完整版《实变函数》第二章点集docxWord文档格式.docx
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一、度量空间
定义1:
设X为一非空集合,d:
XXR为一映射,且满足
(1)d(x,y)0,d(x,y)0xy(正定性)
(2)d(x,y)d(y,x)(对称性)
(3)d(x,y)d(x,z)d(z,y)(三角不等式)
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则称(X,d)为度量空间.
例1:
n
(1)
欧氏空间(Rn,d),其中d(x,y)
(xi
yi)2
i
1
(2)
x
y
离散空间(X,d),其中d(x,y)
(3)
Ca,b
空间(
Ca,b表示闭区间
a,b上实值连续函数全体
),其中
d(x,y)
max|x(t)y(t)|
atb
二、邻域
定义2:
称集合{P|d(P,P0)
}为P0
的
邻域,并记为U(P0,
).P0称为邻域的中
心,称为邻域的半径.在不需要特别指出是什么样的半径时,也简称为
P0的邻域,并记为
U(P0).
不难看出:
点列{Pm}收敛于P0的充分必要条件是对任意
0,存在N,当
m
N时有:
Pm
容易验证邻域具有下面的基本性质:
1)
P
U(P);
2)
对于
U1(P)和U2(P),如果存在PU1(P)
U2(P),则存在
U3(P)
U1(P)U2(P)
3)
Q
U(P),存在U(Q)
4)
P,存在U(Q)和U(P)满足U(Q)
U(P)
定义3:
两个非空的点集A,B间的距离定义为
dA,B
inf
B
d
P,Q
A,Q
如果A,B中至少有一个是空集,则规定
;
若B
X,则记
A,B
A,X
显然,若A
,则dA,B
0。
第2页(共11页)
定义4:
一个非空的点集
E的直径定义为:
E
supd
当E
时,规定
。
显然,
至多只有一个元素。
若
,则称E为有界集。
定义5:
称X1
X2,L
Xn|XiAi,i
1,2,L
n
为集合Ai的直积,记为
X1
X2L
Xn或
Ai
ai,bi
为直线上的区间,则称I为n维欧氏空间Rn
定义6:
若I
Ii,其中Ii
中的区间;
如果所有Ii
都是开(闭、左开右闭、左闭右开
)区间,则称I是开(闭、左开右闭、
左闭右开)区间。
如果所有的Ii都是直线上的有界区间,
则称I是Rn中的有界区间;
如果至
少有一个Ii是直线上的无界区间,则称
I是Rn
中的无界区间.
注:
R2
中的有界区间即矩形,R3中的区间即长方体,因此Rn中的区间有时也称为“长
方体”.
显然,E为有界集的充要条件是存在有界区间
I
E或E为有界集的充要条件是存在
有界邻域E0
U(x0,
)
定义7:
Ii,Ii
称I
(bi
ai)为区间I的“体积”,即
i1
Ii.当然,这里约定
00,当a
0时,a
a.
R1中的区间体积即区间的长度,
R2中的区间体积即矩形面积=长×
宽,
R3中的
区间体积即长方体体积=长×
宽×
高,因此规定
Rn中的区间体积=
n个边长的乘积,既是
合理的又是自然.
2、聚点、内点、界点
教学目的1、深刻理解内点、外点、界点、聚点、孤立点的概念,弄清它们的区别与联系.
2、理解并掌握开核、导集、闭包、边界及孤立点集等概念,对一个已知的点集E,会求这些相关的点集.
第3页(共11页)
3、了解Bolzano--Weierstrass定理.
本节要点内点、外点、界点、聚点、孤立点及开核、导集、闭包、边界及孤立点集等概
念.
本节难点对一个已知的点集E,求这些相关的点集.
一、欧氏空间中各类点的定义
(1)P0为E的内点:
0,使得U(P0,
,记为Eo
(2)P0
为E的外点:
)I
,E的外点的全体记为
Ec.
(3)P0
为E的边界点:
0,有U(P0,
且U(P0,)Ec
,记为
(4)P0为E的聚点:
0,有U(P0,)
(E
{p0}),E的聚点的全体称为
E的
导集,记为E'
(5)P0
为E的孤立点:
E{p0}
(6)P0
为E的接触点:
聚点、边界点不一定属于
E,内点、孤立点一定属于
E.
由定义可知E
E'
{E的孤立点全体}
E'
EE
例1:
(1)令E
Q,则E
R,Eo
(2)令E
1,
L1
L
则E'
{0}
对一切
(k1,2,3,L)均为E的孤立
2
3
k
点
二、聚点的等价定义
定理1下面三个陈述是等价的:
(1)P0E'
;
(2)对
0,U(P0,)P0
(3)E中有各项互异的点列Pk
Pk
P0,k
1,2,3,L
,使Pk
P0k
证明
(1)
(2)是显然的.
(3):
因为UP,1
{P}
,取P
UP,1
{P}E,则
第4页(共11页)
P1E且P1
P0.令1
min
dP1,P0
1
,则U
P0,1
中至少有一点P2
E且
P2
P0,P2
P1
.令2
dP2,P0
P0,2
中至少有一点P3
P3
Pii0,1,2
.这样继续下去,便得到点列
Pk且满足要求.
(1):
0,存在自然数k0,当k
k0时,有P
UP,,即U
P,E
为无限集,故P0E'
.
三
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