最新微积分的基本运算.docx

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最新微积分的基本运算

微积分的基本运算

第4章微积分的基本运算

本章学习的主要目的：

1．复习高等数学中有关函数极限、导数、不定积分、定积分、二重积分、级数、方程近似求解、常微分方程求解的相关知识.

2．通过作图和计算加深对数学概念：

极限、导数、积分的理解.

3．学会用MatLab软件进行有关函数极限、导数、不定积分、级数、常微分方程求解的符号运算；

4．了解数值积分理论,学会用MatLab软件进行数值积分;会用级数进行近似计算.

1有关函数极限计算的MatLab命令

（1）limit（F,x,a）执行后返回函数F在符号变量x趋于a的极限

（2）limit（F,a）执行后返回函数F在符号变量findsym（F）趋于a的极限

（3）limit（F）执行后返回函数F在符号变量findsym（F）趋于0的极限

（4）limit（F,x,a,’left’）执行后返回函数F在符号变量x趋于a的左极限

（5）limit（F,x,a,’right’）执行后返回函数F在符号变量x趋于a的右极限

注:

使用命令limit前,要用syms做相应符号变量说明.

例7求下列极限

（1）«SkipRecordIf...»

在MatLab的命令窗口输入:

symsx

limit（（cos（x）-exp（-x^2/2））/x^4,x,0）

运行结果为

ans=-1/12

理论上用洛必达法则或泰勒公式计算该极限:

方法1«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

方法2«SkipRecordIf...»

«SkipRecordIf...»

（2）«SkipRecordIf...»%自变量趋于无穷大,带参数t

在MatLab的命令窗口输入:

symsxt

limit（（1+2*t/x）^（3*x）,x,inf）

运行结果为

ans=exp（6*t）

理论上用重要极限计算:

«SkipRecordIf...»

（3）«SkipRecordIf...»%求右极限

在MatLab的命令窗口输入:

symsx

limit（1/x,x,0,’right’）

运行结果为

ans=inf

2有关函数导数计算的MatLab命令

（1）diff（F,x）表示表达式F对符号变量x求一阶导数，允许表达式F含有其他符号变量，若x缺省，则表示对由命令syms定义的变量求一阶导数。

（2）diff（F,x,n）表示表达式F对符号变量x求n阶导数。

例10求下列函数的导数

（1）已知«SkipRecordIf...»,求«SkipRecordIf...»；

在MatLab的命令窗口输入如下命令序列:

symsx

y=x*asin（x/2）+sqrt（4-x^2）

diff（y,x）%执行结果ans=asin（1/2*x）与理论推导«SkipRecordIf...»完全吻合。

diff（y,x,3）%执行结果ans=1/（4-x^2）^（3/2）*x与理论推导«SkipRecordIf...»完全吻合。

（2）已知«SkipRecordIf...»,求«SkipRecordIf...»

在MatLab的命令窗口输入如下命令序列:

symsxyz

z=x^2*sin（2*y）;

diff（z,x）%执行结果ans=2*x*sin（2*y）

diff（z,x,2）%执行结果ans=2*sin（2*y）

diff（diff（z,x）,y）%执行结果ans=4*x*cos（2*y）

（3）已知«SkipRecordIf...»,求«SkipRecordIf...»（复合函数求导偏导数）

在MatLab的命令窗口输入如下命令序列:

symsxyzu

z=x^2+y^2;

u=（x-y）^z;

diff（u,x）%执行结果«SkipRecordIf...»（x-y）^（x^2+y^2）*（2*x*log（x-y）+（x^2+y^2）/（x-y））

diff（u,y,2）%执行结果«SkipRecordIf...»（x-y）^（x^2+y^2）*（2*y*log（x-y）-（x^2+y^2）/（x-y））^2+

（x-y）^（x^2+y^2）*（2*log（x-y）-4*y/（x-y）-（x^2+y^2）/（x-y）^2）

diff（diff（u,x）,y）%执行结果«SkipRecordIf...»（x-y）^（x^2+y^2）*（2*y*log（x-y）-

（x^2+y^2）/（x-y））*（2*x*log（x-y）+（x^2+y^2）/（x-y））+（x-y）^（x^2+y^2）*（-2*x/（x-y）

+2*y/（x-y）+（x^2+y^2）/（x-y）^2）

3极值问题

MatLab软件提供了求一元和多元函数极值问题的命令：

fmin（f,x1,x2）求函数f（x）在x1

fmins（'f',[x1,x2]）,求二元函数在点（x1x2）附近的极值点。

例12求函数«SkipRecordIf...»的极值，并作图。

在MatLab的命令窗口输入如下命令序列:

symsx

f=2.*x.^3-6.*x.^2-18.*x+7;

xmin=fmin（'2.*x.^3-6.*x.^2-18.*x+7',-5,5）

x=xmin;

miny3=subs（f）

a31='-2.*x.^3+6.*x.^2+18.*x-7';

xmax=fmin（a31,-5,5）

x=xmax;

maxy3=subs（f）

fplot（'2.*x.^3-6.*x.^2-18.*x+7',[-55]）

gridon

执行结果：

xmin=3.0000%在x＝3处取极小值

miny3=-47.0000%极小值为－47

xmax=-1.0000%在x＝－1处取极大值

maxy3=17.0000％极大值为17

图15

4方程的数值求解方法

fzero（‘f’，x0）%在x＝x0附近求f（x）=0的近似解。

例14用MatLab函数、编程二分法、切线法三种方法求方程«SkipRecordIf...»的实根的近似值，使误差不超过«SkipRecordIf...»。

解令«SkipRecordIf...»,显然f（x）在«SkipRecordIf...»内连续。

因为«SkipRecordIf...»，故f（x）在«SkipRecordIf...»内单调递增，«SkipRecordIf...»至多有一个实根。

由«SkipRecordIf...»，知«SkipRecordIf...»在[0,1]内有唯一的实根。

取a=0,b=1,[0,1]即是一个隔离区间。

先画出函数f（x）的图形,如图17,

在MatLab的命令窗口输入如下命令：

f='x^3+1.1*x^2+0.9*x-1.4'

fplot（f,[0,1]）

gridon图17

f='x^3+1.1*x^2+0.9*x-1.4'

fzero（f,1）

运行结果为：

ans=0.6707

5有关计算函数不定积分的MatLab命令

int（f）求函数f关于syms定义的符号变量的不定积分；

int（f,v）求函数f关于变量v的不定积分。

注：

MatLab在不定积分结果中不自行添加积分常数C

例15用MatLab软件，计算下列不定积分

«SkipRecordIf...»

在MatLab的命令窗口输入如下命令：

symsx

int（'x^3*exp（-x^2）',x）

执行结果：

ans=-1/2*x^2/exp（-x^2）-1/2/exp（-x^2）

6有关计算函数定积分的MatLab命令

int（f,a,b）求函数f关于syms定义的符号变量从a到b的定积分；

int（f,v,a,b）求函数f关于变量v从a到b的定积分。

例17用MatLab软件求下列定积分：

（1）«SkipRecordIf...»

（2）«SkipRecordIf...»

在MatLab的命令窗口输入如下命令序列:

（1）symsx;

y=log（x）*x^（-0.5）;

int（y,1,4）

运行结果:

ans=8*log

（2）-4

（2）symsx;

y=（x*（1+x）^3）^（-0.5）;

int（y,x,0,inf）

8二重积分

目前,MatLab还没有求二重积分的命令,我们用定积分的int命令,结合函数图形的观察,完成对二重积分的计算.

例19计算«SkipRecordIf...»,其中D为直线«SkipRecordIf...»围成区域.

具体步骤如下:

（1）划定积分区域:

symsx

y1=2*x;

y2=x/2;

y3=12-x;

ezplot（y1,[-2,12]）

holdon

ezplot（y2,[-2,12]）

ezplot（y3,[-2,12]）

title（'积分区域'）

结果如图20,三条直线相交所围区域即为积分区域.

（2）确定交点的横坐标:

xa=fzero（'2*x-x/2',0）

xb=fzero（'2*x-12+x',4）

xc=fzero（'12-x-x/2',8）图20

结果为:

xa=0

xb=4

xc=8

（3）化二重积分«SkipRecordIf...»为累次积分«SkipRecordIf...».

在MatLab的命令窗口输入:

symsxyz

z=x^2/y^2;

dx1=int（z,y,x/2,2*x）;j1=int（dx1,0,4）;

dx2=int（z,y,x/2,12-x）;j2=int（dx2,4,8）;

jf=j1+j2

结果为:

jf=132-144*log

（2）

9MatLab级数求和命令:

symsum（s）%s为待求和的级数的通项表达式,求出关于系统默认变量如k从0到k-1的级数有限项的和,如不能确定s的默认变量,则用findsym（s）来查.

symsum（s,v）%v为求和变量,求出v由0到v-1的级数有限项的和.

symsum（s,v,a,b）%求出v由a到b的级数有限项的和.

例22symsk

simple（symsum（k））1/2*k*（k-1）

simple（symsum（k,0,n-1））1/2*n*（n-1）

simple（symsum（k,0,n））1/2*n*（n+1）

simple（symsum（k^2,0,n））1/6*n*（n+1）*（2*n+1）

symsum（k^2,0,10）385

symsum（k^2,11,10）0

symsum（1/k^2,1,Inf）1/6*pi^2

10幂级数

MatLab完成泰勒展开命令:

下面f代表待展开的函数表达式,

taylor（f）%求出函数f关于系统默认变量的麦克劳林型的6阶近似展开.

taylor（f,n）%求出函数f关于系统默认变量的麦克劳林型的n阶近似展开.

taylor（f,v）%求出函数f关于变量v的麦克劳林型的6阶近似展开.

taylor（f,a）%求出函数f关于系统默认变量等于a处的麦克劳林型的6阶近似展开.

taylor（f,n,v,a）%求出函数f关于变量v等