轴对称培优练习教案Word文档下载推荐.docx

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∴∠AMN=∠MAN=β．

1-1

设∠ABC=γ，

在△ABC中，

∠ABC+∠BCA+∠CAB=180°

，

由于∠BCA=∠CAB=2α+β，

∴4α+2β+γ=180°

．

在△ABM中，β=α+γ，

∴4α+2β+（β-α）=180°

即3（α+β）=180°

∴α+β=60°

，故∠MAC=60°

练习1

1．如图1-2，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°

，则∠DEC等于（）．

A．7．5°

B．10°

C．12.5°

D．18°

1-2

2．如图1-3，AA′、BB′分别是△ABC的外角∠EAB和∠CBD的平分线，且AA′=AB=B′B，A′、B、C在一直线上，则∠ACB的度数是多少？

1-3

3．如图1-4，等腰三角形ABC中，AB=BC，∠A=20°

．D是AB边上的点，且AD=BC，连结CD，则∠BDC=________．

1-4

例2如图1-5，D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点，BD的垂直平分线HE交AC延长线于点E，那么CE与AD相等吗？

试说明理由．

分析要说明似乎没有任何关系的两条线段相等，往往需要做一些工作，如添加辅助线，构造全等三角形等，从而达到解决问题的目的．

延长AD到F，使AF=EF，

1-5

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠A=60°

∴△AEF是等边三角形．

∴EA=EF，∠AEF=∠A=60°

又∵EH垂直平分BD，

∴EB=ED，∠EBD=∠EDB．

∴△EAD≌△EFB．

∴AD=BF．

又∵BF=AF-AB=AE-AC=CE，

∴AD=CE．

练习2

1．已知如图1-6，在△ABC中，AB=CD，D是AB上一点，DE⊥BC，E为垂足，ED的延长线交CA的延长线于点F，判断AD与AF相等吗？

1-61-71-8

2．如图1-7，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°

，点D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°

，则BD与BA的大小关系是（）

A．BD>

BAB．BD<

BAC．BD=BAD．无法确定

3．已知：

如图1-8，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？

为什么？

例3已知：

如图1-9，△ABD和△BEC均为等边三角形，M、N分别为AE和DC的中点，那么△BMN是等边三角形吗？

说明理由．

1-9

分析要说明一个三角形是等边三角形，只要能够证明这个三角形满足“三条边相等或三个角相等或一个角是60°

的等腰三角形”即可．本题只需利用三角形全等证得BM=BN，且∠MBN=60°

即可．

在△ABE和△DBC中，

∵∠ABE=60°

+∠DBE，∠DBC=60°

+∠DBE，

∴∠ABE=∠DBC．

∵AB=BD，BE=EC．

∴△ABE≌△DBC．

∴AE=DC，∠MEB=∠NCB．

又∵M、N分别是AE和DC的中点，

∴ME=NC，又△BEC为等边三角形，

∴BE=BC．

∴△MBE≌△NBC，BM=BN．

∴∠MBN=∠MBE-∠NBE=∠NBC-∠NBE=60°

∴△BMN为等边三角形．

练习3

1．已知：

如图1-10，在等边三角形ABC中，BD=CE=AF，AD与BE交于G，BE与CF交于H，CF与AD交于K，试判断△GHK的形状．

1-10

2．已知：

如图1-11，△ABC是等边三角形，E是AC延长线上的任意一点，选择一点D，使△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，那么△CMN是等边三角形吗？

1-11

如图1-12，等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使AD=AE，作等边三角形PCD、QAE和RAB，则以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形，请说明理由．

1-12

例4已知：

如图1-13，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=100°

，∠ABC的平分线交AC于E，试比较AE+BE与BC的大小？

分析说明一条线段的长是否等于其他两条线段长的和，常常采用截取等长线段的方法，将那些本来没有关系的线段放在条线段上，这样可迎刃而解．

在BC上截取BF=BE，BD=BA，连结FE、DE，

∵AB=AC，∠A=100°

，∴∠ABC=∠C=40°

，又BE平分∠ABC，

∴∠1=∠2=

∠ABC=20°

1-13

∵BF=BE，∴∠BEF=∠5=80°

在△BAE和△BDE中，

BA=BD，∠1=∠2，BE=BE．

∴△BAE≌△BDE．

∴AE=DE，∠3=∠A=100°

∴∠4=180°

-∠3=180°

∴∠4=∠5，DE=FE，AE=FE．

又∠6=∠5-∠C=80°

-40°

=40°

∴∠6=∠C，∴FE=FC．

故AE+BE=FC+BF=BC．

练习4

1．如图1-14，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F，那么PD+PE与CF相等吗？

1-14

如图1-15，△ABC和△ADE都是等边三角形．B、C、D在一条直线上，说明CE与AC+CD相等的理由．

1-15

如图1-16，△ABC是等边三角形，延长AC到D，以BD为一边作等边三角形BDE，连结AE，则AD_______AE+AB．（填“>

”或“＝”或“<

”）

1-16

例5已知：

如图1-17，△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=AB，那么CE是CD的几分之几？

分析延长线段到倍长，再证明三角形全等，往往是说明线段倍分关系的重要途径和必要手段．

延长CE到F，使EF=CE，连结BF，CE是AB的中线，∴AE=EB．

又∠FEB=∠AEC，

1-17

∴△EBF≌△EAC，∴∠EBF=∠A．

BF=AC=BD．

在△FBC和△DBC中，

FB=BD，BC=BC．

∴∠FBC=∠FBE+∠EBC．

=∠A+∠ACB．

∠DBC=∠A+∠ACB．

∴∠FBC=∠DBC．

∴△BCF≌△BCD．

∴CF=CD=2CE，故CE=

CD．

练习5

1．如图1-18，D、E分别是等边三角形ABC两边BC、AC上的点，且AE=CD，连结BE、AD交于点P．过B作BQ⊥AD于Q，请说明BP是PQ的2倍．

1-18

2．如图1-19，在△ABC中，∠BAC=90°

，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，那么CE是BD的几分之几？

1-19

如图1-20，在△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于H，且AE=BE，那么AH是BD的________倍．

1-20

答案:

练习1

1．解：

设∠DEC=x，

∵AD=AE，

∴∠ADE=∠AED．

∴x=∠AEC-∠ADE=（∠B+30°

）-∠ADE=（∠B+30°

）-（∠C+x）

∵AB=AC，∴∠B=∠C

∴2x=30°

，x=15°

，故选C．

2．解：

∵AB=BB′，

∴∠BAB′=∠BB′A，∠B′BD=∠BAB′+∠BB′A=2∠BAB′．

又∠CBB′=∠DBB′，

∴∠ACB=∠CBB′+∠CB′B=3∠CAB．

设∠CAB=x，∴∠ACB=3x，∠CBD=4x，又AA′=AB，

∴∠A′=∠ABA′=∠CBD=4x．

∵AA′平分∠EAB．

∴∠A′AB=

（180°

-x）．

又∠A′AB=180°

-（∠A′+∠ABA′）=180°

-8x

∴

-x）=180°

-8x．

∴x=12°

，故∠ACB=36°

3．解：

如图，作△AED≌△BAC，连结EC．

则∠AED=∠BAC=20°

∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°

∴∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°

-20°

=60°

又∵AB=AE=AC，

∴△ACE是正三角形，AE=EC=ED．

∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°

∴∠EDC=

-∠DEC）=70°

∴∠BDC=180°

-（∠ADE+∠EDC）=30°

练习2

1．解：

∵AB=AC，∴∠B=∠C．

∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠FEC=90°

在Rt△DEB与Rt△FEC中，

∵∠B=∠C，∴∠BDE=∠F．

∵∠FDA=∠BDE，

∴∠FDA=∠F，故AD=AF．

以AD为边在△ADB内作等边△ADE，连结BE．

则∠1=∠2=∠3=60°

∴AE=ED=AD．

∵∠DAC=15°

∴∠EAB=90°

-∠1-∠DAC=15°

∴∠DAC=∠EAB．

又∵DA=AE，AB=AC，

∴△EAB≌△DAC．

∴∠EBA=∠DCA=15°

∴∠BEA=180°

-∠EBA-∠EAB=150°

∵∠BED=360°

-∠BEA-∠AED=150°

∴∠BEA=∠BED．

又∵EB=EB，AE=ED．

∴△BEA≌△BED，∴BD=BA．

故选择C．

延长AD到G，使DG=AD，连结BG，

∵BD=DC，∠BDG=∠CDA，AD=DG，

∴△ADC≌△BDE．

∴AC=BG，∠G=∠EAF，

又∵BE=AC，∴BE=BG．

∴∠G=∠BED，而∠BED=∠AEF，

∴∠AEF=∠AFE，故FA=FE．

练习3

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=CA

∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°

又∵BD=AF=CE，

∴△ABD≌△BCE≌△CAF．

∴∠1=∠2=∠3．

∴∠BAC-∠1=∠ABC-∠2=∠ACB-∠3．

即∠CAK=∠ABG=∠BCH．

又∵A