最新精选条件极值与隐函数习题课.docx
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最新精选条件极值与隐函数习题课
【最新精选】条件极值与隐函数习题课
第十四、十五章条件极值与隐函数习题课
一、重要内容
1、极值
1)、无条件极值的计算和判断
主要步骤:
i)、计算可疑点:
驻点,偏导数不存在的点。
Ii)、判断
A)、判断可疑点为极值点,常用方法:
p0
a)、定义法:
计算,若存在某个,使,,,ffpfp()()Up()00得在上恒成立,则为极小值点;若存在某个Up()p,,f000
,使得在上恒成立,则为极大值点。
Up()Up()p,,f0000
b)、利用题意和问题的实际背景判断,此时,可疑点通常是唯一的。
即若要求计算极大值或问题的实际背景要求存在极大值,则唯一的可疑点必是极大值点;即若要求计算极小值或问题的实际背景要求存在极小值,则唯一的可疑点必是极小值点。
c)、驻点处极值性质的二阶导数判别法(二阶微分法)。
通过的Heisen矩阵H的正定或负定性判断点的极值性pp00质。
B)、判断可疑点p不是极值点,常用方法有:
0
Up()ppUp,(),a)、定义法:
对任意的,确定一对点,0120使得
,,,fpfp()()012
p则,不是极值点。
0
pb)、二阶导数法:
H为不定矩阵时,不是极值点。
0
2)、条件极值的计算与判断
主要步骤:
139
i)、构造L-函数;
ii)、计算L-函数的驻点;
iii)、判断,常用方法为二阶微分法。
3)、隐函数极值的计算
4)、极值的应用
主要有计算函数闭区域上的最值;证明多元不等式。
2、隐函数存在定理
要求:
熟练掌握极值和条件极值的计算和应用,了解隐函数
存在定理。
二、典型例题
22例1、讨论的极值。
进一步研究zfxyyxyx,,,,(,)()
(2)沿任意直线在的极值性质。
p(0,0)0
解、先计算驻点。
求解
2,fxyx,,,68,x,2fyx,,23,y,
得唯一驻点。
p(0,0)0
fpfpfp()0,()0,()2,,,判断。
计算得,H=0,故xxxyyy000
22dzdy|2,二阶导数法失效。
(同样,,因而不能确定对任意的p0
22dzdy|2,(dx,dy),都成立>0,二阶微分法同样失效。
),(0,0)p0
用定义判断。
注意到
22,,,,,,zfpfpyxyx()()()
(2)0
92,,,,01rr因而,对任意,,0,取r充分小满足,则4
32,pprrUp(0,),(,)(,),,,zpzp()()0p(0,0),且,故不是12012022
极值点。
140
再考虑沿直线y=kx在的极值性质。
转化为无条件极p(0,0)0
值讨论。
4当k=0时,沿直线y=0,函数z转化为一元函数,因zx,2而为其极小值点,故对应的为函数z沿直线y=0的x,0p(0,0)00
极小值点。
2234k,0当时,沿直线y=kx,则,为zkxkxx,,,32x,00驻点,进一步判断为极小值点,因而,对应的为原函数zp(0,0)0沿直线y=kx的极小值点。
注、事实上,在原点的任意邻域内,通过曲线p0
222将邻域分成曲线下面的部分、夹在两条曲线yxyx,,和2yx,
2之间的部分和曲线上面的部分,函数z在上下两部分上取yx,2
值为正,在曲线间的部分取值为负,而pp正取自使函数不同号1,2
的部分里。
当沿直线y=kx考虑时,由于当x充分小时,直线y=kx
2总在曲线的上方,因而,取不到使函数z取负值的点如p,yx,22故p是极值点。
0
p注、结论表明:
设为函数z的定义域内某一点,沿任一过0
ppp直线,为函数z极值点,并不一定表明点就是函数z在000其定义域内的极值点。
2例2、计算z=f(x,y)=在由直线x+y=6及x轴、yxyxy(4),,
轴所围成的闭区域D上的极值和最值。
解、先计算D内的极值点。
求解
141
fxyxy,,,,(832)0,x,2fxxy,,,,(4)0y,
的D内驻点。
p(2,1)0
(注、(0,y)、(4,0)也是驻点,但不在D内,而在D的边界上。
)
判断。
计算得
,H=32,AfpBfpCfp,,,,,,,,,()6,()4,()8xxxyyy000
故,为极大值点且对应的极大值为。
p(2,1)fp()4,00
其次,计算边界上的最值。
记D的边界为、lxx,,,{(,0):
06}1
、lxyxyxy,,,,,{(,):
0,0,6}2
2gxzxx()|2(6),,,。
则zz|0,|0,,,,lyy,,,{(0,):
06}lll3132计算得
ggxggx(0)max()0,(4)min()64,,,,,[0,6][0,6]
最后,对内部极值和边界值进行比较。
比较内部极值和边界
值可知:
函数z在D的内部有极大值fp()4,,而在整个闭区域0D上,函数的最大值为fp()4,,最小值为f(4,2)=-64.0
AB,,例3、设为正定矩阵,计算H,,,BC,,
2222在上的最值。
zfxyAxBxyCy,,,,(,)2xy,,1
22解、f在有界闭集上连续,因而存在Dxyxy,,,{(,):
1}
最大值点
pp(x,y)(x,y)和最小值点,故,最小值211122
142
22,又由正定性得。
进f(x,y),0fxyAxBxyCy(,)2,,,22222222
一步计算如下:
构造
2222,LAxBxyCyxy,,,,,,2
(1),得驻点方程组:
(A,)x,By,0
(1),
,Bx,(C,)y,0,
(2),
22,x,y,1(3),
由于在D上必能达到最大值和最小值,故上述方程组必有解。
f
和就是其两个解。
由(3)知:
其解必为非零pp(x,y)(x,y)211122
解,因而对
(1)、
(2),必有
AB,,0BC,,
122,,,,,,,解得,[()()4()]ACACACB12
122,,,,,,,[()()4()]ACACACB。
22
设(,,)xy,为其一组解,则代入方程组且由
(1)
(2),,,xy得00000
2222,AxBxycyxy,,,,,2()0,0000000
2222fxy(,),因而,。
即对应AxBxycyxy,,,,,2(),,0000000000
(,,)xy,fxy(,),的一组解,必满足,因此,必有000000
fxy(,),,fxy(,),,,。
111222
mnpxyza++=例4、计算在下的最大值。
fxyzxyz(,,)=
其中amnpxyz>>>>>>>0,0,0,0,0,0,0.
143
解、显然,函数f>0,此时,f(x,y,z)与具有相同的ln(,,)fxyz单调性,故可以采用对数法。
记,构造L-函gxyzfxyzmxnypz(,,)ln(,,)lnlnln==++
数
Lxyzfxyza(,,)ln()=-++-l
则,求解如下驻点方程组
m0L=-=lxx
m0L=-=lxx
m0L=-=lxx
mnpmanapa++得。
l====,,,xyz0000amnpmnpmnp++++++
又,计算得
mnp2222(,,,)|0dLxyzdxdydzl=---
0
又,沿边界x=0,y=0,z=0,都有,故所求最大值fxyz(,,)0=
fp()为。
0
注、注意掌握上述求极值的对数法。
n2xxxc+++=L例5、计算在条件fxxxax(,,,)L=å12n12nii=1i
下的最小值。
acin>>=L0,0,1,2,,其中。
i
144
nn2解、构造L,函数,Lxxxaxxc(,,,)()Lll=+-邋1,21nii==11ii
求解方程组
Lax=+=20lx111
Lax=+=20,lx222
LLL
,Lax=+=20lxnnn
n
Lxc=-=0åli1=i
lll2c000---=-Lp(,,,),l得唯一驻点。
00n1222aaan12åa=i1i
由题意和驻点的唯一性,则在处达到最小值fxxx(,,,)Lp12n0
2c()=fp。
0n1
åa=i1i
n2特别,当ain==L1,1,2,,时,在fxxxx(,,,)L=åi12ni=1i
2ccccp(,,,)Lxxxc+++=L下在处达到最小值,因而,012nnnnn成立不等式
22()xxx+++Lc222n12xxx+++?
L。
n12nn
注、利用题意和驻点的唯一性,不需进一步的判断,可以直接给出唯一的驻点处的极值性质,这也是计算极值时应该掌握的技巧之一。
145
s例7、证明:
时成立不等式。
tsttte,,,lnts,,1,0
s证明、用极值理论证明不等式。
记,,(,)lnsttttets,,,,
,只需证明在D上成立,因而,只D,,,,,,[0,)[1,),(,)0st,需证明在区域D上的最小值为0。
(,)st
求解
s,,,,,et0s,,,,ln0ts,t,
ss,0得函数的驻点为曲线lte:
,上的所有点且,(,)st
。
(,)|0st,l
(进一步验证,在这些驻点处都有H=0,因而,二阶导数法失效,
且在无界区域D上,函数最值存在性也是未知的,为此,,(,)st
采用逼进法,转化为在有界闭区域的最值的讨论。
)
记,则,曲线l在内的点仍是的驻DRR,,[0,][1,]D,(,)stRR
点,为计算在D上的最值,只需讨论边界最值。
简单计算,(,)stR
可知:
s在s=0处取到最小值0;hsses()(,1)1,,,,,1
s在s=lnR处取到最小值0;hssRRRReRs()(,)ln,,,,,,2
gttttt()(0,)ln1,,,,,在t=1处取到最小值0;1
RRte,gtRtttteRt()(,)ln,,,,,,在处取到最小值0;2
0DD因而,函数,(,)st在上的最小值为0,即在,,(,)st;RR
0由R的任意性,得到,(,)st(,)stD,,。
146
注、沿任一条直线,可以发现,函数在曲线l上达到最tt,0
小值0,但,由例1知道,这还不能说明函数的最小值为0。
例8、设z=z(x,y)是由
222Fxyzxxyyyzz(,,)6102180,,,,,,,
确定的隐函数,计算函数z(x,y)的极值。
分析:
先计算可疑点。
这些点满足,由此出发确zz,,0,0xy定可疑点。
解、将方程中z视为x、y的复合函数,求导得
26220xyyzzz,,,,xx
,,,,,6202220xyzyzzzyy
故、令,代入得zz,,0,0xy
x=3y
-3x+10y-z=0
222此外,还成立,Fxyzxxyyyzz(,,)6102180,,,,,,,解之得解为
MM(9,3,3),(9,3,3),,,,则对应点p(9,3),p(9,3),,为函数z1212的可疑的极值点。
进一步计算二阶导数,得
1151AzpBzpCzpH,,,,,,,,(),(),(),1111111xxxyyy62336
1151AzpBzpCzpH,,,,,,,,,(),(),(),2222222xxxyyy62336
zp()3,pp故,为极小值点,极小值为,为极大值点,极大值211
zp()3,,为。
2
注、关于隐函数的极值的计算还有下述结论。
147
例9、具二阶连续偏导,且由=0可确定F(x,
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