考研数学三真题及解析Word文档格式.docx
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22
i1
fxdx
f_
f'
02
欢当f'
(x)
0时,0f
dx
f1
.从而有f
I
0.
II
1.
xdx,
3.设M
—dx,N
x—dx,K
2e
A.M?
.M
N.
C.K
D.
答案:
—dx
2x
]1dx,
1所以
K21.cosxdx,1
cosx1
11.cosx
所以由定积分的比较性质KM
N,应选C.
4.设某产品的成本函数CQ可导,其中Q为产量,若产量为Q。
时平均成本
最小,则()
AC'
Qo0BC'
QoCQo
QQo处取最小值,可知QoC'
QoO.故选(D).
解析:
令P
QPAP
选项为A
6.设A,B为n阶矩阵,记rX为矩阵X的秩,XY表示分块矩阵,则
C.rABmaxrA,rB
D.rABrATBT
A
易知选项C错
对于选项B举反例:
取A
B
001
12
则BA,A,BA
331
100
133
ArA?
ABrA
B.rABArA
7.设随机变量X的概率密度fx满足
f1x
f1x,且0fX
dx0.6,
则PX0.
(A)0.2;
(B)0.3;
(C)0.4;
(D)
0.6.
解由fixf1x知,概率密度fx关于x1对称,故
PX0PX2,
且PX0P0X2PX21,由于POX2fxdx0.6,
所以2PX00.4,即PX00.2,故选项A正确.
nX
(A)
S
・nX
(B)
(C)
(D)
则下列选项正确的是
10.
exarcsin1e2x
故选项B正确.
填空题
9.曲线yx22lnx在其拐点处的切线方程为
答案y4x3
令y'
=°
解得x=1,而y'
1°
故点(1,1)为曲线唯一的拐点
曲线在该点处切线的斜率y'
14,故切线方程为y4x30
答案exarcsin.1e2x.1e2xC
【解析】令t二ex,则
原式二arcsint^dttarcsint2
tarcsin.1t2
.tdttansin丿1t2V1t2C
1t2
x.2x
earcsin-1e
-,re^c
11.差分方程2yx
Vx5的通解
【答案】
x1
yxc25
答案i2e.
【解析】由x2xxx
可知x可微,且'
x=2xx。
这是一个可分离变量微分方程
求得其通解为xcex;
再由02可得
2es
2ex,
i3.
i>
2,3为线性无关的向量组,若
i,2,3
由于
3线性无关,故A:
二B,从而有相同的特征值。
故A的实特征值为2
i4.设随机事件A,B,C相互独立,且
则P(ACAB)
P(A)P(B)P(C)2,
解由条件概率以及事件相互独立性的定义,得
PACAB
P(ACAB)
P(AB)
PAC
P(A)P(B)P(AB)
PAPC
P(A)
P(B)
解答题
15.已知实数a,b,满足lim
axbex
2,求a,b。
答案a
1,b1
令t=,可得lim
t0
abtet1
2,
其中lim
to
lim
aet1
t
bet
可知lim
2b,而要使得
®
专存在,必须有
a1。
此时,有limae-
t0t
综上,a1,b1。
1=1=2
b,故b
1.
16.设平面区域D由曲线y
1x与直线y'
3x及y轴围成。
计算二重积
x2dy。
【解析】1。
巳dx
x2dy卢x2..31
o^x\31x2dx
莖,—
其中对于02x「31x
~Z3
2xdx,
2
dx,令xsint,可化为
o4晟i『tco^dt
34~8
sin2td2t
o
而o^x'
£
32
3
16
17.将长为
2m的铁丝分成三段,依次围成圆、
正方形与正三角形•三个图形的面
积之和是否存在最小值?
若存在,求出最小值.
【解析】设分成的三段分别为x,y,乙则有xyz2及x,y,z>
0,圆的面积为
S-,—x2,正方形的面积为S2=—y2,正三角形的面积为S3=3z2,总面积为2丄x2+丄y2+3z2,
4163641636
则问题转化为在条件xyz2,x,y,z>
0下,求函数丄x2+丄y2+-^z2的最小值。
令
41636
L」x2+丄y2+空z2
「3
4、,3
9
4、3
18
.3
解得唯一条件极值点为
2、3
_L=_x_
x=2
l_y
1=8
L、、3
一=—z
z18
L
=xyz
为最小值,最小值为
3+12+9.3
18.已知cos2x丁丄2
1x
anXn1
n0
x1,求an.
答案a2n1
2n2
2n22n2,n0,1,2,L
a2n
n2n
2n!
2n1
12n
2n
n
0,1,2,L。
将cos2x与-
1+x2
展成幕级数可得
cos2x
2m
.n2n
12x
02m__
X
1nxn
则
a2n1
2,n
0,1,2,L
19.
n
22n
设数列Xn
xn.
证明:
①证明
n?
0,1,2,L。
满足:
X1
0,XneX11
eXn
1,2,L
.证明
Xn收敛,并求
Xn
0,易证
②再证Xn单减,由
eXn1
eX11
ex
e°
拉格朗日中值定理
0,Xn
Xn1Xn
Xn单减有下界,由此得
limXn存在
③设」imxnA,则AeA
20.设实二次型fX1,X2,X3
X2
X3
X2X3
ax3
其中a是参数.
(1)求f为,X2,X3
0的解;
⑵求fX1.X2.X3的规范形.
21.已知a是常数,且矩阵A
(1)fX1,X2,X30而X2X30
0,
由
11
102
得
011
0a
00a2
当a
2时,
rA
3,只有零解X1
X30
2,方程有无穷多解,
通解为
2为任意常数
■
k1,k
⑵由⑴知,当a2时A可逆,
y1
X1X2X3
y2X2X3
即丫AX,则规范形为f
222y1y2y3,
y3X3
2时,rA
X2X3,则fyy
y1牡
2y12y2詁
y2
Z1
V1-V2
Z2
、,则得规范形为f
ZZ2・
Z3
y3
a
QA1
7
3a
rA2
r
B2
由B0
13
2a
得a=2.
⑵令R
X1.X2.X3
B
bbb
rB
ARA
Xi,X2,X3
AX1,AX2,AX3
M
M122
AI\B
01
M111
03
6
M333
10
6M
44
2M
00
0M
6k1
AX1
6的通解为X1=k12
2k1
.K为任意常数
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