初一数学竞赛讲座Word文件下载.docx
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性质4若a=bq+r(0≤r<
b),则(a,b)=(b,r).
性质4实质上是求最大公约数的一种方法,这种方法叫做辗转相除法。
性质5若b∣a,则[a,b]=a.
性质6若[a,b]=m,且n为正整数,则[na,nb]=nm.
性质7若n∣a,n∣b,则
.
4、数的整除性
定义3 对于整数a和不为零的整数b,如果存在整数q,使得a=bq成立,则就称b整除a或a被b整除,记作b∣a,若b∣a,我们也称a是b倍数;
若b不能整除a,记作ba
5、
数的整除性的性质
性质1若a∣b,b∣c,则a∣c
性质2若c∣a,c∣b,则c∣(a±
b)
性质3若b∣a,n为整数,则b∣na
6、
同余
定义4设m是大于1的整数,如果整数a,b的差被m整除,我们就说a,b关于模m同余,记作a≡b(modm)
7、
同余的性质
性质1如果a≡b(modm),c≡d(modm),那么a±
c≡b±
d(modm),ac≡bd(modm)
性质2如果a≡b(modm),那么对任意整数k有ka≡kb(modm)
性质3如果a≡b(modm),那么对任意正整数k有ak≡bk(modm)
性质4如果a≡b(modm),d是a,b的公约数,那么
二、二、例题精讲
例1设m和n为大于0的整数,且3m+2n=225.
如果m和n的最大公约数为15,求m+n的值
(第11届“希望杯”初一试题)
解:
(1)因为(m,n)=15,故可设m=15a,n=15b,且(a,b)=1
因为3m+2n=225,所以3a+2b=15
因为a,b是正整数,所以可得a=1,b=6或a=b=3,但(a,b)=1,所以a=1,b=6
从而m+n=15(a+b)=15
7=105
评注:
1、遇到这类问题常设m=15a,n=15b,且(a,b)=1,这样可把问题转化为两个互质数的求值问题。
这是一种常用方法。
2、思考一下,如果将m和n的最大公约数为15,改成m和n的最小公倍数为45,问题如何解决?
例2 有若干苹果,两个一堆多一个,3个一堆多一个,4个一堆多一个,5个一堆多一个,6个一堆多一个,问这堆苹果最少有多少个?
分析:
将问题转化为最小公倍数来解决。
解 设这堆苹果最少有x个,依题意得
由此可见,x-1是2,3,4,5,6的最小公倍数
因为 [2,3,4,5,6]=60,所以x-1=60,即x=61
答:
这堆苹果最少有61个。
例3 自然数a1,a2,a3,…,a9,a10的和1001等于,设d为a1,a2,a3,…,a9,a10的最大公约数,试求d的最大值。
解 由于d为a1,a2,a3,…,a9,a10的最大公约数,所以和a1+a2+a3+…+a9+a10=1001能被d整除,即d是1001=7
11
13的约数。
因为dak,所以ak≥d,k=1,2,3,…,10 从而1001=a1+a2+a3+…+a9+a10≥10d
所以
由d能整除1001得,d仅可能取值1,7,11,13,77,91。
因为1001能写成10个数的和:
91+91+91+91+91+91+91+91+91+182
其中每一个数都能被91整除,所以d能达到最大值91
例4某商场向顾客发放9999张购物券,每张购物券上印有四位数码,从0001到9999号,如果号码的前两位之和等于后两位之和,则这张购物券为幸运券,如号码0734,因0+7=3+4,所以这个号码的购物券为幸运券。
证明:
这个商场所发购物券中,所有幸运券的号码之和能被101整除。
(第7届初中“祖冲之杯”数学邀请赛试题)
显然,9999的购物券为幸运券,除这张外,若号码为n的购物券为幸运券,则号码为m=9999-n的购物券也为幸运券。
由于9999是奇数,所以m,n的奇偶性不同,即m≠n,由于m+n=9999,相加时不出现进位。
就是说,除号码为9999的幸运券外,其余所有的幸运券可两两配对,且每对号码之和为9999,从而可知所有的幸运券的号码之和为9999的倍数。
由101∣9999,所以所有幸运券的号码之和能被101整除。
本题是通过将数两两配对的方法来解决。
例5在1,2,3,…,1995这1995个数中,找出所有满足条件的数来:
(1995+a)能整除1995
a(第五届华杯赛决赛试题)
分子、分母都含有a,对a的讨论带来不便,因此可以将
化成
,这样只有分母中含有a,就容易对a进行讨论。
解
因为(1995+a)能整除1995
a,所以
是整数,从而
是整数
因为1995
1995=32
52
72
192,所以它的因数1995+a可以通过检验的方法定出。
注意到1≤a≤1995,所以1995<
1995+a≤3990
如果1995+a不被19整除,那么它的值只能是以下两种:
3
72=3675,32
5
72=2205
如果1995+a能被19整除,但不被192整除,那么它的值只能是以下两种:
19=2793,52
7
19=3325
如果1995+a能被192整除,那么它的值只能是以下两种:
7
192=2527,32
192=3249
于是满足条件的a有6个,即从上面6个值中分别减去1995,得到
1680、210、798、1330、532、1254
本题通过对
的适当变形,便于对a的讨论。
讨论时通过将1995
1995分解质因数,然后将因数1995+a通过检验的方法定出。
这种方法在解决数的整除问题中经常使用。
例611+22+33+44+55+66+77+88+99除以3的余数是几?
为什么?
(第四届华杯赛复赛试题)
解显然11≡1(mod3),33≡0(mod3),66≡0(mod3),99≡0(mod3)
又22=4≡1(mod3),44≡14≡1(mod3),55≡25≡(-1)5≡(-1)(mod3),
77≡17≡1(mod3),88≡(-1)8≡1(mod3)
∴11+22+33+44+55+66+77+88+99≡1+1+0+1-1+0+1+1+0≡4≡1(mod3)
即所求余数是1
用同余式求余数非常方便。
例7已知:
,问a除以13,所得余数是几?
(第三届华杯赛决赛试题)
将a用十进制表示成
,1991除以13,所得余数是显然的,主要研究
除以13的余数规律。
mod13,103≡(-3)3=-27≡-1,
1+104+108≡1-10+102=91≡0,1991≡2
∴a≡
≡
=-18≡8,即a除以13,所得余数是8
例8n是正偶数,a1,a2,…,an除以n,所得的余数互不相同;
b1,b2,…,bn除以n,所得的余数也互不相同。
证明a1+b1,a2+b2,…,an+bn除以n,所得的余数必有相同的。
证明∵n是正偶数,所以n-1为奇数,∴
不是n的倍数,
∵a1,a2,…,an除以n,所得的余数互不相同,所以这n个余数恰好是0,1,…,n-1.从而a1+a2+…+an≡0+1+…+(n-1)=
0(modn)
同样b1+b2+…+bn≡
0(modn)
但(a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn)=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)
≡0(modn)
所以a1+b1,a2+b2,…,an+bn除以n,所得的余数必有相同的。
例9十进制中,44444444的数字和为A,A的数字和为B,B的数字和为C,求C
由于10≡1(mod9),所以对整数a0,a1,a2,…,an有
它表明十进制中,一个数与它的各位数字和模9同余。
根据上述结论有C≡B≡A≡44444444(mod9).所以只要估计出C的大小,就不难确定C
解:
4444≡7(mod9),而73≡(-2)3=-8≡1(mod9),
所以44444444≡74444=731481+1≡7(mod9),
所以C≡B≡A≡44444444≡7(mod9),
另一方面,44444444<
(105)4444=1022220,所以44444444的位数不多于22220
从而A<
922220=199980,即A至多是6位数。
所以B<
96=54
在1到53的整数中,数字和最大的是49,所以C≤4+9=13
在小于13的自然数中,只有7模9同余于7,所以C=7
本题用了十进制中,一个数与它的各位数字和模9同余这个结论。
根据这个结论逐步估计出C的大小,然后定出C。
三、三、巩固练习
选择题
1、两个二位数,它们的最大公约数是8,最小公倍数是96,这两个数的和是()
A、56B、78C、84D、96
2、三角形的三边长a、b、c均为整数,且a、b、c的最小公倍数为60,a、b的最大 公约数是4,b、c的最大公约数是3,则a+b+c的最小值是( )
A、30B、31C、32D、33
3、在自然数1,2,3,…,100中,能被2整除但不能被3整除的数的个数是()
A、33B、34C、35D、37
4、任意改变七位数7175624的末四位数字的顺序得到的所有七位数中,能被3整除的数的个数是()
A、24B、12C、6D、0
5、若正整数a和1995对于模6同余,则a的值可以是()
A、25B、26C、27D、28
6、设n为自然数,若19n+14≡10n+3(mod83),则n的最小值是()
A、4B、8C、16D、32
填空题
7、自然数n被3除余2,被4除余3,被5除余4,则n的最小值是
8、满足[x,y]=6,[y,z]=15的正整数组(x,y,z)共有组
9、一个四位数能被9整除,去掉末位数后得到的三位数是4的倍数,则这样的四位数中最大的一个,它的末位数是
10、有一个11位数,从左到右,前k位数能被k整除(k=1,2,3,…,11),这样的最小11位数是
11、设n为自然数,则32n+8被8除的余数是
12、14+24+34+44+…+19944+19954的末位数是
解答题
13、求两个自然数,它们的和是667,它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商是120。
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