排列组合专题方法归纳Word格式.docx

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解决排列组合综合性问题的一般过程如下

1.认真审题弄清要做什么事

2.怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合优序）问题,元素总数是多少及取出多少个元素

4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略

1.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,123,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数

位B分析进和元素分析法是網央排列S合问题最常用也是最基本的方注若以元素分析为主，零頑排特味元素J再处理其它元義若以位E分励£

需先荷足特殊位S的S求」再处理其它位环若有聂个约束兼件，往往是考慮一个约束条件的同时还S兼顾亘它条件

练习题:

7种不同的花种在排成一列的花盆里

若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不

同的种法?

2.相邻元素捆绑策略例2.7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法.

S求某几个元素必须排在一起的问範可以用捆绑进来解决问题.即将需S相邻的元素含并为一个元惹再与其它元素一起作排列同时要注倉合并元素內却也矽财洌.

练习题：

某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为

3.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种?

元素相宫冋题可先把没有位SS求的元素进行扌非队再把不相邻元素S人中间和两

•如果将这两个新节目

某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目

插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为

四•定序问题倍缩空位插入策略

五•重排问题求幕策略

定序问题可以■用倍缩法「还可转化为占位K

允许重复的排列问趣的特点是決元素対研究对象，元素不受位S的约束，可決逐一安排昔个元素的as,=般地n不同的元素没有眼制地安排在m个位»

上的排別数为潮竽中

•如果将这两个节目插入原

1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目

节目单中，那么不同插法的种数为

2.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人，他们到各自的一层下电梯，下电梯的方法

六.环排问题线排策略例6.8人围桌而坐，共有多少种坐法？

一般地』个不同元素作圆形排列尹有AM种卅法如果从n个不同元素中取岀m个元素作圓

6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈

七.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法

一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑:

再井段研

有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐,

并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是

八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少不同的装法.

解決排列组合混合问题洗选后排是最基本的指导思想一此法与相邻元素捆绑策略相似吗7

一个班有6名战士，其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务，每人完成一种任务，且正

副班长有且只有1人参加，则不同的选法有

九•小集团问题先整体后局部策略

1,5在两个奇数之间，这样的五位数有多少

例9.用123,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹

个？

小集团排列问题中，先整体后局却，再结合其它策略进行处理。

1.计划展出

10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的必须连在一

起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为

2.5男生和5女生站成一排照像，男生相邻，女生也相邻的排法有种

十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案?

将口个相同的元素井成m份m为匝整数、海份至少一个元素，可以.用m-l块隔板,

插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有井法数为C二】

1.10个相同的球装5个盒中，每盒至少一有多少装法?

2.Xyzw100求这个方程组的自然数解的组数

卜一.正难则反总体淘汰策略

例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数，不同的

取法有多少种?

有些排列组合问题正面直接考JS比较复杂•而它的反面往往比较简捷何以先求出它的反®

再从整体中淘汰-

我们班里有43位同学，从中任抽5人，正、畐®

长、团支部书记至少有一人在内的

抽法有多少种？

十二•平均分组问题除法策略例12.6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少分法?

平均分成的组不管它们的顺瘁如何盅是一种情况府以淫且后要一定S除臥盅5为均井的组数〕®

免重S计数，

1将13个球队分成3组一组5个队，其它两组4个队,有多少分法？

（

2.10名学生分成3组，其中一组4人，另两组3人但正副班长不能分在同一组，有多少种不同的

分组方法（）

排2名，则不同的安排方案种数为

十三.合理分类与分步策略

例13.在一次演唱会上共10名演员，其中8人能能唱歌,5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目，

有多少选派方法

解含有约朿条件的S莎U组合问题，可按元素的性贡进行分类，按事件岌生的连续过程分步，做到标准明确。

分步层次清楚』不重不分类标准一B确定要贯雰于解題过程的始纵

法共有

2.3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人，2号船最多乘2人,3号船只能乘1人，他们任选2只船或3只船,

但小孩不能单独乘一只船，这3人共有多少乘船方法.（）

本题还有如下分类标准:

*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准

*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准

*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准

都可经得到正确结果

十四.构造模型策略例14.马路上有编号为1,234,5,6,7,8,9的九只路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不

能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种?

—些不易理解的排列组合题如果能转化为m潇龜悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决

120）

某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？

十五.实际操作穷举策略

例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子，现将5个球投入这五个盒子内，要求每个盒子

对于条件比技复杂的朋輕含问题「不易用公式曲亍运亀aa刊用穷举法或画出树状®

会收到急®

不到的结果

1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来撚后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方

式有多少种？

（）

2.给图中区域涂色，要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色，则不同的着色方法有种

卜六.分解与合成策略例16.30030能被多少个不同的偶数整除

练习：

正方体的8个顶点可连成多少对异面直线

分解与合成茉踣是排列组合问题的一种最基本的解题策略，把一个复杂冋題分解成几个小冋题后依据冋题分解后的结掏•用分类计数惊理和舒步计数原理将冋题合成「，丛而得到问題的答案，每个比较复杂的问題部要ffl到这种解题策略

十七.化归策略

例17.25人排成5X5方阵，现从中选3人，要求3人不在同一行也不在同一列，不同的选法有多少种?

处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简赛的问題,通过解决这个简要的问题的解决找到解题方去从而进下一歩解决原来的问题

A走到B的最短路径有多少种?

某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从

十八.数字排序问题查字典策略

例18.由0,1,2,3,4,5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数?

数字排序冋a可用查字典法，查字ft的法应从高位向低位查，依次求出其符合g求的个轨ffiS分类计数原S求出茸煩數.

练习:

用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数，将这些数字从小到大排列起来，第71个数是

十九•树图策略例19.人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过次传求后，球仍回到甲的手中，则不同的传球方式有

对于条件比较复杂的抖沥购合冋题，不易用

公式进行运树團会收到倉想不到的结果

二十.复杂分类问题表格策略

例20.有红、黄、兰色的球各

5只，分别标有A、B、C、D、E五个字母，现从中取5只,要求各字母均有且三

色齐备，则共有多少种不同的取法

—些复杂的分类迭取题棗満足的条件比较魏无从入手，经常出现重复遗

馮的情况佣表格法则分类明确第保证题中须满足的禁件涓挞到好的敕

完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第

1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。

.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,123,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数

解:

由于未位和首位有特殊要求,应该优先安排以免不合要求的元素占了这两个位麗

先排末位共有

然后排莒位共有C；

最后排其它位S共有£

由分步计数原理得=288

位星分析法和元素分析法是輕决排列组合冋题最常用也是最基本的方注若以元素分析为主,需先安排特殊元素，再处理其它元素+若以位S分析为主，需先再足特殊位S的要求,再处理其它位S.若有梦个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

二.相邻元素捆