恒成立与存在性问题的解题策略Word下载.docx
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a,b1,存在X2•C,d1,使得fX1-gX2,则
fmaxX—gminx
7、设函数fX、
gx,存在x<
a,b1,存在X2•C,d1,使得f治-gX2,则
fminX—gmaxX
&
设函数fx、gx,对任意的x1存在X2乏C,d】,使得f(x1)=gg),设f(x)
在区间[a,b]上的值域为A,g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A=B.
9、若不等式fxx在区间d上恒成立,则等价于在区间D上函数y=fx和图象在函
数y二gx图象上方;
10、若不等式fx:
gx在区间D上恒成立,则等价于在区间D上函数y=fx和图象在
函数y二gx图象下方;
恒成立问题的基本类型
在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.
函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有:
在给定区间上某关系恒成立;
某
函数的定义域为全体实数R;
某不等式的解为一切实数;
某表达式的值恒大于a等等…
恒成立问题,涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函
数与方程等思想方法,有利于考查学生的综合解题能力,在培养思维的灵活性、创造性等方面起
到了积极的作用。
因此也成为历年高考的一个热点。
恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型:
①一次函数型;
②二次函数型;
③变量分离型;
④根据函数的奇偶性、周期性等性质;
⑤直接根据函数的图象。
二、恒成立问题解决的基本策略
大家知道,恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。
等式中的恒成立问题,特别是多项式恒成立问题,常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。
(1)两个基本思想解决恒成立问题”
思路1、m_f(x)在D上恒成立二m_[f(x)]max
思路2、m-f(x)在D上恒成立=m_[f(x)]min
如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f(x)的最值。
这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛,在处理上也有许多特殊性,也是近年来高考中
频频出现的试题类型,希望同学们在日常学习中注意积累。
(2)、赋值型一一利用特殊值求解等式恒成立问题
等式中的恒成立问题,常常用赋值法求解,特别是对解决填空题、选择题能很快求得•
例1.如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称,那么a=().
8
A.1B.-1C2D.-2
HJI
略解:
取x=0及x=——,则f(O)=f(-—即a=-1,故选B.
44
此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想•
例(备用).由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4定义映射f:
(a1,a2,a3,a4)^b)+b2+b3+b4,则f:
(4,3,2,1)宀()
A.10B.7C.-1D.0
取x=0,贝Va4=1+b什b2+b3+b4,又a4=1,所以3+b2+b3+b4=0,故选D
(3)分清基本类型,运用相关基本知识,把握基本的解题策略
1、一次函数型:
若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷
给定一次函数y=f(x)=ax+b(a丰0若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>
0,则根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于
f(m)0
-f(n)0
例2•对于满足|a|^2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>
2a+x恒成立的x的取值范围.分析:
在不等式中出现了两个字母:
x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个
作为常数.显然可将a视作自变量,则上述问题即可转化为在[-2,2]内关于a的一次函数大于0
恒成立的问题.
解:
原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>
0在|a|乞2时恒成立,
设f(a)=(x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0,故有:
•••x<
-1或x>
3.即x€(—8,—1)U(3,+a)
此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段,故只需保证该线段两端点
均在x轴上方(或下方)即可.
2、二次函数型
涉及到二次函数的问题是复习的重点,同学们要加强学习、归纳、总结,提炼出一些具体的方法,在今后的解题中自觉运用。
(1)若二次函数y=ax2+bx+c(a工大于0恒成立,则有a•0且二--0
(2)若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。
类型1:
设f(x)=ax2bxc(a=0)在r上恒成立,
(1)f(x)-0在R上恒成立:
二a.0且.「:
:
0;
(2)f(x):
:
0在R上恒成立=a:
0且二:
0。
类型2:
设f(x)=ax2bxc(a=0)在区间[-.,订上恒成立'
<
_-b<
b__b_
(1)当a>
0时,f(x)>
0在x€[a,P]上恒成立二厂石*"
或产-~2a~或厂去>
fC)0<
0f(-)0
f(x)<
0在x€[a,P]上恒成立二」(:
)<
*(P)C0
(2)当a.0时,f(x).0在x=[.,-]上恒成立:
…
fO0
f(-)0
2
类型3:
设f(x)=axbx•c(a=0)在区间(-m,:
]上恒成立。
f(x)>
0:
=a>
0且二<
0或-b/2a>
:
且f(:
)>
f(x)<
=a<
0且K0或-b/2a>
)<
类型4:
设f(x)二axbxc(a=0)在区间[:
■,+m上恒成立
0=a>
0,.<
0或-b/2a<
且f(:
0=a<
例3.若函数f(xH(a2-1)x2(a-1)^2[的定义域为R,求实数a的取值范围
222
分析:
该题就转化为被开方数(a2-1)x2-(a-1)x0在R上恒成立问题,并且注
a+1
意对二次项系数的讨论.
依题意,当x•R时,
(a-1)x(a-1)x0恒成立,
a2_1=0
所以,①当a2-1=0,即当{时,a=1,
an
a2-1a0,
②当
a2十。
时,即当{-(a_1)2_4(a2_1)丄“时,
a2占1—
2=1:
a乞9,综上所述,f(x)的定义域为R时,a[1,9]
2-10a9乞0,
例4.已知函数f(x)=x2•ax•3-a,在R上f(x)_0恒成立,求a的取值范围
y=f(x)的函数图像都在X轴及其上方,如右图所示:
,二a2-43—a]=a24a-12岂0—6^a^2
变式1:
若1-2,2]时,f(x)_0恒成立,求a的取值范围.
解析一.(零点分布策略)本题可以考虑f(x)的零点分布情况进
行分类讨论,分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况,即
3>
或/2一,即a的取值范围为[-7,2].f(-2)K0
f
(2)>
解法二分析:
(运用二次函数极值点的分布分类讨论)要使1-2,21时,f(x)一0恒成
立,只需f(x)的最小值g(a)_0即可.
(分类讨论)f(x)二x--a3,令f(x)在〔-2,21上的最小值为g(a).
I2丿4
a7
⑴当2,即a4时,g(a)=f(-2)=7-3a一0.a又:
a4
23
-a不存在.
⑵当_2__a乞2,即一4岂a乞4时,g(a)=f(a)=a3_0.-6乞a岂2又
224
"
-4_a_4-4_a_2
⑶当一弓2,即a:
-4时,g(a)二f(2=)7a-•a-一7又;
a:
-4
_7空a:
_4
综上所述,-7乞a乞2.
变式2:
若1-2,2]时,f(x)_2恒成立,求a的取值范围.
解法一:
题目中要证明f(x)_2在丨-2,21上恒成立,若把2移到等号的左边,则把
原题转化成左边二次函数在区间1-2,2]时恒大于等于0的问题•
例2已知f(x)=x2ax3-a,若x・[22],f(x)_0恒成立,求a的取值范围.
f(x)=x2ax3-a-2_0,即f(x)=x2ax1-a_0在丨-2,21上成立•
综上所述,-5^a^2、2-2.
解法二:
(运用二次函数极值点的分布)
a
⑴当2,即a4时,g(a)二f(一2)=7—3a一2
存在•
aaa2
⑵当一22,即一4空a乞4时,g(a)=f()a,3_2,
—2、2—2^a^2i2—2—4空a空2.2—2
⑶当一一2,即a:
-4时,g(a)二f
(2)=7•a_2,
a--5•-5-a:
综上所述一5乞a岂2、2-2.
此题属于含参数二次函数,求最值时,对于轴变区间定的情形,对轴与区间的位置进行分类
讨论;
还有与其相反的,轴动区间定,方法一样
对于二次函数在R上恒成立问题往往采用判别式法(如例4、例5),而对于二次函数在某
一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题
3、变量分离型
若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,
且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的
最值
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