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0-5.0000i
4.7782-7.7071i
5.0000
4.7782+7.7071i
0+5.0000i-10.7782-6.2929i
Xk与xn的维数相同,共有8个元素。
Xk的第一个数对应于直流分量,即频率值为0。
(2)做FFT分析时,幅值大小与FFT选择的点数有关,但不影响分析结果。
在IFFT时已经做了处理。
要得到真实的振幅值的大小,只要将得到的变换后结果乘以2除以N即可。
二、FFT应用举例
例1:
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t)。
采样频率fs=100Hz,分别绘制N=128、1024点幅频图。
clf;
fs=100;
N=128;
%采样频率和数据点数
t=n/fs;
%时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
%信号
y=fft(x,N);
%对信号进行快速Fourier变换
mag=abs(y);
%求得Fourier变换后的振幅
f=n*fs/N;
%频率序列
subplot(2,2,1),plot(f,mag);
%绘出随频率变化的振幅
xlabel('
频率/Hz'
);
ylabel('
振幅'
title('
N=128'
gridon;
subplot(2,2,2),plot(f(1:
N/2),mag(1:
N/2));
%绘出Nyquist频率之前随频率变化的振幅
%对信号采样数据为1024点的处理
N=1024;
%求取Fourier变换的振幅
subplot(2,2,3),
plot(f,mag);
N=1024'
subplot(2,2,4)
plot(f(1:
运行结果:
fs=100Hz,Nyquist频率为fs/2=50Hz。
整个频谱图是以Nyquist频率为对称轴的。
并且可以明显识别出信号中含有两种频率成分:
15Hz和40Hz。
由此可以知道FFT变换数据的对称性。
因此用FFT对信号做谱分析,只需考察0~Nyquist频率范围内的幅频特性。
若没有给出采样频率和采样间隔,则分析通常对归一化频率0~1进行。
另外,振幅的大小与所用采样点数有关,采用128点和1024点的相同频率的振幅是有不同的表现值,但在同一幅图中,40Hz与15Hz振动幅值之比均为4:
1,与真实振幅0.5:
2是一致的。
为了与真实振幅对应,需要将变换后结果乘以2除以N。
例2:
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t),fs=100Hz,绘制:
(1)数据个数N=32,FFT所用的采样点数NFFT=32;
(2)N=32,NFFT=128;
(3)N=136,NFFT=128;
(4)N=136,NFFT=512。
%采样频率
Ndata=32;
%数据长度
N=32;
%FFT的数据长度
Ndata-1;
%数据对应的时间序列
%时间域信号
%信号的Fourier变换
%求取振幅
f=(0:
N-1)*fs/N;
%真实频率
subplot(2,2,1),plot(f(1:
N/2)*2/N);
%绘出Nyquist频率之前的振幅
Ndata=32Nfft=32'
%数据个数
%FFT采用的数据长度
Ndata=32Nfft=128'
Ndata=136;
%FFT采用的数据个数
subplot(2,2,3),plot(f(1:
Ndata=136Nfft=128'
N=512;
%FFT所用的数据个数
subplot(2,2,4),plot(f(1:
Ndata=136Nfft=512'
结论:
(1)当数据个数和FFT采用的数据个数均为32时,频率分辨率较低,但没有由于添零而导致的其他频率成分。
(2)由于在时间域内信号加零,致使振幅谱中出现很多其他成分,这是加零造成的。
其振幅由于加了多个零而明显减小。
(3)FFT程序将数据截断,这时分辨率较高。
(4)也是在数据的末尾补零,但由于含有信号的数据个数足够多,FFT振幅谱也基本不受影响。
对信号进行频谱分析时,数据样本应有足够的长度,一般FFT程序中所用数据点数与原含有信号数据点数相同,这样的频谱图具有较高的质量,可减小因补零或截断而产生的影响。
例3:
x=cos(2*pi*0.24*n)+cos(2*pi*0.26*n)
(1)数据点过少,几乎无法看出有关信号频谱的详细信息;
(2)中间的图是将x(n)补90个零,幅度频谱的数据相当密,称为高密度频谱图。
但从图中很难看出信号的频谱成分。
(3)信号的有效数据很长,可以清楚地看出信号的频率成分,一个是0.24Hz,一个是0.26Hz,称为高分辨率频谱。
可见,采样数据过少,运用FFT变换不能分辨出其中的频率成分。
添加零后可增加频谱中的数据个数,谱的密度增高了,但仍不能分辨其中的频率成分,即谱的分辨率没有提高。
只有数据点数足够多时才能分辨其中的频率成分。
FFT是离散傅立叶变换的快速算法,可以将一个信号变换
到频域。
有些信号在时域上是很难看出什么特征的,但是如
果变换到频域之后,就很容易看出特征了。
这就是很多信号
分析采用FFT变换的原因。
另外,FFT可以将一个信号的频谱
提取出来,这在频谱分析方面也是经常用的。
虽然很多人都知道FFT是什么,可以用来做什么,怎么去
做,但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用
多少点来做FFT。
现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。
一个模拟信号,经过ADC采样之后,就变成了数字信号。
采样
定理告诉我们,采样频率要大于信号频率的两倍,这些我就
不在此罗嗦了。
采样得到的数字信号,就可以做FFT变换了。
N个采样点,
经过FFT之后,就可以得到N个点的FFT结果。
为了方便进行FFT
运算,通常N取2的整数次方。
假设采样频率为Fs,信号频率F,采样点数为N。
那么FFT
之后结果就是一个为N点的复数。
每一个点就对应着一个频率
点。
这个点的模值,就是该频率值下的幅度特性。
具体跟原始
信号的幅度有什么关系呢?
假设原始信号的峰值为A,那么FFT
的结果的每个点(除了第一个点直流分量之外)的模值就是A
的N/2倍。
而第一个点就是直流分量,它的模值就是直流分量
的N倍。
而每个点的相位呢,就是在该频率下的信号的相位。
第一个点表示直流分量(即0Hz),而最后一个点N的再下一个
点(实际上这个点是不存在的,这里是假设的第N+1个点,也
可以看做是将第一个点分做两半分,另一半移到最后)则表示
采样频率Fs,这中间被N-1个点平均分成N等份,每个点的频率
依次增加。
例如某点n所表示的频率为:
Fn=(n-1)*Fs/N。
由上面的公式可以看出,Fn所能分辨到频率为Fs/N,如果
采样频率Fs为1024Hz,采样点数为1024点,则可以分辨到1Hz。
1024Hz的采样率采样1024点,刚好是1秒,也就是说,采样1秒
时间的信号并做FFT,则结果可以分析到1Hz,如果采样2秒时
间的信号并做FFT,则结果可以分析到0.5Hz。
如果要提高频率
分辨力,则必须增加采样点数,也即采样时间。
频率分辨率和采样时间是倒数关系。
假设FFT之后某点n用复数a+bi表示,那么这个复数的模就是
An=根号a*a+b*b,相位就是Pn=atan2(b,a)。
根据以上的结果,
就可以计算出n点(n≠1,且n<
=N/2)对应的信号的表达式为:
An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn),即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。
对于n=1点的信号,是直流分量,幅度即为A1/N。
由于FFT结果的对称性,通常我们只使用前半部分的结果,
即小于采样频率一半的结果。
好了,说了半天,看着公式也晕,下面圈圈以一个实际的
信号来做说明。
假设我们有一个信号,它含有2V的直流分量,频率为50Hz、
相位为-30度、幅度为3V的交流信号,以及一个频率为75Hz、
相
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