点到直线的距离公式Word文件下载.docx
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22
Bx0ABy0ACAx0
B2x0
A(Ax0By0C)
AB
所以,
A(xx0)
B(Ax0By0
A2B2
C)
d(xx0)2(yy0)2
(Ax0By0C)2
A2B2
|Ax0By0C|
A2B2。
这就推导得到点P(x0,y0)到直线l:
Ax+By+C=0的距离公式。
如果A=0或B=0,上式的距离公式仍然成立。
下面再介绍一种直接用两点间距离公式的推导方法。
设点Q的坐标为(x1,y1),则
Ax1By1C0,
y1y0B
10B(A≠0),
x1x0A
把方程组作变形,
A(x1x0)B(y1y0)(Ax0By0C),①
B(x1x0)A(y1y0)0②
把①,②两边分别平方后相加,得
(A2B2)(x1x0)2(B2A2)(y1y0)2
2
(Ax0By0C),
(x1x0)(y1y0)
(Ax0By0C)
22A2B2
d(x1x0)2(y1y0)2
|Ax0By0C|
A2B2
此公式还可以用向量的有关知识推导,介绍如下:
设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是直线l上的任意两点,则
Ax1By1C0③
Ax2By2C0④把③、④两式左右两边分别相减,得A(x1x2)B(y1y2)0,由向量的数量积的知识,知
n·
P2P10,
这里n=(A,B)。
所以n=(A,B)是与直线l垂直的向量。
当n与P1P0的夹角为锐角时,
d|P1P0|cos,
(如图所示)
当n与P1P0的夹角为钝角时,
d|P1P0|cos(180°
)|P1P2|cos|P1P0||cos|
所以,都有
d|P1P0||cos|,
因为
P1P0|n|·
|P1P0|·
cos,
所以
d|n·
P1P0|
|n|
|(A,B)·
(x0x1,y0y1)|
|A(x0x1)B(y0y1)|
(因为Ax1By1C0,所以Ax1By1C)
2.平行线间的距离公式
3.点关于点的对称点(中点坐标公式)
4.已知P0(x0,y0)直线l:
Ax+By+C=0(B≠0)
点P0(x0,y0)关于直线l的对称点:
设为P1(x1,y1)
Ax0x1By0y1
A2B2y1y0·
(A
x1x0B
特别地关于特殊直线的对称点。
(x轴、y轴、直线y=x,直线y=-x)
5.直线l关于点P0(x0,y0)对称直线(三种方法)
6.直线l关于直线l1A1xB1yC10的对称直线(三种方法)特别地直线l关于特殊直线y=±
x+b的对称直线。
典型例题】
例1.求与直线l:
5x12y60平行且到l的距离为2的直线的方程。
解法一:
设所求直线的方程为5x12yc0,1
在直线5x12y60上取一点P0(0,1),
点P0到直线5x12yc0的距离为
1
|12×
c||c6|
d2|c6|
52(12)213
由题意,得|c6|2。
13∴c=32或c=-20,
∴所求直线方程为5x12y320和5x12y200解法二:
设所求直线的方程为
5x12yc0,
由两平行直线间的距离公式,
得2|c6|,解之,
52(12)2
得c32或c20。
故所求直线的方程为
5x12y320和5x12y200。
小结:
求两条平行线之间的距离,可以在其中的一条直线上取一点,求这点到另一条直线的距离,即把两条平行线之间的距离,转化为点到直线的距离。
也可以直接套两平行线间的距离公式d|C2C1|。
例2.已知正方形的中心为G(-1,0),一边所在直线的方程为x+3y-5=0,求其他三边所在的直线方程。
解:
正方形中心G(-1,0)到四边距离均为
|15|6。
123210。
设正方形与已知直线平行的一边所在直线的方程为x+3y+c1=0。
则|1c1|6,即|c11|6。
10101
解得c15或c17。
故与已知边平行的边所在直线的方程为x+3y+7=0设正方形另一组对边所在直线的方程为3x-y+c2=0。
则|3×
(1)c2|
6,
10
10,
即|c2
3|6,
解得c2
9或c2
3。
所以正方形另两边所在直线的方程为:
3xy90和3xy30。
综上所述,正方形其他三边所在直线的方程分别为:
x3y70、3xy90、3xy30。
本例解法抓住正方形的几何性质,利用点到直线的距离公式,求得了正方形其他三
k1
1k
,k
2。
边所在直线的方程。
例3.求直线x
2y1
0关于直线x
y10对称的直线的方程。
由
x2y1
0,得x得
1,
xy1
0,y
∴点(1,0)为两已知直线的交点。
设所求直线的斜率为k,由一条直线到一条直线的角的公式,
故所求直线方程为
y2(x1),即2xy20。
解法二:
由解法一知两已知直线的交点为A(1,0)。
在直线x2y10上取一点B(0,1),
y0
0,
设点B关于直线xy10的对称点为C(x0,y0),则
0x0
x00
(1)
x3,
解得x02,
y01。
∴C点的坐标为(3,1)
2直线AC的方程为y0
x1
3,2xy20,
3
即直线x2y10关于直线xy10对称的直线的方程为2xy20
解法三:
设P(x,y)是所求直线上的任一点,P关于直线x+y-1=0对称的点为P0(x0,
y0),
则P0在直线x2y10上。
∴x02y010,
yy0,kPP0,
0xx0
线段PP0的中点是M(xx0,yy0)。
022∵点P与点P0关于直线xy10对称,
×
(1)
x01y,y01x。
代入x02y010,得
1y2(1x)10,
即2xy20为所求。
解法四:
直线x+y-1=0k=-1
x1y
由x+y-1=0y1x代入x-2y-1=0得
1-y-2(1-x)-1=0
2x-y-2=0即为所求。
求直线l关于直线l1对称的直线的方程,只要在l上取两点A、B,求A、B关于l1的对称点A'
、B'
,然后写出直线A'
B'
的方程即为所求。
解法二和解法三中,都用到了求一个点P关于某直线l的对称点P0的问题。
这个问题的解法就是根据:
①直线P0P与直线l垂直;
②线段P0P的中点在直线l上,列出方程组解出x0、y0,代入x0、y0所满足的方程,整理即得所求直线的方程。
例4.求经过直线3x2y60和2x5y70的交点,且在两坐标轴上的
截距相等的直线方程。
由方程组3x2y60,
2x
5y
7
4,
y
∴两已知直线的交点为(-
3)。
当所求直线在两坐标轴上的截距都是
0时,直线的横截距、纵截距相等。
∴所求直线的方程为y3x,
4
即3x4y0。
当所求直线不过原点时,
设所求直线方程为xya,因为点(-4,3)在直线x+y=a上,∴43a,a1,
故所求直线方程为xy10
∵所求直线经过直线3x2y
所以可设所求直线的方程为
3x
2y
6
在(*)式中,令
x0得y
;
5
令y0得x7
。
由题意,得7
67
53
所以6或
把6和
1分别代入(*)式整理,
综上所述,所求直线方程为3x4y
即得3x4y0和xy10。
0或xy10。
60和直线2x5y70的交点,
(2x5y7)0(*)。
0的情形。
故而没有直接设成
A1xB1yC10与A2xB2yC2
解法一设直线的截距式时注意了截距为
xy1的形式,解法二中用到了过两直线aa
=0的交点的直线系方程:
A1xB1yC1(A2xB2yC2)0
例5.已知两条直线l1:
axby40,l2:
(a1)xyb0,求分别满足下
列条件的a、b的值。
(1)直线l1过点(-3,-1),并且直线l1与直线l2垂直;
(2)直线l1与直线l2平行,并且坐标原点到l1、l2的距离相等。
分析:
考查直线与直线平行及垂直的问题的处理方法。
(1)∵l1⊥l2,∴a(a1)(b)·
10a2ab0①又点(-3,-1)在l1上,
∴3ab40②
由①、②解得a=2,b=2。
2)∵l1∥l2且l2的斜率为1-a。
∴l1的斜率也存在,
a,b
a
1a
故l1和l2的方程可分别表示为
l1:
(a
l2:
∵原点到
1)x
4(a1)
∴4|aa
因此
1)xy1a0l1和l2的距离相等,
1||
2,
a|,a
3,
在
(2)中由于l1∥l2,l2有斜率,从而得出l1有斜率,即b≠0。
例6.已知函数f(x)x22x2x24x8,求f(x)的最小值,并求取得
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