文科数学专题不等式选学案高考二轮复习资料含答案Word文档格式.docx
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0)的不等式,利用绝对值的几何意义求解更直观.
3.|f(x)|>
g(x),|f(x)|<
g(x)(g(x)>
(1)1f(x)|>
g(x)?
f(x)>
g(x)或f(x)<
—g(x).
(2)|f(x)|<
g(x)?
—g(x)<
f(x)<
g(x).
二、不等式的证明
1.证明不等式的常用结论
(1)绝对值的三角不等式
定理1:
若a,b为实数,则|a+b|w|a|+|b|,当且仅当ab>
0,等号成立.
定理2:
设a,b,c为实数,则|a—c|w|a—b|+|b—c|,当且仅当(a—b)(b—c)>
0时,等号成立.
推论1:
||a|-1b||w|a+b|.
推论2:
||a|-1b||<
|a-b|.
a+b+c3j—
(2)三个正数的算术一几何平均不等式:
如果a,b,c€那么—3—》.abc,当且仅当a=b=c
时等号成立•
(3)
基本不等式(基本不等式的推广):
对于n个正数ai,a2,…,an,它们的算术平均值不小于它们的
(4)一般形式的柯西不等式
设ai,a2,a3,…,an,bi,b2,b3,…,b是实数,则(a2+a2+・・・+a?
)•(b+b2+…+b2)》(aib+a2b+…+anbn)2,并且仅当b=0(i=i,2,…,n)或存在一个数k,使得a—kb(i=i,2,…,n)时,等号成立.
2.证明不等式的常用方法
⑴比较法
一般步骤:
作差一变形一判断一结论•为了判断作差后的符号,有时要把这个差变形为一个常数,或者
变形为一个常数与一个或几个平方和的形式,也可变形为几个因式的积的形式,以判断其正负
(2)综合法
利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质,推导出所要证明的不等式,这种方法叫综合法•即“由
因导果”的方法•
(3)分析法
证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题,如果能够肯定这些充分条件都已经具备,那么就可以判定原不等式成立,这种方法叫作分析法•即“执果索因”的方法•
(4)反证法和放缩法
1先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行
正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不
正确,从而证明原命题成立,这种方法叫作反证法
2证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的,这种方法叫作放缩法
考点一解绝对值不等式
例1.【2017课标3,文23】已知函数f(x)=|x+1I-|x-2|.
(1)求不等式f(x)Al的解集;
(2)若不等式f(x)aX2-x+m的解集非空,求实数m的取值范围.
5
【答案】
(1)[1,•二);
(2)
4
【解析】
7,兀<
-1
(1)/(x)={2x-l-l<
x<
2,
3丸>
2
当x<
-L时,川刃王1无解'
当一1<
3c<
2B寸,由2x-l>
l,BWl<
2^
当xa2日寸,由f{x}>
1解得艾>
2、
所以/(刃工1的解集为网注
(2)由/(jc)>
jc2—x+jm|x+l|—|x—2|—x2+x,而
|x+1|-|x—2|—x^+x^.|x+1+x|—2+|jc^-1
3丫5^52丿44
15
且当无=_时>
|x+l|—|x—2|—x2+x=—.
丄4
故朋的取值范围为(a,专■
【变式探究】【2016高考新课标1卷】
(本小题满分10分),选修4—5:
不等式选讲
已知函数f(x)=|x+1—2x-3.
(I)在答题卡第(24)题图中画出y二fx的图像;
(II)求不等式f(X$:
>1的解集
【解析】⑴如團所示:
|/(X)|>
13当JC^-lt|x-4|>
l得工>
5或JC<
3Ai^-1
当-Kx<
^3^-2|>
1M得或耳召
JU—J
\-l<
X<
-<
-
32
33
>
1解得jcA予或j:
<
3「・一WjcV3或jcaS
综±
ax<
l或Xx<
3或工》5“『(工)卜匚解集为卜巧ju(l,3)U®
+®
)
(2015•重庆,16)若函数f(x)=|x+1|+2|x—a|的最小值为5,则实数a=.
【答案】4或—6
3【解析】由绝对值的性质知f(x)的最小值在x=—1或x=a时取得,若f(—1)=2|—1—a|=5,a=?
或a=—£
经检验均不合适;
若f(a)=5,则|x+1|=5,a=4或a=—6,经检验合题意,因此a=4或a
【变式探究】不等式|x—1|+|x+2|>
5的解集为.
【答案】{x|xw—3或x>
2}
【解析]原不等式等价于*
-(x-1)+〔兀+2〉>
或"
-2<
l>
一(J-1)+(x+2)>
解得也或x<
-3.
故原不等式的解集为仗眶-3或x>
2}.
考点二不等式的证明
(1)(a•b)(a•b5)_4;
(1)证明略;
⑵证明略。
解:
1ab
6■5.5.6
=a-ababb
-b3
=4■aba—b
_4.
■3aba■b
3q
(2)因为aba
丄2丄2丄3
■3ab3abb=2
【变式探究】
(H)证明:
当a,b三M时,|a•b|:
:
|1■ab|.
(I)M={x|_1:
x:
1};
(n)详见解析
L,--<
-,22
2xrx>
—.
-|时,由/W<
2得-2XV2*解得x>
-l;
㊁时,/(x)<
25
jL
^~2<
当时,由/(x>
2得2工<
Z薛得x<
l.j£
e
所的解集{工|-1<
U
(n>
由(I)知,当口上寸,一1<
口<
匕一1<
台<
1,
从而3+时—(1+曲尸=a2+沪—/沪—1=(a1-1X1-61)<
0,
因此|<
J+&
|<
|l+£
Zfr|.
(2015新课标全国II,24〕设乐认叭川均为正数,且a+b^c+d,证明:
(1)®
ab>
cdf则込+质〉证+雷;
⑵^+切〉还+屣旧—力|<
丄一创的充要条件.
证明
(1)因为(谄+边卩二卄血+2皈,(yfc+\ldfi—c+d+l^cd,
由题设a+b—c-^d,ab〉ad曙(區+'
励>
('
运+'
厨一因此&
+筋>
込+血
⑵®
若皿一劲<
0-亦
则(a-£
y<
(c-dpf
即(狂+方尸—4^<
£
+莎_4也
因为a+b—c+df所ab>
cd.
由
(1)得,a+,b>
c+,d.
②若寸a+、.jb>
ijC+“Jd,则(a+b)2>
(c+d)2,即a+b+2寸ab>
c+d+2寸cd.
因为a+b=c+d,所以ab>
cd,于是
2222
(a—b)=(a+b)—4abv(c+d)—4cd=(c-d).
因此|a—b|v|c—d|.
综上,冒a+Jb>
Jc+*'
d是|a—b|v|c—d|的充要条件.
【变式探究】已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M{0,1,2,…,q—1},集合A={x|x=xi+X2q+…+xnqn—1,Xi€M,i=1,2,…,n}.
(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A
(2)设s,t€A,s=a1+a2q+…+anqn—1,t=b+bq+…+bnqn—1,其中ai,bi€Mi=1,2,…,n.证明:
若an<
bn,贝Us<
t.
⑴解当孑二2,刃=弓时,血二{61},+疋€胚尸S2,3}.可得,(0,
b2f3,4,5,7}・
(2皿明由Sj疋厶s—oi+o2q+1,F拠+方璋+…+虬于一・,cn}创€触,1二1,2,n
及心守町可得』一(=(6-加)+(血一如…+(血1一乩1妙2+伽一鬧严啜9一1)+(?
-1沟+-..+(?
-功于T—于-丄=护1=-1<
所1X!
?
1.【2017课标1,文23】已知函数f(x)--x「ax4,g(x)=|x1|-|x-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)_g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)_g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.
_1“:
17
(1){x|-1:
:
x};
(2)[-1,1].
(1)当a=1时,不等式f(x)Kg(x)等价于x2—x+|x+1+|x—1—4兰0.①
当x—1时,①式化为x2-3x-4_0,无解;
当一1乞x<
1时,①式化为x2—X-2_0,从而T乞x乞1;
_1..:
■17
当x1时,①式化为x2•x-4乞0,从而1:
x冬.
所以fX_gX的解集为{XI_—:
X岂=}.
(2)当x•|-1,1]时,gx=2.
所以fx_gx的解集包含丨_1,1],等价于当x.丨_1,1]时fx_2.
又fx在|_1,1的最小值必为f_1与f1之一,所以f_1_2且f
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