正比例和反比例.doc
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中小学1对1课外辅导专家
武汉龙文教育学科辅导讲义
授课对象
授课教师
授课时间
2012-8-11
授课题目
正比例和反比例
课型
复习
使用教具
讲义纸笔
教学目标
1.使学生结合实际情境认识成正比例和反比例的量,能根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。
2.使学生初步认识正比例的图像是一条直线,能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的直线,能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。
教学重点和难点
教学重点:
根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。
教学难点:
根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。
教学流程及授课详案
知识梳理
一、比例的有关知识
1.比例的意义
①要点:
表示两个比相等的式子叫做比例。
②例题:
应用比例的意义判断6.4:
4和9.6:
6能否组成比例?
因为:
6.4:
4=6.4÷4=1.69.6:
6=9.6÷6=1.6
所以:
6.4:
4=9.6:
6
2.比例的基本性质
①要点:
组成比例的四个数,叫做比例的项。
两端的两项叫做比例的外项,中间的两项叫做比例的内项;在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。
这叫做比例的基本性质。
②例题:
3 :
8 = 18 :
483×48=8×18
内项
外项
例题:
运用比例的基本性质判断3.6:
1.8和0.5:
0.25能否组成比例?
因为3.6×0.25=0.91.8×0.5=0.9
所以3.6:
1.8=0.5:
0.25
例题:
从12的因数中任意选出4个数,再组成8个比例式。
因为:
12=1×12=2×6=3×4
所以从12的因数中任意选出两组4个数并运用比例的基本性质可以组成8个不同的比例。
2×6=3×4
(2)︰(3)=(4)︰(6)(3)︰
(2)=(6)︰(4)
(2)︰(4)=(3)︰(6)(3)︰(6)=
(2)︰(4)
(6)︰(4)=(3)︰
(2)(4)︰(6)=
(2)︰(3)
(6)︰(3)=(4)︰
(2)(4)︰
(2)=(6)︰(3)
3.解比例
①要点:
根据比例的基本性质,如果已知比例中的任意三项,就可以求出这个比例中的另一个未知项。
求比例的未知项,叫做解比例。
②例题:
3:
8=ⅹ:
40=
8ⅹ=3×404.5ⅹ=9×0.8
8ⅹ=1204.5ⅹ=7.2
ⅹ=15ⅹ=1.6
(4)比例尺
①要点:
图上距离和实际距离的比,叫做这幅图的比例尺。
比例尺=,比例尺有两种形式:
数值比例尺和线段比例尺。
②例题:
在一幅某乡农作物布局图上,20厘米表示实际距离16千米。
求这幅图的比例尺。
16千米=1600000厘米
=
例题:
说出下面比例尺表示的意思。
这是线段比例尺,它表示图上1厘米的距离代表实际距离200千米。
例题:
在一幅比例尺是1:
500000的地图上,量得甲、乙两城的距离是12.5厘米。
甲、乙两城实际相距多少千米?
方法1:
12.5×500000=6250000(厘米)=62.5(千米)
方法2:
2.5×5=62.5(千米)
方法3:
12.5÷=12.5×500000=6250000(厘米)=62.5千米
解:
设甲、乙两城实际相距ⅹ厘米。
=
1ⅹ=12.5×500000
ⅹ=6250000
6250000(厘米)=62.5千米
(5)面积变化
①要点:
把一个平面图形按照一定的倍数(n)放大或缩小到原来的几分之一()后,放大(或缩小)后与放大(或缩小)前图形的面积比是n²:
1(或1:
n²)。
②例题:
下面的大长方形是由一个小长方形按比例放大后得到的图形。
分别量出它们的长和宽,算算大长方形与小长方形面积的比是几比几。
量得小长方形的长是2.5厘米,宽是1厘米;大长方形的长是7.5厘米,宽是3厘米。
大长方形与小长方形长的比是7.5:
2.5=3:
1,宽的比是3:
1。
==×=9:
1=3²:
1
大长方形与小长方形面积的比是9:
1。
效果检测
1.根据A×B=C×D,写出8个比例式。
()︰()=()︰()()︰()=()︰()
()︰()=()︰()()︰()=()︰()
()︰()=()︰()()︰()=()︰()
()︰()=()︰()()︰()=()︰()
2.在一幅比例尺是1000:
1的图纸上,量得某正方体零件的棱长为1米。
则该零件的实际体积是多少?
3.一个正方形的边长扩大为2倍,则周长扩大为原来的()倍。
一个正方体的棱长缩小为原来的,则体积缩小为原来的()。
一个圆柱体的底面直径扩大为4倍,则侧面积扩大为原来的()倍。
一个圆锥体的底面直径缩小为原来的,则体积缩小为原来的()。
4.判断正误。
(1)比就是比例,前者是后者的简称,实际上是一个意思。
()
(2)比的前后项同时加上一个数,比值不变。
()
(3)比的前后项同时乘以一个数,比值不变。
()
(4)比例的两外项之积除以两内项之的商为常数。
()
(5)比例的两内项两外项同乘以一个负数,比例仍然成立。
()
5.解比例。
(25-5x)︰(-3)=(x+5)︰(-)=
教学过程
小学数学总复习归类讲解及训练
(七)
主要内容
正比例和反比例
考点分析
1.两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化。
如果这两种量中相对应的两个数的比的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们之间的关系叫做正比例关系。
如果用字母x和y分别表示两种相关联的量,用k表示它们的比值,正比例关系可以用这样的式子来表示:
=K(一定)。
2.用“描点法”可以得到正比例的图像,正比例的图像是一条直线。
对照图像,能根据一种量的值,估计另一种量相对应的值。
3.两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化。
如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们之间的关系叫做反比例关系。
如果用字母x和y分别表示两种相关联的量,用k表示它们的积,反比例关系可以用这样的式子来表示:
xy=K(一定)。
4.两个变量的比值一定,这两个变量成正比例;两个变量的积一定,这两个变量成反比例;没有上述两种关系,这两个变量不成比例。
比例有正反,判断是关键.分清三种量,关系式列全.正比商一定,
反比积不变.商积不一定,不成正与反.等式非乘除,同比例无关.
典型例题
例1(正比例的意义)一列火车行驶的时间和路程如下表。
这两种量有什么关系?
时间/时
1
2
3
4
5
6
……
路程/千米
120
240
360
480
600
720
……
分析与解:
(1)从上表可以看出,表中有时间和路程两种量。
(2)从左往右看,时间扩大,路程也扩大;从右往左看,时间缩小,路程也缩小。
所以它们是两种相关联的量。
(3)路程和时间的比值始终不变,=120,=120,=120……这个比值就是火车的行驶速度。
通过观察和计算,我们对路程和时间的关系有两点发现:
第一点路程和时间是两种相关联的量,也就是时间变化,路程也随着变化;第二点路程和对应的时间的比的比值(也就是速度)是一定的,有这样的关系:
=速度(一定)。
具备了这两个条件,我们就可以得到结论:
行驶的路程和时间成正比例关系;行驶的路程和时间成正比例的量。
点评:
判断两种量是不是成正比例,分三步:
一看它们是不是相关联的两种量;二是看一种量变化,另一种量是不是也随着变化;满足了前面两个条件,再看它们的比值是否一定。
不要省去任何一步。
如果用字母x和y分别表示两种相关联的量,用k表示它们的比值,正比例关系可以用这样的式子来表示:
=K(一定)。
例2(判断是否成正比例)
练习本的单价一定,买练习本的数量和总价是不是成正比例?
为什么?
分析与解:
根据正比例的意义,看两个变量的比值是否一定,如果两个变量的比值一定,那么这两个变量就成正比例,反之,则不成正比例。
买练习本的数量和总价是两种相关联的量,它们与练习本的单价有下面的关系:
=练习本的单价(一定)
所以练习本的数量和总价成正比例。
例3(正比例的图像)磁悬浮列车匀速行驶时,路程与时间的关系如下。
时间/分
1
2
3
4
5
6
7
……
路程/千米
7
14
21
28
35
42
49
……
(1)图中的点A表示时间为1分钟时,磁悬浮列车驶过的路程为7千米。
请你试着描出其他各点。
(2)连接各点,它们在一条直线上吗?
(3)根据图像判断,列车运行2分半钟时,行驶的路程是多少千米?
行驶30千米大约需要几分钟?
路程/千米
42
35
28
21
14
7●A
0
1234567时间/分
分析与解:
根据提供的各组数据描出图像的许多个点,再依次连成直线。
路程和时间相对应的数的比值都是7,即速度一定,路程和时间成正比例,图像是一条直线。
对照图像,可以根据时间的值估计出路程的值,也可以根据路程的值估计出时间的值,估计时允许有一定的出入。
(1)描点、连线如图。
路程/千米
42●
35●
28●
21●
14●
7●A
0
1234567时间/分
(2)在一条直线上,因为路程和时间成正比例,正比例的图像是一条直线。
(3)根据图像,列车运行2分半钟时,行驶的路程是17.5千米;行驶30千米大约需要4.3分钟。
例4(辨析)圆的周长和直径成正比例,圆的面积和半径成正比例?
分析与解:
圆的周长和直径成正比例,而圆的面积和半径却不成正比例。
可列表判断。
半径/cm
1
2
3
4
5
6
……
直径/cm
2
4
6
8
10
12
……
周长/cm
6.28
12.56
18.84
25.12
31.4
37.68
……
面积/cm²
3.14
12.56
28.26
50.24
78.5
113.04
……
圆的周长和直径的相对应的数的比值都是3.14,所以圆的周长和直径成正比例。
而圆的面积和半径的相对应的数的比值是变化的,所以圆的面积和半径不成正比例。
圆的周长和直径
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- 正比例 反比例