数的定义域;
(2)问:
应如何设计,可使市民健身广场的面积最大?
并求出健身广场的最大面积.
19.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(,为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线经过点,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)若,是曲线上两点,求的值.
20.设函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,记,是否存在整数,使得关于的不等式有解?
若存在,请求出的最小值;若不存在,请说明理由.
21.已知曲线所围成封闭图形面积为,曲线是以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆,离心率为.平面上的动点为椭圆外一点,且过点
引椭圆的两条切线互相垂直.
(1)求曲线的方程;
(2)求动点的轨迹方程.
22.已知函数f(x)=x(e+1)
(I)求函数y=f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程;
(II)若函数g(x)=f(x)-ae-x,求函数g(x)在[1,2]上的最大值。
23.已知等差数列的前n项和为,且,.
(1)求;
(2)设数列的前n项和为,求证:
.
【答案与解析】
1.B
由题意知:
,所以,故,令得所有项系数之和为.
2.B
先利用复数的除法运算将复数先化简,然后利用复数模的计算公式计算即可.
,
所以.
故选:
B.
本题考查复数模的计算,涉及到复数的除法运算,考查学生的基本计算能力,是一道基础题.
3.C
利用向量投影公式,结合向量数量积的运算,求得在向量上的投影.
在向量上的投影为,
.
.
所以.
故选:
C
本小题主要考查向量投影的计算,考查向量数量积、模的运算,属于基础题.
4.B
先作出可行域,再根据目标函数所表示直线,结合图象确定最大值取法,即得结果.
先作出可行域,如图,由得,即
则直线z=x+4y过点A时,z取最大值,为9
故选:
B
本题考查利用线性规划求最值,考查数形结合思想方法,属基础题.
5.A
三视图还原为三棱锥,如图所示,由三视图可知:
,,平面平面平面,则三棱锥的体积为,故选A.
【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力,属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型,也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键,不但要注意三视图的三要素“高平齐,长对正,宽相等”,还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响,对简单组合体三视图问题,先看俯视图确定底面的形状,根据正视图和侧视图,确定组合体的形状.
6.B
令,则:
,
据此可得函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,
函数的最小值为,
即函数的值域为,
原问题等价于函数与函数有交点,
即:
,
据此可得:
a的范围是.
本题选择B选项.
点睛:
判断函数零点的方法包括:
(1)直接求零点:
令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.
(2)零点存在性定理:
利用定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
(3)利用图象交点的个数:
将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
7.D
列举出所有选择可能,然后根据三个信息,确定正确的选项.
个同学,选门课,各选一门且不重复的方法共种,如下:
种类
甲
乙
丙
丁
1
《数学史选讲》
《球面上的几何》
《对称与群》
《矩阵与变换》
2
《数学史选讲》
《球面上的几何》
《矩阵与变换》
《对称与群》
3
《数学史选讲》
《对称与群》
《球面上的几何》
《矩阵与变换》
4
《数学史选讲》
《对称与群》
《矩阵与变换》
《球面上的几何》
5
《数学史选讲》
《矩阵与变换》
《球面上的几何》
《对称与群》
6
《数学史选讲》
《矩阵与变换》
《对称与群》
《球面上的几何》
7
《球面上的几何》
《数学史选讲》
《对称与群》
《矩阵与变换》
8
《球面上的几何》
《数学史选讲》
《矩阵与变换》
《对称与群》
9
《球面上的几何》
《对称与群》
《数学史选讲》
《矩阵与变换》
10
《球面上的几何》
《对称与群》
《矩阵与变换》
《数学史选讲》
11
《球面上的几何》
《矩阵与变换》
《对称与群》
《数学史选讲》
12
《球面上的几何》
《矩阵与变换》
《数学史选讲》
《对称与群》
13
《对称与群》
《数学史选讲》
《球面上的几何》
《矩阵与变换》
14
《对称与群》
《数学史选讲》
《矩阵与变换》
《球面上的几何》
15
《对称与群》
《球面上的几何》
《数学史选讲》
《矩阵与变换》
16
《对称与群》
《球面上的几何》
《矩阵与变换》
《数学史选讲》
17
《对称与群》
《球面上的几何》
《数学史选讲》
《矩阵与变换》
18
《对称与群》
《球面上的几何》
《矩阵与变换》
《数学史选讲》
19
《矩阵与变换》
《数学史选讲》
《对称与群》
《球面上的几何》
20
《矩阵与变换》
《数学史选讲》
《球面上的几何》
《对称与群》
21
《矩阵与变换》
《球面上的几何》
《对称与群》
《矩阵与变换》
22
《矩阵与变换》
《球面上的几何》
《矩阵与变换》
《对称与群》
23
《矩阵与变换》
《对称与群》
《数学史选讲》
《球面上的几何》
24
《矩阵与变换》
《对称与群》
《球面上的几何》
《数学史选讲》
满足三个信息都正确的,是第种.故本小题选D.
本小题主要考查分析与推理,考查列举法,属于基础题.
8.B
求出B中不等式的解集确定出B,找出A与B的交集即可.
∵集合A={1,2,3},,
∴A∩B={2,3},
故选:
B.
本题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
9.A
试题分析:
因为,所以,即,将代入可得,满足题设条件,故应选A.
考点:
三角函数的图象和性质的运用.
【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要的内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先待定函数解析式中的参数,再验证的值.解答时先求出,再求出,然后代入得到,进而将的取值逐一代入检验,最后作出正确的判断,从而选出正确答案A.
10.D
设分别过作垂线于的面截球得三个圆的半径为,球半径为,则:
∴∴这三个圆的面积之比为:
故选D
【点评】此题重点考察球中截面圆半径,球半径之间的关系;
【突破】画图数形结合,提高空间想象能力,利用勾股定理;
11.D
分析:
用排除法,根据奇偶性可排除选项;由,可排除选项A,从而可得结果.
详解:
因为,
所以函数是奇函数,
函数图象关于原点对称,可排除选项,
由,可排除选项,故选D.
点睛:
函数图象的辨识可从以下方面入手:
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;
(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.
12.D
【解析】由得,由得,所以,选D.
点睛:
解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式,再根据的关系消掉得到的关系式,而建立关于的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
13.84
由题意画出图象,并求出AB、BC、AC的长,由余弦定理求出cosB,由平方关系求出sinB的值,代入三角形的面积公式求出该沙田的面积.
由题意画出图象:
且AB=13里,BC=14里,AC=15里,
在△ABC中,由余弦定理得,
cosB===,
所以sinB==,
则该沙田的面积:
即△ABC的面积S=AB•BC•sinB==84.
故答案为84.
本题考
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