完整版圆的一般方程教案正式文档格式.docx
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三、情感目标:
(1)培养学生勇于探索的精神。
(2)渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质。
•教学重点
圆的一般方程的代数特征、一般方程与标准方程的互化、待定系数法求圆的一般方程的步骤
•教学难点
圆的一般方程和代入法的掌握、应用
•教学方法
师生合作式探究诱导启发式教学
•教学辅助
多媒体教学平台CAI课件
(3分钟)(22分钟)(16分钟)(3分钟)(1分钟)
•教学过程与时间分配
一、复习提问,引入课题
二、探索研究,讲授新课
三、例题讲解,对应练习
四、课堂小结,反馈回授
五、分层作业,巩固提高
问题:
求过三点(0,0),(1.1),(4,2)的圆的方程?
【师生互动】学生在教师指导下展开小组讨论,回顾旧知识,最后得出运用圆的知识很难解决问题。
因为圆的标准方程很麻烦,用直线的知识解决又有其简单的局限性。
于是老师提问,有没有其他的解决方法呢?
带着这个问题我们共同研究圆的一般方程。
【辅助手段】:
多媒体课件幻灯片展示问题。
请同学们写出圆的标准方程:
222、,
(xa)(yb)r、圆心(a,b)、半径r
⑴以复习回顾的形式提出新难题,引出新课程,指出本节课的主要内容•
⑵质疑提问,小组讨论,提高了学生学习的兴趣.
这个方程就是圆的方程•
反过来给出一个形如xy2DxEyF0的方程,它表
示的曲线一定是圆吗?
把x2y2DxEyF0配方得:
222
Do.E2DE4F
(x—)(y)
4
【师生互动】配方和展开由学生完成,教师最后展示结果。
这个方程是不是表示圆?
⑴当D2E24F2>
0时,方程表示以(-D,-)为圆心,以
⑴学生动笔、思考,老师引导、启发,让学生学会独立分析问题,解决问题,初步体会数学的魅力•⑵引导学生自己探索寻找圆的一般方程在什么时候表示圆,形成分类讨论、等价转化等数学思想,培养学生思维的多样性、创造性,体验成功解决问题的喜悦•
⑶通过对一个方程的讨论,得出圆的一般方程,并指出不是所有的方程都可以表示圆。
使得学生的认识不断加深,同时
22
教学基本内容
设计意图
⑵当D2E24F2=0时,方程只有实数解xD,y-
即只表示个点(—,—).
⑶当D2E24F2<
0时,方程没有实数解,因此它不表示任
何图形•
【师生互动】学生在教师的引导下对方程分类讨论,最后师
生共同总结出3种情况,即圆的一般方程表示圆的条件。
【归纳总结】圆的一般方程的特点:
⑴①x2和y2的系数相同,都等于1。
②没有xy这样的二次项。
⑵圆的一般方程中有三个特定的系数D—F,因此只要求
出这三个系数,就能确定圆的一般方程。
⑶圆的一般方程是一种特殊的二元一次方程,代数特征明
显,圆的标准方程则是几何特征明显。
【师生互动】学生小组讨论交流,老师进行课堂巡视指导,
引导学生归纳。
最后师生共同总结出圆的一般方程的特点。
【辅助手段】板书配方和展开过程,多媒体课件幻灯片展示
三、例题讲解,对应练习
例1判断下列二元一次方程是否表示圆的方程?
如果是,请
求出圆的圆心及半径。
⑴4x4y4x12y90
(2)4x4y4x12y110
分析:
方法1利用配方法将其化为圆的标准形式•
方法2应用圆的一般方程来解,这里D=-1,E=3,F=9.
例2求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程,并求这个
圆的半径长和圆心坐标。
根据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的
培养思维的严谨性.
⑴归纳知识,有利于学生理清知识脉络•⑵强调的概念的本质,让学生理解记忆圆的一般方程的代数特征•
⑶深化学生对圆的一般方程的理解.
⑴同步练习,检测学生的掌握情况,及时回授,强化知识点的应用.
⑵加深对所学知识的理解应用,使学生掌握基础知识,有利于学生更咼思维能力的培养.
一般方程则只需确定三个系数,而条件给出了三个坐标,不妨试着先写出圆的一般方程。
【教师讲解】设圆的方程为x2y2DxEyF0
TA(0,0),B(1,1),C(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程
⑴进一步熟悉圆的一般方程•
⑵通过本题的练习,使学生掌握待定系数法求解圆的一般方程的步骤.
的解,代入方程得到:
F0
DEF20即D=-8E=6F=O
4D2EF200
所求的方程为x2y28x6y0
r1~E"
~=5、D=4、E=-3
•圆心坐标为(4,-3)
或将x2y2DxEyF0化为圆的标准方程:
(x4)2(y3)225
⑴总结题目方法,提炼出解决一般问题的方法,形成类型题的方法•
⑵强调方法的本质,加深学生对方法的理解应用.
【归纳总结】应用待定系数法的一般步骤
⑴根据条件,选择是标准方程还是一般方程。
⑵根据条件列出关于a、b、r或DE、F的方程组。
⑶解出a、b、r或DE、F并将其代入其相关方程。
例3已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆上(x1)2y24运动,求线段AB的中点M的轨迹方程。
如图点A运动引起M运动,而点A在圆上运动点A的坐标满足方程(x1)2y24,建立点M与点A的关系,
M的方程。
【教师讲解】:
设点M的坐标是(x,y),点A的坐标是(x0,y0),
由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点,所以有:
xo4yo4
⑴进一步熟悉圆的
x—,y——
一般方程•
于是有x02x4,y02y3
⑵掌握运用代入法
因为点A在圆(x1)2y24上运动,所以点A的坐标满
求解曲线的轨迹方
足方程(x1)2y24
程的步骤.
⑶培养学生运用知
即(X。
1)yo4
识的能力.
把①代入②,得:
(2x41)(2y3)4
整理,得:
3232
(x2)(y才1
所以,点M的轨迹是以(3,色)为圆心,半径是1的圆.
【归纳总结】运用代入法求轨迹方程的步骤
⑴总结归纳,把方法
⑴建立适当的坐标系,用有序数对(x,y)表示曲线上任意一
系统化,形成能力.
点M的坐标.
⑵写出适合条件的点M的集合.
⑶列出方程f(x,y)0.
⑴让学生熟悉巩固
⑷化方程f(x,y)0为最简形式.
知识,运用方法,另
【课堂练习】
外还可让学生上台
1求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长
演习各自解题过程.
⑴x2y26x0⑵x2y22by0
这样既可及时反馈
(3)x2y22ax^5ay3a20
学生知识的掌握情
2判断下列方程分别表示什么图形
况,又可以纠正学生
在解题过程中出现
⑴xy0⑵xy2x4y60
的各种问题,如方法
⑶x2y22axb20
错误、书写不规范等
3如图,等腰梯形ABCD的底边长分别为6和4,高为3,
问题•
求这个等腰梯形的外接圆的方程,并求出圆心坐标和半径•
⑵进一步巩固代入
[提示:
待定系数法的应用.nvI
法等数学方法,提高
学生的思维能力和
运用知识解答问题
L(L__.
的能力.
且0/Bx
【师生互动】⑴第一二题练习课让学生通过抢答的形式进行.
⑵第三题练习是待定系数法方法的运用,教师
可叫几个同学上黑板进行板演,教师适当点
评,最后教师讲解解题过程.
⑴有利于学生理清
【辅助手段】多媒体课件幻灯片展示,学生自练或板演,教
本节课的重难点,深
师讲评解题过程.
化对圆的一般方程
四、课堂小结,反馈回授
的理解,帮助学生从
1、对方程x2y2DxEyF0的讨论和圆的一般方程的
感性认识上升为理
代数特征理解•
性认识.
⑵有利于学生把知
2、圆的一般方程和标准方程的互化.
识转化为能力,形成
3、待定系数法求解圆的一般方程.
数学方法和数学思
4、代入法求解曲线的轨迹方程.
维
五、分层作业,巩固提高
⑶启发引导学生进
必做题:
教材134页3、4
行归纳整理,培养学
选做题:
生宏观掌握知识的
1
1.已知点M与两个定点0(0,0)、A(3,0)的距离的比为—,求
2
能力.
点M的轨迹方程。
【辅助手段】多媒体课件幻灯片展示作业
⑴必做题与选做题
相结合,面向全体学
生,激发学生兴趣.
六、板书设计
标准方程的展开
例1
例3
一般方程的配方
例2
课堂小结
一般方程什么时候表
示圆的讨论
课后作业
4.
1-2圆的一般方程
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