届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第7讲二次函数与幂函数精选教案理.docx

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届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第7讲二次函数与幂函数精选教案理

第7讲　二次函数与幂函数

考纲要求

考情分析

命题趋势

1．掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值（值域）、单调区间．

2．了解幂函数的概念．

3．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况．

2017·全国卷Ⅲ，11

2017·山东卷，10

2016·全国卷Ⅲ，6

2015·浙江卷，18

1．二次函数的图象和性质，经常与其他知识综合考查．

2．幂函数的图象和性质，很少单独出题．

3．二次函数的综合应用，经常与导数、不等式综合考查．

分值：

5～8分

1．幂函数的概念

一般地，函数__y＝xα__叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

2．几个常用的幂函数的图象与性质

定义

幂函数y＝xα（α∈R）

图象

α>0

α<0

性质

图象过点__（0,0）__和__（1,1）__

图象过点__（1,1）__

在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在（0，＋∞）上是__增函数__

在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在（0，＋∞）上是__减函数__

在第一象限内，当α>1时，图象下凹；当0<α<1时，图象上凸

在第一象限内，图象都下凹

形如y＝x或y＝x－（m，n为互质的正整数）类型函数的奇偶性判断：

当m，n都为奇数时，幂函数在定义域上为奇函数；当m为奇数，n为偶数时，幂函数在定义域上为非奇非偶函数；当m为偶数，n为奇数时，幂函数在定义域上为偶函数

3．二次函数解析式的三种形式

（1）一般式：

f（x）＝__ax2＋bx＋c__（a≠0）；

（2）顶点式：

f（x）＝__a（x－h）2＋k__（a≠0）；

（3）零点式：

f（x）＝__a（x－x1）（x－x2）__（a≠0）．

4．二次函数的图象与性质

二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：

（1）对称轴：

x＝！

！

！

　－　###；

（2）顶点坐标：

！

！

！

　　###；

（3）开口方向：

a>0时，开口__向上__，a<0时，开口__向下__；

（4）值域：

a>0时，y∈！

！

！

　　###，a<0时，y∈____；

（5）单调性：

a>0时，f（x）在！

！

！

　　###上是减函数，在____上是增函数；a<0时，f（x）在上是__增函数__，在上是__减函数__.

5．二次函数、二次方程、二次不等式三者间的关系

二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）的零点（图象与x轴交点的横坐标）是相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的__根__，也是一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0（或ax2＋bx＋c≤0）解集的__端点值__．

6．二次函数在闭区间上的最值

二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的__端点__或二次函数的__顶点__处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值．

1．思维辨析（在括号内打“√”或“×”）．

（1）函数y＝2x是幂函数．（　×　）

（2）如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．（　√　）

（3）当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．（　×　）

（4）二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[m，n]的最值一定是.（　×　）

解析　

（1）错误．不符合幂函数的定义．

（2）正确．因为图象与坐标轴相交，则由x＝0得y＝0，若y＝0，则得x＝0.

（3）错误．幂函数y＝x－1在定义域上不单调．

（4）错误．当－∉[m，n]时，二次函数的最值，在区间端点取得，而非.

2．函数y＝x的图象（图中虚线为直线y＝x）是（　B　）

解析　因为函数y＝x是幂函数，幂函数在第一象限内恒过点（1,1），排除A项，D项；当x>1,0

3．函数f（x）＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是（　A　）

A．m＝－2　　　B．m＝2　　　

C．m＝－1　　　D．m＝1

解析　当m＝－2时，f（x）＝x2－2x＋1，对称轴为x＝1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，故选A．

4．已知f（x）是二次函数，且f′（x）＝2x＋2，若方程f（x）＝0有两个相等实根，则f（x）的解析式为（　D　）

A．f（x）＝x2＋2x＋4　　　　B．f（x）＝2x2＋2x＋1

C．f（x）＝x2＋x＋1　　　　D．f（x）＝x2＋2x＋1

解析　设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则f′（x）＝2ax＋b，

∴a＝1，b＝2，f（x）＝x2＋2x＋c.Δ＝4－4c＝0，

∴c＝1，故f（x）＝x2＋2x＋1，故选D．

5．函数y＝3－的值域是__（－∞，2]__.

解析　因为2－2x＋x2＝（x－1）2＋1≥1，所以≥1，所以y≤2.

一　幂函数的图象和性质

幂函数y＝xα的性质和图象由于α的取值不同而比较复杂，一般可从三个方面考查：

（1）曲线在第一象限的“升降性”：

α>0时图象经过点（0,0）和点（1,1），在第一象限的部分“上升”；α<0时图象不过点（0,0），经过点（1,1），在第一象限的部分“下降”；

（2）曲线在第一象限的“凹凸性”：

α>1时曲线下凹，0<α<1时曲线上凸，α<0时曲线下凹；

（3）函数的奇偶性：

一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数的定义域和奇偶性定义判断其奇偶性．

【例1】

（1）已知函数f（x）＝（m2－m－1）xm2＋m－3是幂函数，且x∈（0，＋∞）时，f（x）是增函数，则m的值为（　B　）

A．－1　　　B．2

C．－1或2　　　D．3

（2）幂函数y＝f（x）的图象过点（4,2），则幂函数y＝f（x）的图象是（　C　）

（3）已知f（x）＝x，若0

A．f（a）

C．f（a）

解析　

（1）∵函数f（x）＝（m2－m－1）·xm2＋m－3是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.

又∵函数f（x）在（0，＋∞）上为增函数，∴m2＋m－3>0，∴m＝2.

（2）∵幂函数y＝f（x）的图象过点（4,2），∴f（x）＝x.

（3）∵0

又f（x）＝x为增函数，∴f（a）

二　二次函数的解析式

求二次函数解析式的方法

根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，方法如下：

【例2】

（1）已知二次函数f（x）满足f

（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，则此二次函数的解析式为__f（x）＝－4x2＋4x＋7__.

（2）已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）>－2x的解集为（1,3）．若方程f（x）＋6a＝0有两个相等的根，则f（x）的单调递增区间为__（－∞，－3]__.

解析　

（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）．

由题意得解得

所以所求二次函数为f（x）＝－4x2＋4x＋7.

（2）因为f（x）＋2x>0的解集为（1,3），

设f（x）＋2x＝a（x－1）（x－3），且a<0，

所以f（x）＝a（x－1）（x－3）－2x＝ax2－（2＋4a）x＋3a.①

由方程f（x）＋6a＝0，得ax2－（2＋4a）x＋9a＝0.②

因为方程②有两个相等的根，

所以Δ＝[－（2＋4a）]2－4a·9a＝0，解得a＝1或a＝－.

由于a<0，舍去a＝1．将a＝－代入①式得

f（x）＝－x2－x－＝－（x＋3）2＋，

所以函数f（x）的单调递增区间是（－∞，－3]．

三　二次函数的图象和性质

二次函数在闭区间上的最大值和最小值可能在三个地方取到：

区间的两个端点处，或对称轴处．也可以作出二次函数在该区间上的图象，由图象来判断最值．解题的关键是讨论对称轴与所给区间的相对位置关系．

【例3】

（1）已知二次函数f（x）＝ax2－2x（0≤x≤1），求f（x）的最小值．

（2）已知a是实数，记函数f（x）＝x2－2x＋2在[a，a＋1]上的最小值为g（a），求g（a）的解析式．

解析　

（1）①当a>0时，f（x）＝ax2－2x图象的开口方向向上，且对称轴为x＝.

当≤1，即a≥1时，f（x）＝ax2－2x图象的对称轴在[0,1]内，

∴f（x）在上递减，在上递增．

∴f（x）min＝f＝－＝－.

当>1，即0

（1）＝a－2.

②当a<0时，f（x）＝ax2－2x的图象的开口方向向下，且对称轴x＝<0，在y轴的左侧，∴f（x）＝ax2－2x在[0,1]上递减．

∴f（x）min＝f

（1）＝a－2.

综上所述，f（x）min＝

（2）f（x）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1，

x∈[a，a＋1]，a∈R，对称轴为x＝1．

当a＋1<1，即a<0时，函数图象如图

（1），函数f（x）在区间[a，a＋1]上为减函数，所以最小值为f（a＋1）＝a2＋1；当a≤1≤a＋1，即0≤a≤1时，函数图象如图

（2），在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f

（1）＝1；当a>1时，函数图象如图（3），函数f（x）在区间[a，a＋1]上为增函数，所以最小值为f（a）＝a2－2a＋2.

综上可知，g（a）＝

【例4】

（1）若函数f（x）＝x2＋2ax＋3在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a的取值范围为__（－∞，－6]∪[4，＋∞）__.

（2）若函数f（x）＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是！

！

！

　　###.

解析　

（1）由于函数f（x）的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f（x）在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.

（2）函数f（x）图象的对称轴为x＝，且f＝－，f（3）＝f（0）＝－4，由二次函数的图象知m的取值范围为.

1．若幂函数f（x）＝mxα的图象经过点A，则它在点A处的切线方程是（　C　）

A．2x－y＝0　　　B．2x＋y＝0

C．4x－4y＋1＝0　　　D．4x＋4y＋1＝0

解析　根据函数f（x）＝mxα为幂函数，所以m＝1，根据图象经过点A，则有α＝，所以f（x）＝x，f′（x）＝，f′＝1，故所求切线方程是4x－4y＋1＝0.

2．已知函数f（x）＝ex－1，g（x）＝－x2＋4x－3.若有f（a）＝g（b），则b的取值范围为（　B　）

A．[2－，2＋]　　　B．（2－，2＋）

C．[1,3]　　　D．（1,3）

解析　由题意可知，f（x）＝ex－1>－1，g（x）＝－x2＋4x－3＝－（x－2）2＋1≤1．若有f（a）＝g（b），则g（b）∈（－1,1]，

即－b2＋4b－3>－1，解得2－

3．已知函数f（x）＝－x2＋3x＋4的定义域为[－2,2]，则f（x）的值域为！

！

！

　　###.

解析　函数f（x）＝－x2＋3x＋4图象的对称轴为x＝，所以在区间[－2,2]上，函数的最大值为f＝－2＋3×＋4＝，函数的最小值为f（－2）＝－（－2）2＋3×（－2）＋4＝－6，所以函数的值域为.

4．（2018·广东广州摸底）已知二次函数f（x）满足f（x＋1）－f（x）＝2x，且f（0）＝1．

（1）求f（x）的解析式；

（2）在区间[－1,1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围．

解析　

（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c，

由f（0）＝1，得