初中数学方差与频率分布复习教案 人教版文档格式.docx
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当一组数据中的数据较大时,可以依照简化平均数的计算方法,将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a,得到一组数据x`1=x1-a,x`2=x2-a,…x`n=xn-a,那么S2=
[(x`12+x`22+…+x`n2)-n
`2],也可写成S2=
(x`12+x`22+…+x`n2)-
`2.记忆方法是:
方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方.
3.标准差的定义和计算
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差,用“S”表示,即
S=
=
4.方差和标准差的意义
方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数,常用来比较两组数据的波动大小,我们所研究的权是这两组数据的个数相等、平均数相等或比较接近时的情况.
方差较大的数据波动较大,方差较小的数据波动较小.
5.频率分布的意义
前面学习的平均数与方差,反映了样本和总体的两个特征:
平均水平和波动大小.但是在许多问题中,只知道这些还不够,还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小,这就需要研究如何对一组数据进行整理,以便得到它的频率分布.
6.研究频率分布的一般步骤及有关概念
(1)研究样本的频率分布的一般步骤:
①计算极差(最大值与最小值的差);
②决定组距与组数;
③决定分点;
④列频率分布表;
⑤画出频率分布直方图.
(2)频率分布的有关概念:
①极差:
最大值与最小值的差;
②频数:
落在各个小组内的数据的个数;
③频率:
每一小组的频数与数据总体(样本容量n)的比值叫做这一小组的频率.
(3)几个重要的结论:
①各小组的频数之和等于数据总数;
②各小组的频率之和等于1;
③频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率,各小长方形面积之和等于1;
④各小长方形的高与该组频数成正比.
◆例题解析
例1甲、乙两个学习小组各4名学生的数学测验成绩如下(单位:
分)
甲组:
86828785乙组:
85818589
(1)分别计算这两组数据的平均数;
(2)分别计算这两组数据的方差;
(3)哪个学习小组学生的成绩比较整齐?
【分析】应用平均数计算公式和方差的计算公式求平均数和方差.
【解答】
(1)
甲=
(6+2+7+5)+80=85,
乙=
(5+1+5+9)+80=85.
(2)S甲2=
[(86-85)2+(82-85)2+(87-85)2+(85-85)2]=3.5,S乙2
[(85-85)2+(81-85)2+(85-85)2+(89-85)2]=8.
(3)∵S乙2>
S甲2,∴甲组学习成绩较稳定.
【点评】方差是反映一组数据波动大小的量.
例2为了迎接全市体育中考,某中学对全校初三男生进行了立定跳远项目测试,并从参加测试的500名男生中随机抽取了部分男生的测试成绩(单位:
m,精确到0.01m)作为样本进行分析,绘制了如图所示的频率分布直方图(每组含最低值,不含最高值).已知图中从左到右每个小长方形的高比依次为2:
4:
6:
5:
3,其中1.80~2.00这一小组的频数为8,请根据有关信息解答下列问题:
(1)这次调查的样本容量为______,2.40~2.60这一小组的频率为_____.
(2)请指出样本成绩的中位数落在哪一小组内,并说明理由;
(3)样本中男生立定跳远的人均成绩不低于多少米?
(4)请估计该校初三男生立定跳远成绩在2.00m以上(包括2.00m)的约有多少人?
【分析】样本容量是样本数据,不带单位,确定中位数时,首先将样本数据按大小排序后再求出,然后分析落在哪个小组.
(1)由于1.80~2.00小组的频数为8,占总份数中的4份,总份数是20分,故样本容量为:
8÷
=40.2.40~2.60这个小组的频率为3÷
20=0.15.
(2)由于样本容量是40,则中位数是第20人和第21人成绩的平均数,而第20人和第21人的成绩均在2.00~2.20这个小组,则中位数落在2.00~2.20这个小组.
(3)因为第一组到第五组人数依次为4人,8人,12人,10人,6人,则可求得样本中男生立定跳远的人均成绩不低于2.03m.
(4)初中男生立定跳远成绩在2.00m以上的约有
×
500=350(人).
【点评】频率分布直方图中各小组频率之和为1,掌握它是解题的关键.
◆强化训练
一、填空题
1.(2005,荆门市)已知数据:
1,2,1,0,-1,-2,0,-1,这组数据的方差为______.
2.(2005,宜昌市)甲、乙、丙三台包装机同时分装质量为400g的茶叶,从它们各自分装的茶叶中分别随机抽取了10盒,得到它们的实际质量的方差如下表所示.根据表中数据,可以认为三台包装机中,______包装机包装的茶叶质量稳定.
甲包装机
乙包装机
丙包装机
方差/g2
31.96
7.96
16.32
3.2005年沈阳市春季房交会期间,某公司对参加本次房交会的消费者进行了随机的问卷调查,共发放1000份调查问卷,并全部收回.根据调查问卷,将消费者年收入情况整理后,制成表1;
将消费者打算购买住房的面积的情况整理后,制成表2,并作出部分频率分布直方图(如图).
表1被调查的消费者年收入情况
年收入/万元
1.2
1.8
3.0
5.0
10.0
被调查的消费者数/人
200
500
70
30
表2被调查的消费者打算购买住房的面积的情况
分组/m2
频数
频率
40.5~60.5
0.04
60.5~80.5
0.12
80.5~100.5
0.36
100.5~120.5
120.5~140.5
0.20
140.5~160.5
合计
1000
1.00
注:
住房面积取整数
请你根据以上信息,回答下列问题:
(1)根据表1可得,被调查的消费者平均年收入为______万元;
被调查的消费者年收入的中位数是______万元;
在平均数,中位数这两个数中,更能反映出被调查的消费者年收入的一般水平;
(2)根据表2可得,打算购买100.5~120.5m2房子的人数是_____人;
打算购买住房面积不超过100m2的消费者的人数占被调查人数的百分数是____;
(3)在下图中补全这个频率分布直方图.
4.青少年视力水平的下降已经引起全社会的关注,某校为了了解初中毕业年级500名学生的视力情况,从中抽查了一部分学生视力,通过数据处理,得到如下频率分布表和频率分布直方图.
分组
3.95~4.25
2
4.25~4.55
6
4.55~4.85
25
4.85~5.15
5.15~5.45
合计
请你根据给出的图表回答:
(1)填写频率分布表中未完成部分的数据.
(2)在这个问题中,总体是________,样本容量是________.
(3)在频率分布直方图中,梯形ABCD的面积是______.
(4)请你用样本估计总体,可以得到哪些信息(写一条即可):
________.
5.甲,乙两种产品进行对比试验,得知乙产品比甲产品的性能更稳定,如果甲,乙两种产品抽样数据的方差分别是S甲2与S乙2,则它们的方差的大小关系是_______.
6.已知:
一组数据-1,x,1,2,0的平均数是0,这组数据的方差是_____.
7.若样本数据1,2,3,2的平均数是a,中位数是b,众数是c,则数据a,b,c的标准差是_______.
8.若已知一组数据:
x1,x2,…,xn的平均数为x,方差为S2,那么另一组数据:
3x1-2,3x2-2,…,3xn-2的平均数为______,方差为______.
二、选择题
9.在一次射击练习中,甲,乙两人前5次射击的成绩分别为(单位:
环)
甲:
10810107乙:
7109910
则这次练习中,甲,乙两人方差的大小是()
A.S甲2>
S乙2B.S甲2<
S乙2C.S甲2=S乙2D.无法确定
10.已知甲,乙两组数据的平均数相等,若甲组数据的方差S甲2=0.055,乙组数据的方差S乙2=0.105,则()
A.甲组数据比乙组数据波动大B.乙组数据比甲组数据波动大
C.甲组数据与乙组数据的波动一样大D.甲,乙两组数据的波动大小不能比较
11.(2005,宜昌市)衡量样本和总体的波动大小的特征数是()
A.平均数B.众数C.标准差D.中位数
12.某少年军校准备从甲,乙,丙三位同学中选拔一人参加全市射击比赛,他们在选拔比赛中,射靶十次的平均环数是
丙=8.3,方差分别是S甲2=1.5,S乙2=2.8,S丙2=3.2.那么,根据以上提供的信息,你认为应该推荐参加全市射击比赛的同学是()
A.甲B.乙C.丙D.不能确定
13.(2005,广州市)甲,乙两人在相同情况下,各射靶10次,两人命中环数的平均数是
乙=7,方差S甲2=1.0,S乙2=1.2,则射击成绩较稳定的是()
A.甲B.乙C.一样D.不能确定
14.为参加电脑汉字输入比赛,甲和乙两位同学进行了6次测试,成绩如表所示:
甲和乙两位同学6次测试成绩(每分钟输入汉字个数)及部分统计数据表
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
平均数
方差
甲
134
137
136
136
137
1.0
乙
135
有四位同学在进一步算得乙测试成绩的方差后分别作出了以下判断,其中说法正确的是()
A.甲的方差大于乙的方差,所以甲的成绩比较稳定
B.甲的方差小于乙的方差,所以甲的成绩比较稳定
C.乙的方差小于甲的方差,所以乙的成绩比较稳定
D.乙的方差大于甲的方差,所以乙的成绩比较稳定
15.在一次科技知识竞赛中,两组学生成绩统计如下表,通过计算可知两组的方差为S甲2=172,S乙2=256.下列说法:
①两组的平均数相同;
②甲组学生成绩比乙组学生成绩稳定;
③甲组成绩的众数>
乙组成绩的众数;
④两组成绩的中位数均为80,但成绩≥80的人数甲组比乙组多,从中位数来看,甲组成绩总体比乙组好;
⑤成绩高于或等于90分的人数乙组比甲组多,高分段乙组成绩比甲组好.其中正确的共有()
分数
50
60
80
90
100
人
数
甲组
5
10
1
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