学年湘教版数学九年级上册 13 反比例函数的应用.docx
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学年湘教版数学九年级上册13反比例函数的应用
1.3 反比例函数的应用
教学目标
【知识与技能】
经历通过实验获得数据,然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程,体会建模思想.
【过程与方法】
观察、比较、合作、交流、探索.
【情感态度】
体验数形结合的思想.
【教学重点】
建立反比例函数的模型,进而解决实际问题.
【教学难点】
经历探索的过程,培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力.
教学过程
一、情景导入,初步认知
复习回顾
1.什么是反比例函数?
2.反比例函数的图象是什么?
3.反比例函数图象有哪些性质?
4.反比例函数的图象对称性如何?
【教学说明】通过提出问题,引发学生思考,培养学生解决问题的能力.
二、思考探究,获取新知
1.某校科技小组进行野外考察,途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地,为了安全、迅速通过这片湿地,他们沿着前进路线铺垫了若干块木板,构筑成一条临时通道,从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗?
(1)根据压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系式p=,请你判断:
当F一定时,p是S的反比例函数吗?
(2)如人对地面的压力F=450N,完成下表:
受力面积S(m2)
0.005
0.01
0.02
0.04
压强p(Pa)
(3)当F=450N时,试画出该函数的图象,并结合图象分析当受力面积S增大时,地面所受压强p是如何变化的,据此,请说出它们铺垫木板通过湿地的道理.
解:
(1)对于p=,当F一定时,根据反比例函数的定义可知,p是S的反比例函数.
(2)因为F=450N,所以当S=0.005m2时,由p=得:
p==90000(Pa)
类似的,当S=0.01m2时,p=45000Pa;
当S=0.02m2时,p=22500Pa;当S=0.04m2时,p=11250Pa
(3)当F=450N时,该反比例函数的表达式为p=,它的图象如下图所示,由图象的性质可知,当受力面积S增大时,地面所受压强p会越来越小,因此,该科技小组通过铺垫木板的方法来增大受力面积.以减小地面所受压强,从而可以顺利地通过湿地.
2.你能根据玻意耳定律(在温度不变的情况下,气体的压强p与它的体积V的乘积是一个常数K(K>0),即pV=K)来解释:
为什么使劲踩气球时,气体会爆炸?
【教学说明】逐步提高学生从函数图象中获取信息的能力,提高感知水平;此外,在解决实际问题时,要引导学生体会知识之间的联系及知识的综合运用.
三、运用新知,深化理解
1.教材P15例题.
2.一个水池装水12m3,如果从水管中每小时流出xm3的水,经过yh可以把水放完,那么y与x的函数关系式是________,自变量x的取值范围是________.
【答案】y=;x>0
3.若梯形的下底长为x,上底长为下底长的,高为y,面积为60,则y与x的函数关系是________(不考虑x的取值范围).
【答案】y=
4.某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进行展示.设矩形的宽为xcm,长为ycm,那么这些同学所制作的矩形的长y(cm)与宽x(cm)之间的函数关系的图象大致是( )
【答案】A
5.下列各问题中两个变量之间的关系,不是反比例函数的是( )
A.小明完成百米赛跑时,所用时间t(s)与他的平均速度v(m/s)之间的关系
B.长方形的面积为24,它的长y与宽x之间的关系
C.压力为600N时,压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系
D.一个容积为25L的容器中,所盛水的质量m(kg)与所盛水的体积V(L)之间的关系
【答案】D
6.在温度不变的条件下,通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压,测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强,如下表:
体积x/mL
100
80
60
40
20
压强y/kPa
60
75
100
150
300
则可以反映y与x之间的关系的式子是( )
A.y=3000x B.y=6000x
C.y=D.y=
【答案】D
7.一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案,如图所示,设小矩形的长和宽分别为x、y,剪去部分的面积为20,若2≤x≤10,则y与x的函数图象是( )
【答案】A
8.一个长方体的体积是100cm3,它的长是y(cm),宽是5cm,高是x(cm).
(1)写出长y(cm)关于高x(cm)的函数关系式,以及自变量x的取值范围;
(2)画出
(1)中函数的图象;
(3)当高是3cm时,求长.
解:
(1)y=(x>0);
(2)图象略;
(3)长为cm.
【教学说明】用函数观点来处理实际问题的应用,加深对函数的认识.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:
教材“习题1.3”中第1、2、4题.
教学反思
本节课通过学生自主探索,合作交流,以认知规律为主线,以发展能力为目标,以从直观感受到分析归纳为手段,培养学生的合情推理能力和积极的情感态度,促进良好的数学观的形成.在教学手段上,本节课大量使用多媒体辅助教学,既能体现知识的背景材料,又能一下子引起学生的注意力,有效地节省了时间,增大了课堂容量.生动形象的动画演示,动感强,直观性好,既加深了学生的理解,又培养了学生的抽象思维能力,同时也向学生渗透了归纳类比,数形结合的数学思想方法.
复习与提升
教学目标
【知识与技能】
理解反比例函数、图象及其主要性质,能根据所给信息确定反比例函数表达式,画出反比例函数的图象,并利用它们解决简单的实际问题.
【过程与方法】
经历探索反比例函数的概念、性质、图象的过程,了解数学与实际问题相结合.
【情感态度】
初步了解数学在实际生活中的应用,增强应用意识,体会数学的重要性.
【教学重点】
能根据所给信息确定反比例函数表达式,画出反比例函数的图象,并利用它们解决简单的实际问题.
【教学难点】
反比例函数的应用.
教学过程
一、知识结构
【教学说明】通过回顾知识点,使学生掌握各知识点之间的联系.
二、释疑解惑,加深理解
1.反比例函数的概念
一般地,如果两个变量x,y之间可以表示成y=(k为常数且k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.
2.反比例函数的性质:
反比例函数y=(k为常数,k不为零)的图象是一种双曲线;
当k>0时,双曲线的两支分别位于第一、三象限,在每一象限内,y的值随着x值的增大而减小;
当k<0时,双曲线的两支分别位于第二、四象限,在每一象限内,y的值随着x值的增大而增大.双曲线上任一点作x轴,y轴的垂线,所得矩形的面积为|k|.
3.画反比例函数图象时要注意以下几点:
a.列表时自变量的取值应取绝对值相等而符号相反的一对数值,这样既可以简化计算,又便于标点;
b.列表、描点时,要尽量多取一些数值,多描一些点,这样方便连线;
c.在连线时要用“光滑的曲线”,不能用折线.
4.反比例函数的应用
【教学说明】让学生通过知识性内容的小结,让课堂所学的知识尽快被学生掌握.
三、典例精析,复习新知
1.下面函数中,哪些是反比例函数?
(1)y=-;
(2)y=;(3)y=4x-5;(4)y=5x-1;(5)xy=.
解:
其中反比例函数有
(2),(4),(5).
【教学说明】判断函数是反比例函数,依据反比例函数定义,y=(k≠0),它也可变形为y=kx-1及xy=k的形式,(4),(5)就是这两种形式.
2.已知反比例函数y=(a-2)xa2-6,y随x增大而减小,求a的值及表达式.
分析∶根据反比例函数的定义及性质来解此题.
解∶因为y=(a-2)xa2-6是反比例函数,且y随x的增大而减小,
所以解得
所以a=,表达式为y=.
3.已知y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x成反比例,当x=1时,y=4;当x=3时,y=5,求x=-1时,y的值.
分析∶先求出y与x之间的关系式,再求x=-1时,y的值.
解:
因为y1与x成正比例,y2与x成反比例,
所以y1=k1x,y2=(k1k2≠0).
所以y=y1+y2=k1x+.
将x=1,y=4;x=3,y=5代入,得解得
所以y=x+.
所以当x=-1时,y=--=-4.
【教学说明】不可草率地将k1、k2都写成k而导致错误,题中给出了两对数值,决定了k1、k2的值.
4.已知函数y=(m+)x4m2-2是反比例函数,且其函数图象在每一个象限内,y随x的增大而减小,求反比例函数的表达式.
解:
因为y是x的反比例函数,所以4m2-2=-1,所以m=或m=-.
因为此函数图象在每一象限内,y随x的增大而减小,
所以m+>0,所以m>-,所以m=,
所以反比例函数的表达式为y=.
【教学说明】此题根据反比例函数的定义与性质来解.反比例函数y=(k≠0),当k>0时,y随x增大而减小;当k<0时,y随x增大而增大.
5.一个长方体的体积是100立方厘米,它的长是y厘米,宽是5厘米,高是x厘米.
(1)写出用高表示长的函数关系式;
(2)写出自变量x的取值范围;
(3)当x=3厘米时,求y的值.
分析:
本题依据长方体的体积公式列出方程,然后变形求出长关于高的函数关系式.
解:
(1)因为长方体的长为y厘米,宽为5厘米,高为x厘米,所以5xy=100,所以y=.
(2)因为x是长方体的高,所以x>0.即自变量x的取值范围是x>0.
(3)当x=3时,y==6(厘米)
【教学说明】通过例题讲解可以提高学生的观察、分析、综合应用及合情推理能力.
四、复习训练,巩固提高
1.一次函数y=-x+1与反比例函数y=在同一坐标系中的图象大致是如图中的( )
解:
∵y=-x+1的图象经过第一、二、四象限,故排除B、C;又y=的图象两支在第一、三象限,故排除D.∴答案应选A.
2.如图,P是反比例函数y=上一点,若图中阴影部分的矩形面积是2,求这个反比例函数的表达式.
分析:
求反比例函数的表达式,就是求k的值.此题可根据矩形的面积公式及坐标与线段长度的转化来解.
解:
设P点坐标为(x,y).
因为P点在第二象限,所以x<0,y>0.
所以图中阴影部分矩形的长、宽分别为-x,y.
又-xy=2,所以xy=-2.因为k=xy,所以k=-2.
所以这个反比例函数的表达式为y=-.
【教学说明】过反比例函数图象上的一点作两条坐标轴的垂线,可得到一个矩形,这个矩形的面积等于y=中的|k|.
3.当n取什么值时,y=(n2+2n)xn2+n-1是反比例函数?
它的图象在第几象限内?
在每个象限内,y随x增大而增大还是减小?
分析:
根据反比例函数的定义y=(k≠0)可知,y=(n2+2n)xn2+n-1是反比例函数,必须且只需n2+2n≠0且n2+n-1=-1.
解:
y=(n2+2n)xn2+n-1是反比例函数,则
∴ 即n=-1.
故当n=-1时,y=(n2+2n)xn2+n-1表示反比例函数:
y=-.
∵k=-1<0,
∴双曲线两支分别在二、四象限内,并且在每个象限内,y随x的增大而增大.
4.一个圆台形物体的上底面积是下底面积的.如果放在桌上,对桌面的压强是200Pa,翻过来放,对桌面的压强是多少?
解:
设下底面是S0,则由上底面积是S0,则p=,且S=S0时,p=200,
有F=pS=200×S0=200S0.
因为是同一物体,所以F=200S0是定值.
所以当S=S0时,p===300(Pa).
五、师生互动,课堂小结
通过本节课的学习,你有哪些收获?
课后作业
布置作业:
教材“复习题1
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