数列题型的解题技巧Word格式.docx
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探索性问题是高考的热点,常在数列解答题中出现。
本章中还蕴含着丰富的数学思想,在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化,常需构造数列模型,将现实问题转化为数学问题来解决.【例题解析】
考点1正确理解和运用数列的概念与通项公式
理解数列的概念,正确应用数列的定义,能够根据数列的前几项写出数列的通项公式.典型例题例1.在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间,某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第1堆只有1层,就一个球;
第2,3,4,堆最底层(第一层)分别按图4所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n堆第n层就放一个乒乓球,以f(n)表示第n堆的乒乓球总数,则f3_____;
f(n)_____(答案用
n表示).
分析:
从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是12,3,4,推测出第n层的球数。
解:
显然f310.
第n堆最低层(第一层)的乒乓球数,ana1a2annn1,第n堆的乒乓球数总数相
2
当于n堆乒乓球的低层数之和,即fna1a2an1(1222n2)1nn1.
所以:
f(n)
nn1n2
6
例2.将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图所示的0-1三角数表.从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数都为1的是第3行,,第n次全行的数都为1的是第行;
第61行中1的个数是.第1行11第2行101第3行1111第4行10001第5行110011
计算图形中相应1的数量的特征,然后寻找它们之间的规律。
第1次全行的数都为1的是第21=1行,第2次全行的数都为1的是第221=3行,第3次全行的数都为1的是第231=7行,·
·
,第n次全行的数都为1的是第2n1行;
第61行中1的个数是251=32.
应填2n1,32
考点2数列的递推关系式的理解与应用
在解答给出的递推关系式的数列问题时,要对其关系式进行适当的变形
,转化为常见的
类型进行解题。
如“逐差法”若anan1n,且a11;
我们可把各个差列出来进行求和,可得到数列an的通项.
ananan1an1an2a2a1a1nn121
nn1
.2
再看“逐商法”即an1n1且a11,可把各个商列出来求积。
an
anan1a2a1nn1n221n!
an1an2a1
另外可以变形转化为等差数列与等比数列,利用等差数列与等比数列的性质解决问题。
例3.数列an中,a12,an1ancn(c是常数,n1,,且a1,a2,a3成公比不为12,3,)的等比数列.
(I)求c的值;
(II)求an的通项公式.
(1)由a1,a2,a3成公比不为1的等比数列列方程求c;
(2)可根据递推公式写出数列的前几项,然后分析每一项与该项的序号之间的关系,归纳
概括出an与n之间的一般规律,从而作出猜想,写出满足前4项的该数列的一个通项公式.解:
(I)a12,a22c,a323c,
因为a1,a2,a3成等比数列,所以(2c)22(23c),解得c0或c2.当c0时,a1a2a3,不符合题意舍去,故c2.(II)当n≥2时,由于a2a1c,a3a22c,
,anan1(n1)c,
所以ana1[12(n1)]cn(n1)c.
又a12,c2,故an2n(n1)n2n2(n2,3,).当n1时,上式也成立,所以ann2n2(n1,2,).
小结:
从特殊的事例,通过分析、归纳、抽象总结出一般规律,再进行科学地证明,这是创新意识的具体体现,这种探索问题的方法,在解数列的有关问题中经常用到,应引起足够的重视.
例4.已知数列某n满足某2某1,某n1某n1某n2,n3,4,.若lim某n2,则(B)
n
(A)3(B)3(C)4(D)5
思路启迪:
对递推关系变形,运用叠加法求得,特别注意的是对两边同时运用.解答过程:
2某n某n1某n1,某n某n1某n2某n.
某4某3某2某4
相叠加某n某2某1某2某n某n1.
某n1某n2某n3某n1
某n某n1某n2某n某2
某1,2某n某n
某3某2某1某3
.2某1
lim2某n某n1lim2某1,lim某n2,2某16,某13.
解答过程2:
由某n1某n1某n2得:
111
某n+某n1某n1某n2某2某1某1,
222
1某n2.lim某n某n1某1,因为limnn2
某13.
解答过程3:
某n某n1某n1某n2某n2某n3
3
2n2
某2某1
2某1.
n1
某1,
从而某3某21某1;
某某1某;
;
某某1
nn1431222
12131.叠加得:
某n某2某1
11
某n某2某11
622
n2
11,lim某nlim某2某11.
nn62
某11,从而
某13.某1
26
数列递推关系是近几年高高数学的热点,主要是一些能转化为等差等比数列的递推关
系式。
对连续两项递推ankan-1dn2,k1,可转化为
dd;
对连续三项递推的关系a
kan1n11k1k
kandan-1n2
如果方程某2k某d=0有两个根、,则上递推关系式可化为
an1ananan1或an1ananan1.
考点3数列的通项an与前n项和Sn之间的关系与应用
S1n=1,数列前n项和S和通项a是数列中两个重要的量,在an与Sn的关系:
annn
SnSn1n2
运用它们的关系式anSnSn1时,一定要注意条件n2,求通项时一定要验证a1是否适合。
解决含an与Sn的式子问题时,通常转化为只含an或者转化为只Sn的式子.
例5.在等比数列an中,a12,前n项和为Sn,若数列an1也是等比数列,则Sn等于()(A)2n12(B)3n(C)2n(D)3n1
点评:
本题考查了等比数列的定义和求和公式,着重考查了运算能力。
过程指引因数列an为等比,则an2qn1,因数列an1也是等比数列,则
(an11)2(an1)(an21)an122an1anan2anan2anan22an1an(1q22q)0q1
即an2,所以Sn2n,故选择答案C.
例6.已知在正项数列{an}中,Sn表示前n
项和且an1,求an.分析:
转化为只含an或者只含Sn的递推关系式.
解1
:
由已知an1,得当n=1时,a1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1
,代入已知有SnSn1
1,Sn1Sn1.
Sn1
1,又an0,Sn
Sn11.
1,
是以1为首项,1为公差的等差数列,
n故an2n1.
解2
当n≥2时因为San1,所以aan1an11.
nn222
22
,a24anan2ana2n12an1n2anan12an10
anan1anan120,因为an0,
所以anan12,所以an2n1.
考点4等差、等比数列的概念与性质的理解与应用
在等差、等比数列中,已知五个元素a1,an,n,d或q,Sn中的任意三个,运用方程的思想,便可求出其余两个,即“知三求二”。
本着化多为少的原则,解题时需抓住首项a1和公差(或公比q)。
另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如
(1)等差数列an中,若mnpq,则amanapaq;
等比数列an中,若
mnpq,则amanapaq.
(2)等差数列an中,Sn,S2nSn,S3nS2n,SknSkn1,成等差数列。
其中Sn是等差数列的前n项和;
等比数列an中(q1),S,SSn3Sn2,SnkS,nn2S,n是等比数列的前n项和;
(3)在等差数列an中,项数n成等差的项an也称等差数列.(4)在等差数列an中,S2n12n1an;
S2nnanan1.
在复习时,要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思
想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.典型例题
例8.在数列{an}中,a1=2,an+1=an
kn1
其中Sn成等比数列。
(2)2n(nN),其中>0,则a2022=()
A.2022
2022
22022B.200720072200722007D.2007202222022
C.2022
2007
考查等差数列的性质。
解析:
由an+1=an
(2)2n可得
an1
an2n2na2
()1所以数列{()}()n1n-nn
为等差数列,且公差为1,首项为0,则
a2022
()202220221,则a20222007202222022,故选D
例9.某国采用养老储备金制度,公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>
0),因此,历年所交纳的储备金数目a1,a2,是一个公差为d的等差数列.与此同时,国家给予优惠的计息政府,不仅采用固定利率,而且计算复利.这就是说,如果固定年利率为r(r>
0),那么,在第n年末,第一年所交纳的储备
--
金就变为a1(1+r)n1,第二年所交纳的储备金就变成a2(1+r)n2,.以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.
(Ⅰ)写出Tn与Tn-1(n≥2)的递推关
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