圆的标准方程教学设计Word下载.docx
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培养学生数形结合,由特殊到一般的数学思想;
加深对待定系数法的理解;
促进学生自主的、创造性的学习。
体验目标:
通过利用已学知识学会分析、解决问题,品尝成功的喜悦,增强学生学习数学的兴趣,并激发学生学习数学的自信心。
教学重点与难点
(1)重点:
圆的标准方程的求法及其应用.
(2)难点:
会根据不同的已知条件求圆的标准方程
教学过程
一、复习引入
1、课前复习填写学案(学案见附录)
教师设问:
求曲线方程的一般步骤
圆的定义
两点间的距离公式
学生回答问题,为圆的标准方程的推导作好准备。
2、创设情景引入新课
教师准备一圆拱模型和卡车模型,作卡车穿过拱桥的实验。
教师设问:
装有货物的卡车能否穿过拱桥与那些因素有关
学生通过观察,找到与圆拱有关,引入新课:
研究圆的方程
二、探究学习
(一)圆的标准方程
1、教师预设:
让学生画圆
学生活动:
学生各画一个圆并比较,让学生亲身感知决定圆的要素,说明圆心和半径确定一个圆;
2、教师预设:
学生画出以(2,3)为圆心,2为半径的圆;
圆确定了,圆的方
程也就确定了。
学生推导该圆的方程
教师在学生基础上梳理思路,强调建立方程的依据。
3、由特殊到一般,得出以(a,b)为圆心,半径为r的圆的标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2
教师引导学生观察方程,分析、归纳出方程的特征。
方程特征:
(1)二元二次方程,x,y的系数均为1;
(2)含有a,b,r三个参数;
(3)已知方程可以找出圆心和半径。
4、随堂练习
教师预设:
练习1找出下列圆的圆心和半径
(1)x2+(y+1)2=16
(2)(2x-2)2+(2y+4)2=4
(3)(x+1)2+(y+2)2=m2
学生练习,根据圆的方程找圆心和半径,完成后,学生作答。
教师据学生情况点评。
练习2写出下列各圆的方程
(1)、圆心在原点,半径为r
(2)、经过在点(5,1),圆心在点(8,-3)
学生完成练习并自评,初步体验求圆的标准方程,关键是找到圆心和半径。
(二)例题分析
教师预设:
在练习2基础上巩固提高,根据不同条件求圆的标准方程
例1写出圆心在点(1,3),且与x轴相切的圆的方程。
学生先独立思考,教师在作提示,强调数形结合的思想。
教师口头作简单变式,将X轴改为Y轴。
学生说出答案,再由特殊到一般。
变式:
求以C(1,3)为圆心,和3x-4y-7=0相切的圆。
学生独立完成变式,师作简要点评。
已知切线可求圆的方程,反之,已知圆的方程,如何来求切线的方程呢
例2已知圆的方程是x2+y2=25,求经过圆上一点M(3,4)的切线方程。
学生先独立思考,再和其他同学讨论,看能找出几种解法。
教师活动:
教师巡视,了解学生情况,参与到学生的讨论中。
教师请学生展示各自解法,并对学生的解法作出评价,从中提炼出渗透的数学思想和方法,如:
数形结合,待定系数等。
一题多变,改变点的位置,若点在坐标轴上。
变式1:
已知圆的方程是x2+y2=25,求经过圆上一点M(5,0)的切线方程。
学生活动:
作图直接写出切线的方程
教师预设:
由特殊到一般,根据以上两问启发学生分类讨论。
变式2:
已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程。
写出切线方程。
教师归纳分类讨论的依据。
若圆上的点改在圆外,切线有几条怎样求
变式3:
已知圆的方程是x2+y2=25,求经过圆外一点M(1,7)的切线方程。
变式4:
已知圆的方程是x2+y2=25,求经过圆外一点M(5,3)的切线方程。
思考问题
师强调,待定系数时注意斜率存在。
课后思考题:
解决本节引入提出的问题
三、小结:
1、掌握圆的标准方程
2、运用圆的标准方程解决一些简单问题
四、课堂练习
1、圆(2x-2)2+(2y-4)2=(-3)2的圆心为——————————,半径为———————————————.
2、圆心在x轴上且与y轴相切,半径为2的圆的标准方程为————————————
3、圆心为(1,2)且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为——————————————
4、由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=60°
,则动点P的轨迹方程是—————————————————
五、布置作业,学生整理消化
习题7、61、2、3、4
六、板书设计
圆的标准方程
一、复习
二、圆的标准方程例1例2
(x-a)2+(y-b)2=r2
C(a,b)圆心,r半径
附录:
《圆的标准方程》学案(学生用)
一、复习旧知识
1、求曲线方程的一般步骤——————————————————
2、圆的定义——————————————————
3、两点间的距离公式——————————————————
二、圆的标准方程是————————————,其中————————————
例题分析
例1、写出圆心在点(1,3),且与x轴相切的圆的方程
例2、已知圆的方程是x2+y2=25,求经过圆上一点M(3,4)的切线方程
变式1:
已知圆的方程是x2+y2=25,求经过圆上一点M(5,0)的切线方程。
已知圆的方程是x2+y2=25,求经过圆外一点M(x0,y0)的切线方程。
三、课堂检测
5、圆(2x-2)2+(2y-4)2=(-3)2的圆心为——————————,半径为———————————————.
6、圆心在x轴上且与y轴相切,半径为2的圆的标准方程为————————————
7、圆心为(1,2)且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为——————————————
8、由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=60°
课后研究
研究材料一:
《圆的标准方程》课堂实录
(一)复习旧知
师:
前面我们学习了方程的曲线和曲线的方程,同学们还记得求曲线方程的方法吗
生:
(沉默片刻,齐答)记得
哪几步
建系、设点
设哪个点
曲线上的任意一点
好!
第三步(示意学生继续回答)
找等量关系
第四步(话音刚落)
列式、化简
所得方程就是该曲线的方程。
(强调)坐标系是求曲线方程的基本工具。
(紧接着问)初中我们就学过了圆,圆是如何定义的
生回忆中
师用手比划画圆的动作提示
(答)到定点的距离等于定长的点的轨迹
(补充)或点的集合
师:
第三个问题:
两点间的距离公式又是怎样的
|P1P2|=(x1-x2)2+(y1-y2)2
师在学生回答的同时写出公式。
这些都是我们前面学过的知识,下面请同学们看一下我手里的这个模型。
(二)引入新课
师拿出一个类似圆拱型的桥洞模型和一个代替卡车的盒子,做卡车穿过圆拱的示范。
卡车上装有较高的货物,那么,卡车能穿过吗与那些因素有关
卡车的高和圆拱的高
卡车的货物可以临时调整,但拱桥是事先修建好的,所以最重要的是了解圆拱的高。
圆拱的高既是圆的——(等待学生的回答)
圆的直径。
那么本节课我们就来研究圆的方程(板书课题)(这里创设的情境与本节课的直接系不是很大!
未能体现出为什么要学习园的方程的必要性)
(三)探求圆的标准方程
1、让学生直观感知决定圆的要素
请同学们拿出草稿本,画上直角坐标系,取1厘米为单位长度。
然后,在你的坐标系中随心所欲的画上一个圆。
(师巡视学生画圆的情况)
同学们相互看一下,你们画的圆一样吗
不一样
(疑惑地)为什么会不一样呢
(个别学生)因为人不一样
(微笑地)对呀,人不同画的圆就有不同,有的在左边,有的在右边,有的在上面,有的在下面,还有的在中间,在坐标轴上,有的大,有的小,等等(语速较快)。
导致这些情况的根本原因是什么呢
圆心和半径
(高兴地)非常好!
圆心定位置,半径定大小
请同学们再画一个以(2,3)为圆心,2为半径的圆。
师待学生画好后
看一下,这次你们画出的圆一样吗
一样
因为
圆心和半径都确定了
2、推导圆的标准方程
由曲线的方程和方程的曲线的概念我们应该知道,既然这个圆已经确定了,那么,它的方程也是确定的,这个方程是什么呢请大家马上求该园的方程。
学生独自找探究求该圆的方程,师巡视了解学生情况。
待学生完成,请学生作答
学生甲:
(x-2)2+(y-3)2=4
师(追问):
怎么得到的
生口答推导过程,师将其板书在黑板上,并强调P(x,y)是圆上的任意一动点,用到了求曲线方程的基本步骤。
上面是特殊情况,若我将圆心(2,3)改为(a,b),半径2改为r,此时的方程又是什么呢
(x-a)2+(y-b)2=r2
该方程就称为圆的标准方程。
大家看一下这个方程有什么特征,能帮助我们理解和记忆
生思考
生1:
左边是平方和,右边是r的平方。
有点像勾股定理。
生2:
a,b是圆心的纵横坐标,r是圆的半径。
生3:
x,y是变量,a、b、r是常数。
大家观察的仔细,圆的方程确实有点相勾股定理的形式,但它并不是勾股定理。
它的实质是两点间的距离公式。
大家要明确方程中各个字母的含义。
可根据圆的定义和推导的方法来记忆,现在大家闭上眼睛默记一下它的形式与特征。
3、即学即练,熟悉圆的标准方程。
已
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