命题或且非模块综合测评及答案详解一.docx
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命题或且非模块综合测评及答案详解一.docx
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命题或且非模块综合测评及答案详解一
模块综合测评
(一) 学业水平测试卷
(时间:
120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.命题“方程x2-1=0的解是x=±1”中使用逻辑联结词的情况是( )
A.没有使用逻辑联结词
B.使用了逻辑联结词“或”
C.使用了逻辑联结词“且”
D.使用了逻辑联结词“非”
【解析】 方程的根多于1个时,通常使用逻辑联结词“或”,如此题x=±1即为x=1或x=-1.
【答案】 B
2.下列结论中不正确的是( )
A.如果命题p∨q是真命题,那么命题p不一定是真命题
B.如果命题p∧q是真命题,那么命题p一定是真命题
C.如果命题p∧q是假命题,那么命题p不一定是假命题
D.如果命题p∨q是假命题,那么命题p不一定是假命题
【解析】 若p∨q是真命题,则p不一定是真命题,A正确;若p∧q是真命题,则p与q都是真命题,B正确;若p∧q是假命题,命题p不一定是假命题,因为q是假命题时也成立,C正确;若p∨q是假命题,则命题p与q均为假命题,D不正确.
【答案】 D
3.(2015·天水高二检测)设集合A={1,2,3,4},m、n∈A,则方程
+
=1表示焦点在x轴上椭圆的个数是( )
A.6 B.8
C.12D.16
【解析】 ∵椭圆焦点在x轴上,∴m>n,因此,当m=4时,n=1,2,3;当m=3时,n=1,2;当m=2时,n=1,共6种情况.
【答案】 A
4.对任意的x,有f′(x)=4x3,f
(1)=-1,则此函数解析式为( )
A.f(x)=x3B.f(x)=x4-2
C.f(x)=x3+1D.f(x)=x4-1
【解析】 由f′(x)=4x3知,f(x)中含有x4项,然后将x=1代入选项中验证可得.
【答案】 B
5.“1 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 设A={x|1 【答案】 A 6.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于 ,则C的方程是( ) A. + =1 B. + =1 C. + =1D. + =1 【解析】 右焦点为F(1,0)说明两层含义: 椭圆的焦点在x轴上;c=1. 又离心率为 = ,故a=2,b2=a2-c2=4-1=3,故椭圆的方程为 + =1,故选D. 【答案】 D 7.曲线y=ex在点A(0,1)处的切线斜率为( ) A.1 B.2 C.e D. 【解析】 由y′=ex,得在点A(0,1)处的切线的斜率k=y′|x=0=e0=1. 【答案】 A 8.双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A. B. C.1D. 【解析】 双曲线x2-y2=1的顶点坐标为(±1,0),渐近线为y=±x,∴x±y=0,∴顶点到渐近线的距离为d= = . 【答案】 B 9.已知命题p: 存在x∈R,使tanx=1;命题q: x2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2}.下列结论: ①命题“p∧q”是真命题; ②命题“p∧綈q”是假命题; ③命题“綈p∨q”是真命题; ④命题“綈p∨綈q”是假命题.其中正确的是( ) A.②③B.①②④ C.①③④D.①②③④ 【解析】 ∵p真,q真,∴“p∧q”真,“p∧綈q”假,“綈p∨q”真,“綈p∨綈q”假,故选D. 【答案】 D 10.已知f(x)= x+sinx,x∈ ,则导函数f′(x)是( ) A.仅有极小值的奇函数 B.仅有极小值的偶函数 C.仅有极大值的偶函数 D.既有极小值也有极大值的奇函数 【解析】 ∵f′(x)= +cosx,x∈ , ∴f′(x)是偶函数. 令h(x)= +cosx, 则h′(x)=-sinx,x∈ . 由h′(x)=0,得x=0. 又x∈ 时,h′(x)>0;x∈ 时,h′(x)<0, ∴x∈ 时,h(x)即f′(x)仅有极大值. 【答案】 C 11.若直线y=2x与双曲线 - =1(a>0,b>0)有公共点,则双曲线的离心率的取值范围为( ) A.(1, )B.( ,+∞) C.(1, ]D.[ ,+∞) 【解析】 双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y= x.由条件知,应有 >2, 故e= = = > . 【答案】 B 12.设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则( ) A.g(a)<0<f(b)B.f(b)<0<g(a) C.0<g(a)<f(b)D.f(b)<g(a)<0 【解析】 ∵f′(x)=ex+1>0在R上恒成立,∴f(x)是R上的增函数.∵g(x)的定义域是(0,+∞),∴g′(x)= +2x>0,∴g(x)是(0,+∞)上的增函数.∵f(0)=-1<0,f (1)=e-1>0,∴0<a<1.∵g (1)=-2<0,g (2)=ln2+1>0,∴1<b<2,∴f(b)>0,g(a)<0. 【答案】 A 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上) 13.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是________. 【解析】 a+b+c=3的否定是a+b+c≠3, a2+b2+c2≥3的否定是a2+b2+c2<3. 【答案】 若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3 14.曲线y=x3-4x在点(1,-3)处的切线倾斜角为____. 【解析】 y′=3x2-4,k=y′|x=1=-1, tanα=-1,α= π. 【答案】 π 15.已知点(2,3)在双曲线C: - =1(a>0,b>0)上,C的焦距为4,则它的离心率为________. 【解析】 ∵2c=4,∴c=2, 则b2=c2-a2=4-a2, 故 - =1,解得a2=1,∴a=1, ∴e= =2. 【答案】 2 16.若O和F分别是椭圆 + =1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则 · 的最大值为________. 【解析】 由椭圆 + =1可得点F(-1,0),点O(0,0),设P(x,y),-2≤x≤2,则 · =x2+x+y2=x2+x+3 = x2+x+3= (x+2)2+2,当且仅当x=2时, · 取得最大值6. 【答案】 6 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤) 17.(本小题满分10分)设命题p: 方程 + =1表示的曲线是双曲线;命题q: ∃x∈R,3x2+2mx+m+6<0.若命题p∧q为假命题,p∨q为真命题,求实数m的取值范围. 【解】 对于命题p,因为方程 + =1表示的曲线是双曲线,所以(1-2m)(m+4)<0,解得m<-4或m> ,则命题p: m<-4或m> . 对于命题q,因为∃x∈R,3x2+2mx+(m+6)<0,即不等式3x2+2mx+(m+6)<0在实数集R上有解, 所以Δ=(2m)2-4×3×(m+6)>0, 解得m<-3或m>6. 则命题q: m<-3或m>6. 因为命题p∧q为假命题,p∨q为真命题,所以命题p与命题q有且只有一个为真命题. 若命题p为真命题且命题q为假命题, 即 得 若命题p为假命题且命题q为真命题, 即 得-4≤m<-3. 综上,实数m的取值范围为[-4,-3)∪ . 18.(本小题满分12分)设定义在(0,+∞)上的函数f(x)=ax+ +b(a>0). (1)求f(x)的最小值; (2)若曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程为y= x,求a,b的值. 【解】 (1)f(x)=ax+ +b≥2 +b=b+2, 当且仅当ax=1即x= 时,f(x)的最小值为b+2. (2)由题意得: f (1)= ⇔a+ +b= .① f′(x)=a- ⇒f′ (1)=a- = .② 由①②得: a=2,b=-1. 19.(本小题满分12分)过点(-3,2)的直线与抛物线y2=4x只有一个公共点,求此直线方程. 【解】 显然,直线斜率k存在,设直线方程为y-2=k(x+3), 由 消去x,整理得ky2-4y+8+12k=0.① (1)当k=0时,方程①化为-4y+8=0,即y=2, 此时过(-3,2)的直线方程为y=2,满足条件. (2)当k≠0时,方程①应有两个相等的实根, 所以 即 解得k= 或k=-1. ∴直线方程为y-2= (x+3)或y-2=-(x+3), 即x-3y+9=0或x+y+1=0. 故所求直线有三条,其方程分别为y=2或x-3y+9=0或x+y+1=0. 20.(本小题满分12分)(2015·大连高二检测)已知函数f(x)= x2+alnx(a<0). (1)若a=-1,求函数f(x)的极值; (2)若∀x>0,不等式f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围. 【解】 由题意,x>0. (1)当a=-1时,f(x)= x2-lnx f′(x)=x- , 令f′(x)=x- >0,解得x>1, 所以f(x)的单调增区间为(1,+∞); f′(x)=x- <0,得0 所以f(x)的单调减区间为(0,1), 所以函数f(x)在x=1处有极小值f (1)= . (2)因为a<0,f′(x)=x+ . 令f′(x)=0,所以x= , 列表: x (0, ) ( ,+∞) f′(x) - 0 + f(x) 极小值 这时f(x)min=f( ) =- +aln , 因为∀x>0,不等式f(x)≥0恒成立, 所以- +aln ≥0, 所以a≥-e, 所以a的取值范围为[-e,0). 21. 图1 (本小题满分12分)如图1,要设计一矩形广告牌,该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5cm,怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位: cm),能使矩形广告牌面积最小? 【解】 设广告牌的高和宽分别为xcm,ycm, 则每栏的高和宽分别为x-20, ,其中x>20,y>25. 两栏面积之和为2(x-20)· =18000, 由此得y= +25. 广告牌的面积为S(x)=x = +25x. ∴S′(x)= +25 = +25. 令S′(x)>0,得x>140,令S′(x)<0,得20<x<140. ∴函数S(x)在(140,+∞)上单调递增,在(20,140)上单调递减, ∴S(x)的最小值为S(140). 当x=140时,y=175. 即当x=140,y=175时,S(x)取得最小值24500, 故当广告牌的高为140cm,宽为175cm时,可使广告牌的面积最小. 22.(本小题满分12分)已知椭圆C: +y2=1(m>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为 . (1)求椭圆C的方程; (2)设直线l: y=x+t(t>0)与椭圆C交于A,B两点.若原点O在以线段AB为直径的圆内,
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