立体几何最典型的平行与垂直题型归纳带答案1Word文档格式.docx

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AF⊥DE；

3）求异面直线AF与BC所成角的余弦值．

5．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°

，AB＝

CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝．

（1）证明：

DE⊥平面ACD；

2）求棱锥C﹣ABD的体积．

6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB

＝1，M为线段PD的中点．

I）求证：

BM⊥PD

II）求直线CM与PB所成角的余弦值．

7．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长都等于2．

（1）当点M是BC的中点时，

求异面直线AB1和MC1所成角的余弦值；

立体几何最容易错的最难的平行与垂直问题汇编

1．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°

，2AC＝AA1，D，M分别是棱AA1，BC的中点．证明：

1）证明：

平面AEC⊥平面BED．

2）若∠ABC＝120°

，AE⊥EC，AB＝2，求点G到平面AED的距离．

3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝．

（1）求证：

PD⊥平面PAB；

平面PAB⊥平面PAD；

2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°

，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱

AD＝CD．

AC⊥BD；

（2）已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D

6．如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF＝2，

四边形EFCB是高为的等腰梯形，EF∥BC，O为EF的中点．

求O到平面ABC的距离．

1．四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝

BD，则四面体的四个表面中互相垂直的平面有（）对．

A．0B．1C．2D．3

【解答】解：

取AC的中点E，连接BE，DE，

∵∠ABD＝∠CBD，

∴BD在平面ABC上的射影在直线BE上，

∵△ACD是直角三角形，∴∠ADC＝90°

，

设AB＝2，则BE＝，DE＝AC＝1，BD＝2，

222

∴DE2+BE2＝BD2，即DE⊥BE，

又BE⊥AC，DE∩AC＝E，

∴BE⊥平面ACD，

∴平面ABC⊥平面ACD．

∵D在平面ABC上的射影为E，B在平面ACD上的射影为E，

∴平面ABD与平面ABC不垂直，平面BCD与平面ABC不垂直，

平面ABD与平面ACD不垂直，平面BCD与平面ACD不垂直，过A作AF⊥BD，垂足为F，连接CF，

由△ABD≌△CBD可得CF⊥BD，故而∠AFC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，

，∴sin∠ABD＝

∵AD＝＝，

∴cos∠ABD

∴CF＝AF＝

∴cos∠AFC＝

∴∠AFC≠90°

∴平面ABD与平面BCD不垂直．

F分别是线段PD、PC的中点．

证明：

在线段AD上是否存在一点O，使得

BO⊥平面PAC，若存在，请指出点O的位置，并证明BO⊥平面PAC；

若不存在，请说明理由．

ABCD为长方形，

∴CD∥AB，

∵EF∥CD，∴EF∥AB，

∴EF∥平面PAB．⋯（6分）

此时点O为线段AD的四等分点，满足，⋯（8分）∵长方形ABCD中，

∠BAO＝∠ADC＝90°

∴△ABO∽△ADC，∴∠ABO+∠CAB＝∠DAC+∠CAB＝90°

∴AC⊥BO，（10分）又∵PA⊥底面ABCD，BO?

底面ABCD，∴PA⊥BO，∵PA∩AC＝A，PA、AC?

平面PAC

四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝

，PA

⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，M为PD的中点．

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）求证：

解答】证明：

（I）取PA的中点E，连接ME、BE，

∴四边形BCME为平行四边形，∴BE∥CM，

∵BE?

平面PAB，CM?

平面PAB，

∴CM∥平面PAB；

（II）在梯形ABCD中，AB＝BC＝1，AD＝2，∠BAD＝90°

过C作CH⊥AD于H，∴AC＝CD＝

∵AC2+CD2＝AD2，∴CD⊥AC

又∵PA⊥平面ABCD，CD?

平面ABCD，∴CD⊥PA

∵PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC

4．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点，证明：

A1D⊥平面A1BC．

设E为BC的中点，连接A1E，DE，AE，

由题意得A1E⊥平面ABC，∴A1E⊥AE．∵AB＝AC，AE⊥BC，∴AE⊥平面A1BC．

由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，∴四边形A1AED为平行四边形，∴A1D∥AE．

5．如图，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平而ABC，F是BE中点，AE＝AB＝2，

（1）求证：

（2）求证：

（3）求异面直线AF与BC所成角的余弦值．

【解答】

取AC中点O，过O作平面ABC的垂线交DE

连结OB，则OG⊥OB，OG⊥OC，

∵△ABC是正三角形，O是AC中点，∴OB⊥OC，

以O为原点，OB、OC、OG所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，

∵F是BE中点，AE＝AB＝2，CD＝1，

＝（﹣，1，0），＝（0，0，1），

∵CD⊥平面ABC，∴＝（0，0，1）是平面ABC的一个法向量，

又DF?

平面ABC，∴DF∥平面ABC．

2）证明：

∵＝（），＝（0，﹣2，1），

∴＝0﹣1+1＝0，

∴AF⊥DE．

（3）解：

∵＝（），＝（﹣，1，0），

设AF、BC所成角为θ，

cosθ＝

∴异面直线AF与BC所成角的余弦值

6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，M为线段PD的中点．

（I）求证：

（II）求直线CM与PB所成角的余弦值．

（I）证明：

连接BD，

∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，∴PB＝BD＝

∵M为线段PD的中点，

∴BM⊥PD

（II）解：

连接AC，与BD交于O，连接OM，则

∴MO∥PB

∴直线CM与PB所成角的余弦值为

7．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长都等于2．

（1）当点M是BC的中点时，

①求异面直线AB1和MC1所成角的余弦值；

②求二面角M﹣AB1﹣C的正弦值；

（2）当点M在线段BC上（包括两个端点）运动时，求直线MC1与平面AB1C所成角的

正弦值的取值范围．

解答】解：

（1）取AC的中点为O，建立空间直角坐标系O﹣xyz，

则，C（0，1，0），

当M是BC的中点时，则．①，设异面直线AB1和MC1所成角为θ，则

＝＝．

②，，，

，令x＝2，∴，∴．

设二面角M﹣AB1﹣C的平面角为θ，则

＝．

所以．

（2）当M在BC上运动时，设．

设M（x，y，z），∴，∴，

则，∴．

设，设t＝λ+1∈[1，2]，

∵，∴，∴

6．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°

（1）证明：

DE⊥平面ACD；

（2）求棱锥C﹣ABD的体积．

（1）在直角梯形BCDE中，

∵DE＝BE＝1，CD＝2，∴BC＝＝，

又AB＝2，AC＝，

∴AB2＝AC2+BC2，即AC⊥BC，

又平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE＝BC，AC?

平面ABC，

∴AC⊥平面BCDE，又DE?

平面BCDE，

∴AC⊥DE，又DE⊥DC，AC∩CD＝C，

∴DE⊥平面ACD．

，2AC＝AA1，D，M

分别是棱AA1，BC的中点．证明：

1）AM∥平面BDC1

2）DC1⊥平面BDC．

∴AD∥MN，且AD＝MN；

∴四边形ADNM为平行四边形，

∴DN∥AM；

又DN?

平面BDC1，AM?

平面BDC1，

∴AM∥平面BDC1⋯（6分）

（2）由已知BC⊥CC1，BC⊥AC，

又CC1∩AC＝C，

∴BC⊥平面ACC1A1，

又DC1?

平面ACC1A1，

∴DC1⊥BC；

由已知得∠A1DC1＝∠