抽屉原理Word格式.docx
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n件物品的假设相矛盾。
说明原来的假设不成立。
所以抽屉原理Ⅱ成立。
运用抽屉原理解题的步骤
(1)确定什么作为“抽屉”;
(2)把什么当作“物品”;
(3)如果满足“物品”的数量多于“抽屉”的个数,则可以根据抽屉原理得出结论。
说明:
对于有些问题,同样可以运用最不利原则解答。
典型例题
例1橱柜里有木筷子6根,竹筷子8根,从中最少摸出多少根筷子,才能保证有两双不同的筷子?
提示
“有两双不同的筷子”,实际上就是指木筷子、竹筷子各一双,即起码要有2+2=4(根)。
题目要求“保证有两双不同的筷子”,
只摸出4根筷子是保证不了的。
从最坏的情况来考虑,一个人先摸出8根筷子,可能都是竹筷子,实际只满足了有一双筷子的要求,那么再摸2根,必然出现一双木筷子,合起来就是10根筷子。
这就是所说的“最不利情况”。
解
由于先摸出8根筷子,都是竹筷子,只满足两双不同筷子要求的一部分,是最坏的情况,再摸出2根,必有一双木筷子出现。
8+2=10(根),所以,从中最少摸出l0根筷子,才能保证有两双不同的筷子。
答:
从中最少摸出l0根筷子,才能保证有两双不同的筷子。
例2某幼儿园有367名2008年出生的小朋友,是否有生日相同的小朋友?
2008年是闰年,这年应有366天。
把366天看做366个抽屉,将367名小朋友看做367个物品。
这样,把367个物品放进366个抽屉里,至少有一个抽屉里不止放一个物品。
因此至少
有2名小朋友的生日相同。
至少有2名小朋友的生日相同。
例3用红、白、黑三种颜色将一个2×
10方格图(如下图)中的每个小方格随意涂上颜色,要求每个小方格只涂一种颜色。
问:
是否存在两列,它们的小方格中涂的颜色完全相同?
用三种颜色给每列中的两个小方格随意涂色,会有以下9种情况。
将这9种情况看成9个抽屉,将10列分别放入9个抽屉中,根据抽屉原理I,总有两列小方格中涂的颜色完全相同。
总有两列,它们的小方格中涂的颜色完全相同。
例4有红、绿、紫三种颜色的袜子各6只,把它们混在一个口袋中。
如果要从口袋中摸袜子,问:
(1)至少要摸出多少只才能保证摸出1双袜子?
(颜色相同的两只是一双)
(2)至少要摸出多少只袜子才能保证摸出颜色不同的两双袜子?
(3)至少要摸出多少只才能保证摸出两双颜色相同的袜子?
(1)根据抽屉原理I,把三种颜色看做三个“抽屉”,则至少要从抽屉中取出四件物品,才能保证有两件物品是从同一个抽屉中取出的。
即至少要摸出4只袜子才能保证其中有一双袜子。
(2)从最不利的情况出发,即每次取出的袜子总相同,这样取出6只颜色相同的袜子相当于仅取出一双袜子,还要从剩下的袜子中选出一双来。
此时还剩下两种与前6只颜色不同的袜子。
问题转化成与第
(1)问相同的情况,按照第
(1)问的分析可知,只要再取出3只袜子就能保证又取出一双袜子,且与前面1双的颜色不同。
这样就要取出64-3—9(只)袜子才能保证取出颜色不同的两双袜子。
(3)与第
(2)问相同,仍先从最不利的方面考虑,即取出的3双袜子颜色各不相同,丑p6只袜子刚好是每种颜色的袜子各l双。
那么剩下的就是要从余下的三种颜色的袜子中选出一双来,不论选中哪双都会与前面选出的3双中的一双颜色相同。
由第
(1)问的分析可知,这时需要摸出4只才能保证,所以共需要有6+4=10(只)袜子才能保证取出两双颜色相同的袜子来。
(1)至少要摸出4只袜子才能保证其中有一双袜子。
(2)至少要摸出9只袜子才能保证取出颜色不同的两双袜子。
(3)至少要摸出10只袜子才能保证取出两双颜色相同的袜子来。
说明
此题中条件较明显,要按颜色不同来制造抽屉。
第(3)问可直接应用抽屉原理Ⅱ来解决,请读者仔细思考。
(提示:
3×
3+1=10)
例5有红、黄、蓝、白4色的小球各10个,混合放在一个布袋里。
一次摸出8个小球,其中至少有几个小球的颜色是相同的?
根据抽屉原理I,把颜色看做抽屉,小球看做物品,问题可解。
解法一
把红、黄、蓝、白4色看做4个抽屉,8个小球看做8个物品,因为8=4+4,根据抽屉原理I,至少有2个小球的颜色是相同的。
这8个小球中至少有2个小球的颜色是相同的。
解法二
从最不利的情况想,摸出的8个小球中有4个小球的颜色各不相同,那么余下的4个小球无论各是什么颜色(包括颜色各不相同),则这8个小球中至少有2个小球的颜色是相同的。
例6某班的小图书库有儿童文学、科学画报、连环画三类课外读物,规定每位同学最多可以借阅两种不同类型的书。
问至少有几位同学来借阅图书,才一定有两位同学借阅的书的类型相同?
允许同学借阅书的类型共有以下六种(每位同学可以借阅一种类型,也可以借两种类型):
儿童文学;
科学画报;
连环画;
儿童文学、科学画报;
儿童文学、连环画;
科学画报、连环画。
从最不利的情况想:
6位同学借阅的书的类型各不相同,再来一位同学,不管他借阅什么类型的书,都能保证有2位同学借阅的书的类型相同。
6+1=7(位)
至少有7位同学来借阅图书,才一定有2位同学借阅的书的类型相同。
例7在新学期的开学典礼上四年级总共有293人参加,这293人中至少有多少人的属相相同?
由于属相一共有12种,因此将12种属相看成12个抽屉。
根据抽屉原理Ⅱ,将293件物品放人12个抽屉里,因为293=12×
24+5,那么m=24,n=12,则至少要有一个抽屉中的物品
的件数不少于m+1=24+1=25(件)。
由此可知,这293人中至少有25人的属相相同。
293=24×
12+5
24+1=25(人)
在293人中至少有25人的属相相同。
例8把154本图书分给四年级某班的同学,如果不管怎样分,都至少有一位同学会分得4本或4本以上的图书。
那么这个班最多有多少名学生?
此题是逆用抽屉原理Ⅱ,要求有多少个抽屉。
由“至少有一位同学分得4本或4本以上的图书”,可知m+1=4,那么m=3,又因为154=3×
51+1,得n=51,那么这个班最多有51名学生。
154÷
(4-1)=51……l
这个班最多有51名学生。
例9有120名学生从A、B、C三人中投票选举一人做三好学生,投票时每人只能投一次,且只能选一个人。
得票最多的人当选。
统计票数的过程中发现,在前81张选票中,A得21票,B得25票,C得35票。
在余下的选票中,C至少再得几张选票就一定能当选?
剩下未统计的选票有120-81=39(张),在已统计出的选票中,C得票最多,其次是B,B比C少35-25=10(票)。
从最不利的方面考虑,让接下来的10票都给B,那么还剩下39-10=29(张)选票。
根据抽屉原理Ⅱ,把B、C两人作为2个抽屉,由于29÷
2=14……l,那么C至少再得l4+1=15(张)选票就一定能当选。
[120-81-(35-25)]÷
2
=29÷
=14……l
14+1=15(票)
在余下的选票中,C至少要再得15张选票就一定能当选。
说明
此题在选取抽屉的过程中要考虑在实际情况中A得票最少,因此制造抽屉时A不被考虑在内。
例10一副扑克牌共54张,至少从中摸出多少张牌才能保证至少有5张牌的花色相同?
提示一
从最不利的情况看,即先摸出了2张王牌,再将4种花色的牌各摸出4张,这样只要再多摸出l张牌,不管它是什么花色的,都能达到有5张牌的花色相同。
2+4×
4+1=19(张)
至少要摸出19张牌,才能保证至少有5张牌的花色相同。
提示二
用抽屉原理Ⅱ思考,先摸出了2张王牌,把再从余下的52张牌中要摸出的牌看做n个物品,把4种花色看做4个抽屉,由抽屉原理Ⅱ,有n=(5—1)×
4+1=17,17+2=19(张)。
N=(5-1)×
4+1=17
17+2=19(张)
例11有100个苹果分给幼儿园某班的小朋友,已知其中有人至少分到3个。
那么,这个班的小朋友最少有多少人?
从最不利的情况想,要使参加的人数尽量的少,那么,分到3个,苹果的人数要尽量的多。
因为100÷
3=33……l,33+1=34(人)。
100÷
3=33……l
33+1=34(人)
所以这个班的小朋友最少有34人。
例12有100个苹果分给幼儿园某班的小朋友,已知其中有人至少分到3个。
那么,这个班的小朋友最多有多少人?
从最不利的情况想,要使参加的人数尽量的多,那么,分到3个苹果的人数要尽量的少,即分到2个苹果的人数要尽量的多。
因为l00=2×
47+3×
2,所以这个班最多有:
47+2=49(人)。
100=2×
47+2=49(人)
这个班最多有49人。
总结
利用抽屉原理,可以说明许多有趣的现象或结论。
不过,抽屉原理不是拿来就能用的,关键是要应用所学的数学知识去寻找“抽屉”,制造“抽屉”,弄清应当把什么看做“抽屉”,把什么看做“物品”。
因此,理解抽屉原理的重点在于了解问题中物品和抽屉各指什么。
另外,对于此类题目,同样可以用最不利原则解答。
能级训练
A级
1.某班32名小朋友是在5月份出生的,能否找到两个生日是在同一天的小朋友?
2.箱子里有红球l3个,黄球l0个,蓝球l5个。
从中摸出多少个球,才能保证三种颜色的球都至少有4个?
(第三届“希望杯”邀请赛试题)
3.幼儿园买来不少玩具小汽车、小火车、小飞机,每个小朋友任意选择两件,那么至少要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的?
4.任意四个自然数,其中至少有两个数的差是3的倍数。
这是为什么?
5.一副扑克牌(除去大、小王),有4种花色,每种花色都有l3张牌。
现在把扑克牌洗匀,那么至少要从中抽出多少张牌,才能保证有4张牌是同一花色的?
(广东省“育苗杯”邀请赛试题)
6.班上有50名小朋友,老师至少拿几本书随意分给小朋友,才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书?
7.妈妈把洗好的5双红、蓝、黄、白、黑颜色的袜子随便放在抽屉里。
卧室灯坏了,看不清。
黑暗中,小明至少要拿出多少只袜子,才能保证从中能挑出一双颜色相同的袜子?
8.用红、蓝、黄三种颜色.将一个2×
7方格图中的小方格涂色(下图),每个小方格涂一种颜色,每一列的两小格涂的颜色不相同。
9.有规格尺寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内。
试问不论如何取,从箱中至少取出多少只就能保证有3双袜子(袜子无左、右之分,每双袜子颜色应一致)?
10.礼堂里有153人开会,这153人中至少有多少人的属相相同?
11.口袋里放有3种不同颜色的球共20个,其中红球7个,黄球5个,绿球8个。
如果闭上眼睛从袋中取球,最多可以取出多少个球,仍能够保
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