二项分配与期望值数学期望值与二项分配伯努利Word下载.docx
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實例:
設阿政在籃球賽中罰球的命中率為32在每次罰球的結果都是獨立的情形下,求阿
政3次罰球中恰有2次投中的機率。
在n次獨立的重複試驗中,恰好成功k次的機率為P(k)Cknpkqnk,而此機率Cknpkqnk為二項展開式:
(pq)nC0np0qnC1np1qnC2np2qnCnnpnq0中的各項,因此我們稱之為
二項分配的機率。
為什麼叫它為二項分配,因為它跟二項式定理的一般項相似,這也是它名字的由來。
範例》
擲一均勻的硬幣10次,則
(1)恰出現4次正面的機率為
(2)10次都是正面的機率為
(3)至少出現2次正面的機率為
(4)第10次才擲出正面的機率為
(5)恰在第10次時,擲出第4次正面的機率為。
Ans:
類題
2
有一不均勻的銅板,出現正面的機率是32,擲
此銅板6次,則
(1)恰出現三次正面的機率為
(2)出現奇數次正面的機率為
(3)
至少出現一次反面的機率為
(4)恰在第6次擲出第4次正面的機率為
袋中有6個紅球,4個白球,自袋中每次取一球,取後放回,連取5次,
(1)在第5次才取中第1個白球的機率為。
(2)已知5次中只取到1個白球,則在第5次才取中白球的機率為
(3)已知5次中取到2個白球,,則此2個白球是在第1次及第2次就取中的機率為。
袋中有3紅球、2白球,每次由袋中任取2球,取後放回,連取4次,在已知4次中每次取
某人射擊命中率為0.4,依下列條件,求其機率?
(1)射擊5次恰中3次
(2)射擊5次恰中3次,而第5次為射中之最後一次
(3)欲使射中目標之機率達0.99,問最少要射幾發?
(log2=0.3010,log3=0.4771)
1.連續投擲一顆公正的骰子,試問:
(1)若擲骰子四次,則6點出現2次的機率。
(2)若擲骰子四次,則第4次恰出現第三個6點的機率。
(3)須連續投擲幾次,其出現6點的機率才可達到75%
255(log2=0.3010,log3=0.4771)Ans:
(1)216
(2)432(3)8
2.有一種丟銅板的遊戲,其規則為:
出現正面則繼續丟,出現反面就出局。
那麼連續丟5次後還可繼續丟的機率為()51。
某班有40名學生,每人各玩一局,設班上至少有一人連
232
續丟5次後還可繼續丟的機率為p,則
(1)0.4p0.5
(2)0.5p<
0.6(3)0.6p<
0.7(4)0.7p<
0.8(5)0.8p0.9
※查表知log31=1.4914,log32=1.5051,log2.831=0.452〔86.學測〕Ans:
(4)
一彈珠軌道設計如右圖,彈珠可由P,Q兩處入口放入,彈珠在各分叉處,選擇左、右道的機率相等,請問:
(1)若彈珠由P入口放入,則由A、B、C、D、E、F,各出口出現的機率各為何?
(2)某人將彈珠由P或Q入口放入,結果彈珠由C出口出現,則某人是由P入口放入彈珠的機率為何?
(選擇P或Q入口的機率相等)
重點二項分配的數學期望值
1.
數學期望值的定義
一試驗的數學期望值,為此試驗的n種可能結果m1,m2,,mn,分別乘上其發生機率
p1,p2,,pn後的總和,即期望值E=m1p1m2p2mnpn
二項分配:
假設有一次試驗,結果只歸納出2種,即成功或失敗。
這個我們便稱為伯努力試驗(紀念
Swiss數學家JamesBernoulli)。
當然啦!
我們也可以討論n次重複試驗的情況,如果每一次成功的機率皆為p,失敗的機率皆為1–p=q,且它們每次(前後試驗)都互不相影響(如:
取球後放回),這樣的試驗我們稱為二項試驗。
因此,二項試驗具有下列的特徵:
(1)共進行n次的試驗。
(2)每次試驗都互不影響。
(即完全獨立)
(3)每一次試驗不是成功,就是失敗,而且成功的機率都是相同的p。
我們將二項試驗成功次數的機率分布情形稱為二項分配。
考慮在n次重複試驗中,
令X表示n次試驗中成功的次數,即Xx1x2xn,其中xi1表示第i次成功;
xi0
表示第i次失敗,則n次試驗中恰有k次成功的機率是P(Xk)Cknpkqnk,k0,1,2,,n二項分配的期望值與變異數:
在一伯努利試驗中成功的機率為p,失敗的機率為q(p+q=1)。
若重複此試驗n次,則n次中成功次數的期望值E(X)=np,變異數Var(X)=npq
說明〕假設我們只能夠做一次試驗,所以在一次的試驗下,可能會有0或1次成功,1次成功的機率為p,0次成功機率為q=1–p。
因此,一次試驗成功次數之
(1)期望值=0×
q+1×
p=p;
(2)變異數2(0p)2q(1p)2ppq
那麼n次試驗中成功的次數之可能情況為0次、1次、2次、⋯、n次,而其相對應之機率分布如下表:
次數
1
⋯
k
機率
n0n
C0np0qn
C1np1qn1
nknkCknpkqnk
nn0
Cnnpnq0
則n次試驗中成功次數的期望值E(X)與變異數Var(X)
(1)成功次數的期望值為E(X)np
E(X)=0C0np0qn1C1np1qn12C2np2qn2nCnnpnq0
=1C1np1qn12C2np2qn2nCnnpnq0
n10n1n11n2n1k1nkn1n10=np(C0n1p0qn1C1n1p1qn2Ckn11pk1qnkCnn11pn1q0)
=np(pq)n1np
直觀想法】∵每一次試驗之期望值為p∴作了n次試驗,其期望值為np
(2)成功次數的變異數為Var(X)npq
nn
證明一】Var(X)=(k)2P(Xk)(k22k2)P(Xk)
k0k0
nnn
k2P(Xk)2kP(Xk)2P(Xk)k0k0k0
E(X2)2
其中
E(x2)k2P(xk)k2Cknpkqnkk(k1)kCknpkqnk
i1k1k1nn
n!
knknknk
k(k1)pqkCkpq
k1k!
(nk)!
k1k
n(n1)p2(n2)!
pk2qnk
k2(k2)!
n2
n(n1)p2Cin2piq(n2)in(n1)p2(pq)n2npn(n1)p2npi0
222
∴Var(X)n(n1)pnpnpnp(1p)npq
直觀想法】
∵每次都是獨立的試驗,即每次試驗成功次數之變異數均為pq
∴作了n次試驗,其變異數為npq標準差=npq
實例】擲一粒公正骰子5次,試求出現1點次數之期望值。
【Ans】我們先想想有沒有直觀的看法,看出期望值的意義。
回想一下,我們在高二時,
介紹
到期望值的時候,我們有談到期望值有“平均"的概念在裡面,如果我們今天把這
個
題目想成“丟骰子5次,平均有幾個1點"。
也就是說,我們看平均每次丟到正面
的
15
比例是1,共丟了5次,所以平均而言是5次。
我們如何用數學去證明這個結果66
呢?
E(X)5kCk5
(1)k(5)5k0C05
(1)0(5)51C15
(1)1(5)42C25
(1)2(5)33C35
(1)3(5)2
k06666666666
4C45
(1)4(5)15C55
(1)5(5)0
6666
5
(1)1(5)420
(1)2(5)330
(1)3(5)220
(1)4(5)15
(1)5(5)0
6666666666
5(16)(65)44(61)1(56)36(16)2(56)24(61)3(65)1(16)4
5(15)45
老師講解6學生練習6
某班每位同學投擲一均勻硬幣16次,設X
(1)一群命中率皆為80%的射擊選手集訓練
是每人所擲出正面的次數,求X的平均數與習,若每位選手都射100發,設X是每人標準差。
所射中靶的次數,求X的平均數與標準差。
(2)一群命中率皆為60%的射擊選手集訓練習,當第一回合練習完畢後,統計射擊結
果發現,每人所射中靶的次數平均為90
發,試問在第一回合的練習中每人射擊幾發子彈?
又此群射擊選手射中靶之次數的標準差為何?
Ans】
(1)80;
4
(2)150;
6
次數的標準差為何?
球,則白球應該是幾個?
又此班同學取中紅球
之
次數的標準差為何?
【Ans】10;
2
學生練
老師講解8
習8
老師講解9
擲一個均勻的硬幣32次,令X表正面出現的次數,則X~B(32,0.5).
設X的期望值為,標準差為,則
(1)=。
(2)=。
(3)利用下表,P(2X2)=
類題》
P(X)=
幾何分配
老師講解10學生練習10
擲一公正的骰子,直到出現6點即停止,令袋中有3紅球2白球,從袋中取球,每次取一
X表投擲的次數,則
(1)P(X)=
(2)X的期望值
E(X)=。
球,取後放回,直到取到白球才停止。
令X
表
取球的次數,則
(1)P(X=3)=
(2)E(X)=。
185
【Ans】
(1)125
(2)2
設一試驗可重複實施,成功的機率為p,失敗的機率為(1
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