全国初中数学竞赛试题及答案.docx
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全国初中数学竞赛试题及答案
2005年全国初中数学联赛决赛试卷
一、选择题:
(每题7分,共42分)
1、化简:
的结果是__。
A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数
2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14;则这个四边形的面积为__。
A、78.5 B、97.5 C、90 D、102
3、设r≥4,a=,b=,
c=,则下列各式一定成立的是__。
A、a>b>cB、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a
4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成,如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和,则这两圆的公共弦长是__。
A、 B、 C、 D、
5、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,y
记p=|a-b+c|+|2a+b|,q=|a+b+c|+|2a-b|,则__。
A、p>qB、p=qC、p 01x 6、若x1,x2,x3,x4,x5为互不相等的正奇数,满足(2005-x1)(2005-x2)(2005-x3)(2005-x4)(2005-x5)=242,则的未位数字是__。 A、1 B、3 C、5 D、7 二、填空题(共28分) 1、不超过100的自然数中,将凡是3或5的倍数的数相加,其和为__。 2、x=___。 3、若实数x、y满足则x+y=__。 4、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足: A>B>C,用a表示A-B,B-C以及90°-A中的最小者,则a的最大值为___。 三、解答题(第1题20分,第2、3题各25分) 1、a、b、c为实数,ac<0,且,证明: 一元二次方程ax2+bx+c=0有大于而小于1的根。 2、锐角ΔABC中,AB>AC,CD、BE分别是AB、AC边上的高,过D作BC的垂线交BE于F,交CA的延长线于P,过E作BC的垂线,交CD于G,交BA的延长线于Q,证明: BC、DE、FG、PQ四条直线相交于一点。 3、a、b、c为正整数,且a2+b3=c4,求c的最小值。 2005年全国联赛决赛试卷详解 一、选择题: (每题7分,共42分) 1、化简: 的结果是__。 A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数 解: 所以选D 2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14;则这个四边形的面积为__。 A、78.5 B、97.5 C、90 D、102 解: 由题意得: 52+142-2×5×14×cosα=102+112-2×10×11×cos(180°-α) ∴221-140cosα=221+220cosα ∴cosα=0 ∴α=90° ∴四边形的面积为: 5×7+5×11=90 ∴选C 3、设r≥4,a=,b=,c=,则下列各式一定成立的是__。 A、a>b>cB、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a 解法1: 用特值法,取r=4,则有 a=,b=, c= ∴c>b>a,选D 解法2: a=, b= c= 解法3: ∵r≥4 ∴<1 ∴ c= ∴a 4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成,如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和,则这两圆的公共弦长是__。 A、 B、 C、 D、 解: 由图形割补知圆面积等于矩形ABCD的面积 ∴ 由垂径定理得公共弦为 ∴选D 5、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图所示, 记p=|a-b+c|+|2a+b|,q=|a+b+c|+|2a-b|,则__。 A、p>qB、p=qC、p 解: 由题意得: a<0,b>0,c=0 ∴p=|a-b|+|2a+b|,q=|a+b|+|2a-b| 又 ∴p=|a-b|+|2a+b|=b-a+2a+b=a+2b=2b+a, q=|a+b|+|2a-b|=a+b+b-2a=2b-a ∴p 6、若x1,x2,x3,x4,x5为互不相等的正奇数,满足(2005-x1)(2005-x2)(2005-x3)(2005-x4)(2005-x5)=242,则的未位数字是__。 A、1 B、3 C、5 D、7 解: 因为x1,x2,x3,x4,x5为互不相等的正奇数,所以(2005-x1)、(2005-x2)、(2005-x3)、(2005-x4)、(2005-x5)为互不相等的偶数 而将242分解为5个互不相等的偶数之积,只有唯一的形式: 242=2·(-2)·4·6·(-6) 所以(2005-x1)、(2005-x2)、(2005-x3)、(2005-x4)、(2005-x5)分别等于2、(-2)、4、6、(-6) 所以(2005-x1)2+(2005-x2)2+(2005-x3)2+(2005-x4)2+(2005-x5)2=22+(-2)2+42+62+(-6)2=96 展开得: 二、填空题(共28分) 1、不超过100的自然数中,将凡是3或5的倍数的数相加,其和为__。 解: (3×1+3×2+……3×33)+(5×1+5×2+……5×20)-(15×1+15×2+……15×6)=1683+1050-315=2418 2、x=___。 解: 分子有理化得: ∵x≠0, ∴ 两边平方化简得: 再平方化简得: 3、若实数x、y满足则x+y=__。 解法1: 假设x+y=a,则y=a-x 解法2: 易知 化简得: 4、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足: A>B>C,用a表示A-B,B-C以及90°-A中的最小者,则a的最大值为___。 解: 三、解答题(第1题20分,第2、3题各25分) 1、a、b、c为实数,ac<0,且,证明: 一元二次方程ax2+bx+c=0有大于而小于1的根。 解: 设 ∴ ∴一元二次方程ax2+bx+c=0有大于而小于1的根. 2、锐角ΔABC中,AB>AC,CD、BE分别是AB、AC边上的高,DE与BC的延长线于交于T,过D作BC的垂线交BE于F,过E作BC的垂线交CD于G,证明: F、G、T三点共线。 证法1: 设过D、E的垂线分别交BC于M、N,在Rt△BEC与Rt△BDC中,由射影定理得: CE2=CN·CB,BD2=BM·BC ∴ 又Rt△CNG∽Rt△DCB,Rt△BMF∽Rt△BEC, ∴ ∴ 在Rt△BEC与Rt△BDC中,由面积关系得: BE·CE=EN·BC,BD·CD=DM·BC ∴ 由 (1) (2)得: 证法2: 设CD、BE相交于点H,则H为△ABC的垂心,记DF、EG、AH与BC的交点分别为M、N、R ∵DM∥AR∥EN ∴ 由合比定理得: 证法3: 在△ABC中,直线DET分别交BC、CA、AB于T、E、D,由梅涅劳斯定理得: 设CD、BE相交于点H,则H为△ABC的垂心,AH⊥BC ∵DF⊥BC、EG⊥BC ∴AH∥DF∥EG ∴ 由梅涅劳斯定理的逆定理得: F、G、T三点共线. 证法4: 连结FT交EN于G’,易知 为了证明F、G、T三点共线,只需证明即可 ∵ 又 ∴ ∵CD⊥AB、BE⊥CA,∴B、D、E、C四点共圆 ∴∠ABE=∠ACD (2) 又 (3) 将 (2)(3)代入 (1)得: ,故F、G、T三点共线. 3、设a、b、c为正整数,且a2+b3=c4,求c的最小值。 解: 显然c>1.由题设得: (c2-a)(c2+a)=b3 若取 由大到小考察b,使为完全平方数,易知当b=8时,c2=36,则c=6,从而a=28。 下面说明c没有比6更小的正整数解,列表如下: c c4 x3(x3 c4-x3 2 16 1,8 17,8 3 81 1,8,27,64 80,73,54,17 4 256 1,8,27,64,125,216 255,248,229,192,131,40 5 625 1,8,27,64,125,216,343,512 624,617,598,561,500,409,282,113 显然,表中c4-x3的值均不是完全平方数。 故c的最小值为6 参考答案: 一、1、D原式= 2、C∵52+142=221=102+112∠A、∠C都是直角 3、D 4、D 5、C 6、A 二、1、2418 2、 3、x+y=33+43+53+63=432 4、15° 三、1、略 2、略 3、c的最小值为6。
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