北师大版七年级数学下册第二单元教案全集Word格式.docx
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解:
因为∠1=40°
(已知),所以∠BOF=∠BOC-∠1=110°
-40=70°
.因为∠BOF=∠2(对顶角相等),所以∠2=70°
(等量代换).
两条相交直线构成对顶角,这时应注意“对顶角相等”这一隐含的结论.在
然后结合已知条
图形中正确找到对顶角,利用角的和差及对顶角的性质找到角的等量关系,件进行转化.
探究点二:
补角和余角
【类型一】利用补角和余角计算求值
已知∠A与∠B互余,且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°
,求∠B的度数.
根据∠A与∠B互余,得出∠A+∠B=90°
,再由∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°
,从而得到∠A=3∠B+30°
,再把两个算式联立即可求出∠2的值.
∵∠A与∠B互余,∴∠A+∠B=90°
.又∵∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°
,
∴设∠B=x,∴∠A=3∠B+30°
=3x+30°
,∴3x+30°
+x=90°
,解得x=15°
,故∠B的度数为15°
.
此题把角的关系结合方程问题一起解决,即把相等关系的问题转化为方程问题,利用方程来解决.
类型二】补角、余角和角平分线的综合计算
如图,已知∠AOB在∠AOC内部,∠BOC=90°
,OM、ON分别是∠AOB,∠
AOC的平分线,∠AOB与∠COM互补,求∠BON的度数.
数.根据角的和差,可得答案.
=180°
.∵∠COB=90°
,∴∠AOB+∠BOM=90°
.∵OM是∠AOB的平分线,∴∠BOM
11
=2∠AOB,即∠AOB+2∠AOB=90°
,解得∠AOB=60°
,∴∠AOC=∠BOC+∠AOB=
90°
+60°
=150°
.∵ON平分∠AOC得∠AON=2∠AOC=2×
150°
=75°
.由角的和差,∴∠
(1)如图①,若CE是∠ACD的角平分线,那么CD是∠ECB的角平分线吗?
并简述理
由;
(2)如图②,若∠ECD=α,CD在∠BCE的内部,请你猜想∠ACE与∠DCB是否相等?
并简述理由;
(3)在
(2)的条件下,请问∠ECD与∠ACB的和是多少?
并简述理由.
(1)首先根据直角三角板的特点得到∠ACD=90°
,∠ECB=90°
.再根据角平分
线的定义计算出∠ECD和∠DCB的度数即可;
(2)∠ACE与∠DCB相等,根据“等角的余角相等”即可得到答案;
(3)根据角的和差关系进行等量代换即可.
(1)CD是∠ECB的角平分线.理由如下:
∵∠ACD=90°
,CE是∠ACD的角平分线,∴∠ECD=45°
.∵∠ECB=90°
,∴∠DCB=90°
-45°
=45°
,∴∠ECD=∠DCB,∴CD是∠ECB的角平分线;
(2)∠ACE=∠DCB.理由如下:
∵∠ACD=90°
,∠BCE=90°
,∠ECD=α,∴∠ACE=90°
-α,∠DCB=90°
-α,∴∠ACE=∠DCB;
(3)∠ECD+∠ACB=180°
.理由如下:
∠ECD+∠ACB=∠ECD+∠ACE+∠ECB=∠ACD+∠ECB=90°
+90°
=180°
.
此题主要查考了角的计算,关键是根据图形分清角之间的和差关系.
三、板书设计
1.对顶角相等;
2.同角或等角的补角相等,同角或等角的余角相等.
本节课学习了对顶角及其性质.教学中可让学生自己画这些角,结合图形说出对顶角的特征.对顶角的识别是易错点,可以结合例题进行练习,让学生在学习中不断纠错,不断进步
第2课时垂线
垂线
【类型一】运用垂线的概念求角度
如图,直线BC与MN相交于点O,AO⊥BC,∠BOE=∠NOE,若∠EON=20°
,求∠AOM和∠NOC的度数.
要求∠AOM的度数,可先求它的余角∠COM.由已知∠EON=20°
,结合∠BOE=∠NOE,即可求得∠BON.再根据“对顶角相等”即可求得∠COM的度数;
要求∠NOC的度数,根据邻补角的定义即可.
∵∠BOE=∠NOE,∴∠BON=2∠EON=2×
20°
=40°
,∴∠NOC=180°
-∠BON
-40°
=140°
,∠MOC=∠BON=40°
.∵AO⊥BC,∴∠AOC=90°
,∴∠AOM=
∠AOC-∠MOC=90°
=50°
,∴∠NOC=140°
,∠AOM=50°
(1)由两条直线互相垂直可以得出这两条直线相交所成的四个角中,每一个角都等于90°
;
(2)在相交线中求角度,一般要利用垂直、对顶角相等、余角、补角等知识.
类型二】运用垂线的概念判定两直线垂直
如图所示,已知OA⊥OC于点O,∠AOB=∠COD.试判断OB和OD的位置关系,
并说明理由.
由于OA⊥OC,根据垂直的定义,可知∠AOC=90°
,即∠AOB+∠BOC=90°
又∠AOB=∠COD,则∠COD+∠BOC=90°
,即∠BOD=90°
.再根据垂直的定义,得出OB⊥OD.
OB⊥OD.理由如下:
因为OA⊥OC,所以∠AOC=90°
,即∠AOB+∠BOC=90°
因为∠AOB=∠COD,所以∠COD+∠BOC=90°
,所以∠BOD=90°
,所以OB⊥OD.
由垂直这一条件可得两条直线相交构成的四个角为直角,反过来,由两条直线相交构成的角为直角,可得这两条直线互相垂直.判断两条直线垂直最基本的方法就是说明这两条直线的夹角等于90°
垂线的性质(垂线段最短)
路最短?
画出线路图,并说明理由.
连接AB,过点B作BC⊥MN即可.
连接AB,作BC⊥MN,C是垂足,线段AB和BC就是符合题意的线路图.因为从
A到B,线段AB最短,从B到MN,垂线段BC最短,所以AB+BC最短.
与垂线段有关的作图,一般是过一点作已知直线的垂线,作图的依据是“垂线段最短
探究点三:
点到直线的距离
(1)试说出点A到直线BC的距离;
点B到直线AC的距离;
(2)点C到直线AB的距离是多少?
BC的长;
(2)过点C作CD⊥AB,垂足为D.点C到直线AB的距离就是线段CD的长,可利用面积求得.
(1)点A到直线BC的距离是3;
点B到直线AC的距离是4;
(2)过点C作CD⊥AB,垂足为D.S△ABC=2BC·
AC=2AB·
CD,所以5CD=3×
4,所以
1212CD=5.所以点C到直线AB的距离为5.
垂线段的长度才是这一点到
点到直线的距离是过这一点作已知直线的垂线,直线的距离.
1.垂线的概念:
两条直线相交所成的四个角中,如果有一个角是直角,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.
2.垂线的作法
3.垂线的性质:
平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.
本节课学习了垂线的概念和垂线的性质,垂直是相交的一种特殊情况,要说明两条相交线的位置关系,一般都是垂直.垂线的两条性质中,不要遗漏条件“在同一平面内”,以保证定理的精确性.对于垂线的概念和性质,要让学生理解记忆
2.2探索直线平行的条件
第1课时利用同位角判定两条直线平行
1.理解并掌握同位角的概念,能够判定同位角并确定其个数;
2.能够运用同位角相等判定两直线平行;
(重点,难点)
3.理解并掌握平行公理及其推论,能够运用其解决实际问题.
数学来源于生活,生活中处处有数学,观察下面的图片,你发现了什么?
以上的图片中都有直线平行,这将是我们这节课学习的内容.二、合作探究探究点一:
同位角
【类型一】判断同位角
()
下列图形中,∠1和∠2不是同位角的是
选项A、B、D中,∠1与∠2在截线的同侧,并且在被截线的同一方向,是同位角,即在图中可找到形如“F”的模型;
选项C中,∠1与∠2没有公共直线,不是同位角.故选C.
判断两个角是否是同位角的有效方法——描图法:
①把两个角在图中“描画”
出来;
②找到两个角的公共直线;
③观察所描的角,判断所属“字母”类型是否为“F”型.
【类型二】
数同位角的个数
如图,直线l1,l2被l3所截,则同位角共有()
A.1对B.2对
C.3对D.4对
图中同位角有:
∠1和∠5,∠2和∠6,∠3和∠7,∠4和∠8共4对.故选D.
数同位角的个数时,应从各个方向逐一观察,避免重复或漏数.探究点二:
利用同位角判定两直线平行
如图,直线AB、CD分别与EF相交于点G、H,已知∠1=70°
,∠2=70°
,试
说明:
AB∥CD.
要说明AB∥CD,可转化为说明∠1与其同位角相等,这由∠2的对顶角容易证出.
因为∠2=∠EHD(对顶角相等),又因为∠2=70°
,所以∠EHD=70°
.因为∠1=
70°
,所以∠EHD=∠1,所以AB∥CD(同位角相等,两直线平行).
本题考查的是平行线的判定,熟知“同位角相等,两直线平行”是解答此题
平行公理及其推论
【类型一】
应用平行公理及其推论进行判断
的关键.
有下列四种说法:
(1)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;
(2)同一平面内,过一点能且只能
作一条直线与已知直线垂直;
(3)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短;
(4)平行于同一条直线的两条直线平行.其中正确的个数是()
A.1个B.2个
C.3个D.4个
根据平行公理、垂线的性质进行判断.
(1)过直线外一点有且只有一条直线与这
条直线平行,正确;
(2)同一平面内,过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直,正确;
(3)
直线
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