云南省师范大学附属中学学年高三上学期第五次月考数学文试题.docx
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云南省师范大学附属中学学年高三上学期第五次月考数学文试题
云南省师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期第五次月考数学(文)试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.已知集合,.则()
A.B.
C.D.
2.()
A.B.
C.D.
3.设复数,,在复平面内所对应的向量分别为,(为原点),则()
A.B.
C.D.
4.已知数列为等差数列,为前项和,若,,则()
A.B.
C.D.
5.如图,在圆的圆心处有一个通信基站,,假设其信号覆盖范围是该圆内的白色区域(该圆形区域内无其他信号来源,基站工作正常),若在圆内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是()
A.B.
C.D.
6.函数的图象大致为()
A.B.
C.D.
7.若在四边形中,已知,,,,,则四边形的面积为()
A.B.C.D.
8.已知直线与圆相交于两点,且三角形,为直角三角形,则中点的轨迹方程为()
A.B.
C.D.
9.已知函数,则()
A.B.
C.D.
10.已知函数,将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),再将图象向左平移个单位,所得图象对应的函数为,若函数的图象在,两处的切线都与x轴平行,则的最小值为()
A.B.
C.D.
11.如图,已知是圆的直径,,在圆上且分别在的两侧,其中,.现将其沿折起使得二面角为直二面角,则下列说法不正确的是()
A.,,,在同一个球面上
B.当时,三棱锥的体积为
C.与是异面直线且不垂直
D.存在一个位置,使得平面平面
12.已知是双曲线:
的一个焦点,,是双曲线的两条渐近线,过且垂直的直线与,分别交于,两点,若三角形的面积(为原点),则双曲线的离心率为()
A.或B.或
C.或D.或
二、填空题
13.能说明命题“,,,是实数,若,,则”是假命题的一组数对(,,,)是________.
14.抛物线上的点到其准线的距离的最小值为________.
15.若实数满足约束条件,则的取值范围为________.
16.我们经常听到这样一种说法:
一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上,因为纸张本身有厚度,我们并不能将纸张无限次对折,当我们的厚度超过纸张的长边时,便不能继续对折了,一张长边为,厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折,则经过两次对折,长边变为,厚度变为.在理想情况下,对折次数有下列关系:
(注:
),根据以上信息,一张长为,厚度为的纸最多能对折___次.
三、解答题
17.在我们的教材必修一中有这样一个问题,假设你有一笔资金,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:
方案一:
每天回报元;
方案二:
第一天回报元,以后每天比前一天多回报元;
方案三:
第一天回报元,以后每天的回报比前一天翻一番.
记三种方案第天的回报分别为,,.
(1)根据数列的定义判断数列,,的类型,并据此写出三个数列的通项公式;
(2)小王准备做一个为期十天的短期投资,他应该选择哪一种投资方案?
并说明理由.
18.至年底,我国发明专利申请量已经连续年位居世界首位,下表是我国年至年发明专利申请量以及相关数据.
注:
年份代码~分别表示~.
(1)可以看出申请量每年都在增加,请问这几年中哪一年的增长率达到最高,最高是多少?
(2)建立关于的回归直线方程(精确到),并预测我国发明专利申请量突破万件的年份.
参考公式:
回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为,
19.如图,已知菱形和矩形所在的平面互相垂直,.
(1)若为的中点,求证:
平面;
(2)若图中七面体的体积为,且,求点到平面的距离.
20.设椭圆:
,,分别是椭圆的左、右焦点,在椭圆上.求证:
(1)直线:
是椭圆在点处的切线;
(2)从发出的光线经直线反射后经过.
21.设函数.
(1)证明:
若,则恒成立;
(2)讨论的零点个数.
22.在直角坐标系中,射线的方程为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的方程为.一只小虫从点沿射线向上以单位/min的速度爬行
(1)以小虫爬行时间为参数,写出射线的参数方程;
(2)求小虫在曲线内部逗留的时间.
23.如图,是半圆直径,为的中点,,在上,且,.
(1)用,表示线段,的长度;
(2)若,,,求的最小值.
参考答案
1.B
【解析】
【分析】
先计算得到,再计算得到答案.
【详解】
故选:
B
【点睛】
本题考查了交集的运算,属于简单题.
2.C
【分析】
直接利用诱导公式和辅助角公式化简得到答案.
【详解】
故选:
C
【点睛】
本题考查了诱导公式和辅助角公式,意在考查学生的计算能力.
3.B
【分析】
化简得到,再计算得到答案.
【详解】
故选:
B
【点睛】
本题考查了复平面对应向量的运算,掌握复数和向量的对应关系是解题的关键.
4.D
【分析】
根据等差数列公式得到方程组,计算得到答案.
【详解】
故选:
D
【点睛】
本题考查了等差数列求和,理解掌握数列公式是解题的关键.
5.D
【分析】
设该圆的半径为R,计算圆面积和阴影部分面积,利用几何概型相除得到答案.
【详解】
设该圆的半径为R,则圆的面积是,
,故
故选:
D
【点睛】
本题考查了几何概型计算概率,计算区域面积是解题的关键.
6.D
【分析】
判断函数为偶函数,取特殊点,判断得到答案.
【详解】
,且,函数为偶函数
故选:
D
【点睛】
本题考查了函数图像的判断,根据奇偶性和特殊点可以快速得到答案是解题的关键.
7.B
【分析】
画出其几何图像,在由余弦定理可求得,在中由余弦定理求得,故,根据三角形面积公式求出和,即可求得四边形的面积为.
【详解】
画出其几何图像:
在由余弦定理:
解得
在由余弦定理:
解得,则
四边形的面积故
故选:
B.
【点睛】
本题考查了求四边形面积问题,熟记余弦定理和三角形面积公式即可求解,属于基础题型.
8.D
【分析】
根据题意得到,M的轨迹是以C1为圆心,半径为的圆,得到答案.
【详解】
因为为直角三角形,且,所以,所以M的轨迹是以C1为圆心,半径为的圆
故选:
D
【点睛】
本题考查了圆的轨迹问题,根据题意得到是解题的关键.
9.A
【分析】
直接代入计算得到答案.
【详解】
故选:
A
【点睛】
本题考查了分段函数的计算,属于简单题.
10.B
【分析】
先计算得到,画出函数图像,计算,得到答案.
【详解】
根据变换得到:
,图象如图:
由图可知,取到的最小可能为,因为,,所以最小值为4
故选:
B
【点睛】
本题考查了三角函数的平移,放缩,距离的计算,综合性强,意在考查学生综合应用能力.
11.D
【分析】
依次判断每个选项的正误:
,所以A正确;当,A,C各在所在圆弧的中点,计算体积得到B正确;反证法证明AB与CD不垂直C正确;根据C选项知D错误,得到答案。
【详解】
因为,所以A正确;
当,A,C各在所在圆弧的中点,此时三棱锥的底面BCD的面积和高均处于最大位置,此时体积为,所以B正确;
AB与CD显然异面,用反证法证明他们不垂直.若,过A作BD的垂线,垂足为E,因为为直二面角,所以AE⊥平面BCD,所以,所以,所以,这与矛盾,所以AB与CD不垂直,所以C正确;
假设存在一个位置,使得平面平面,过作于,则平面由于平面,与选项矛盾.
故选:
D.
【点睛】
本题考查了直线平面的关系,体积,意在考查学生的空间想象能力和推断能力.
12.C
【分析】
分为和两种情况,画出图像分别计算离心率得到答案.
【详解】
有如下两种情况:
(1);
(2).
(1)如图甲,可求出A,B的坐标分别为
所以;
同理可得当时,满足条件的离心率
故选:
C
【点睛】
本题考查了双曲线的离心率,分类讨论是解题的关键,漏解是容易发生的错误.
13.
【分析】
举一组反例即得到答案.
【详解】
答案不唯一,满足条件即可.例如:
故答案为:
【点睛】
本题考查了判断命题为假命题,属于简单题.
14.
【分析】
抛物线的标准方程为,准线方程为,得到最小距离.
【详解】
抛物线的标准方程为,准线方程为,最小距离为.
故答案为:
【点睛】
本题考查了抛物线上的点到准线的距离,属于基础题型.
15.
【分析】
画出可行域,变换得到,根据图像得到答案.
【详解】
可行域如图所示,变换得到
设为可行域内任意一点,则
由图可知,
所以的取值范围为.
故答案为:
【点睛】
本题考查了线性规划问题,画出图像,变换是解题的关键.
16.
【分析】
根据题意解不等式得到答案.
【详解】
,
因为,所以的最大值为.
故答案为:
.
【点睛】
本题考查了对数的应用,意在考查学生的计算能力和应用能力,属于基础题.
17.
(1)为常数列;为等差数列;是等比数列;
(2)应该选择方案二,详见解析
【分析】
(1)根据题意得到为常数列,是等差数列,是等比数列,分别计算通项公式得到答案.
(2)设投资10天三种投资方案的总收益为,分别计算比较大小得到答案.
【详解】
(1)为常数列;
是首项为10,公差为10的等差数列;
,
所以是首项为0.4,公比为2的等比数列.
所以.
(2)设投资10天三种投资方案的总收益为,
由
(1)知:
,
因为,所以应该选择方案二.
【点睛】
本题考查了数列的应用,意在考查学生对于数列公式的灵活应用.
18.
(1)2021年的增长率最高,达到了26%
(2)关于的回归直线方程为,预测我国发明专利申请量将在2021年突破200万件
【分析】
(1)分别计算每一年的增长率,比较大小得到答案.
(2)根据公式直接计算得到回归直线方程为,再解不等式得到答案.
【详解】
(1)由表格可知2013,2014,2015,2016,2017,2021年的增长率分别如下:
,
所以2021年的增长率最高,达到了26%.
(2)由表格可计算出:
,,
关于的回归直线方程为.
令.
所以根据回归方程可预测,我国发明专利申请量将在2021年突破200万件.
【点睛】
本题考查了回归方程的计算和应用,意在考查学生的计算能力和应用能力.
19.
(1)证明见解析
(2)
【分析】
(1)如图,设BF的中点为H,,连接HG,HO,证明得到证明.
(2)先计算,再计算,利用体积公式计算得到答案.
【详解】
(1)证明:
如图,设BE的中点为H,,连接HG,HO.
因为G是BE的中点,所以
所以四边形AGHO是平行四边形,
所以,又因为平面BDF,平面BDF,
所以平面.
(2)因为ABCD为菱形,且,所以为正三角形.
又因为ACEF为矩形,且
设,
.,
在三角形DEF中,EF边上的高为2,所以.
设B到平面DEF的距离为d,
则.
【点睛】
本题考查了线面平行,点到平面的距离,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
20.
(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
(1)联立直线和椭圆方程计算得到证明.
(2)设关于直线的对称点为,则的中点在直线l上,直线与l垂直,计算得到证明.
【详解】
证明:
(1)因为在椭圆上,所以,所以P也在直线上.
联立直线和椭圆方程
因为P在椭圆上,所以
所以直线l与椭圆相切,又因为,
所以直线l是椭圆在点P处的切线.
(2)设关于直线的对称点为,
则的中点在直线l上,直线与l垂
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- 云南省 师范大学 附属中学 学年 上学 第五 月考 数学 试题