数列例题含答案docWord格式.docx
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ny4n
2.等差数列{%}中,a2=4,a4+a7=15.
(I)求数列{如}的通项公式;
(II)设bn=2J2+n,求bi+b2+b3+・・・+bio的值.
解得「1一3ld=l
所以an=3+(n-1)=n+2;
(Il)bn=2J^+n=2n+n,
所以bi+b2+b3+...+bio=(2+1)+(22+2)+...+(210+10)=(2+22+...+210)+(1+2+...+10)
2(1-210)(1+10)X10oini
1-22
3.已知数列{10g2(an・l)}(nEN*)为等差数列,且a1=3,a3=9.(I)求数列{如}的通项公式;
(II)证明一—+——+•••+——丄一<
1・a2~ala3~a2an+l~an
【解答】
(I)解:
设等差数列{log2(an・1)}的公差为d.
由aj=3,213=9得2(log22+d)=log22+log28>
即d=l・所以log2(an-1)=1+(n-1)xl=n,即an=2n+1.
(II)证明:
因为——-——=-—^——=—,
an+l~an2n1-2n2n
所以一-—+—-—+...+二斗丄+2+...」=——=1
a2~ala3~a2an+l~an2】2,2」2“1-当2n
2
即得证.
4.已知{a.}是正数组成的数列,纲二1,且点(屁,an+1)(nEN:
)在函数y=x2+l的图象
(I)求数列{如}的通项公式;
(II)若列数{bn}满足bi=l,bn+l=bn+2an,求证:
5呱+2Vg+l?
.
解法一:
(I)由已知得an+i=an4-l>
即an+i-an=l,又a〕=l,所以数列{an}是以1为首项,公差为1的等差数列.故an=1+(n-1)xl=n.
(II)由(I)知:
an=n从而bn+i-bn=2n.
bn=(bn~bn-1)+(bn.1*bn-2)+•••+(b2*bj)+bi=2n'
1+2n'
2+...+2+l
2n(bi-2)
-2n<
・・bn・bn+2<
5+1
5.已知等差数列{a*}满足ai+a2=10,a4-a^=2
(1)求{an}的通项公式;
(2)设等比数列{"
}满足b2=a3,b3N7,问:
b6与数列{细}的第几项相等?
【解答】解:
(I)设等差数列{和的公差为d.
a4-a3=2,所以d=2
Vai+a2=10,所以2ai+d=10
Abg=4X26_1=128,而128=2n+2•:
n=63
・・.b6与数列{a訂中的第63项相等
6.设等差数列仙}的前n项和为S”H.as+a13=34,S3=9.
(1)求数列{如}的通项公式及前n项和公式;
(2)设数列{bn}的通项公式为b二一,问:
是否存在正整数t,使得b],b2,bin(m>
3,nan+t
mGN)成等差数列?
若存在,求出t和m的值;
若不存在,请说明理由.
(1)设等差数列心“}的公差为d.由已知得
(2)[Il
(1)
2n—I
知b二cr•要使bi,b2,bm成等差数列,必须2b2二bi+bnv
n2n_1+t
即2X3
_+-2in~1,(8分).
3+t1+t2m-1+t
移项得:
壬一丄二申字L,
2id_1+t3+t1+t(3+t)(1+t)
整理得昉彳+占,
t-1
因为m,t为正整数,所以t只能取2,3,5.当t=2时,m=7;
当t=3时,m=5;
当(=5时,m=4.故存在正整数t,使得b|,b2,bg成等差数列.
7.设{如}是等差数列,b„=d)an.已知b]+b2+b3二豎,b]b2b3=g.求等差数列的通项an.
288
设等差数列{细}的公差为d,则an=ai+(n-1)d.
.疗
(1)aZ-l)d
b.b3=
(1)5.(£
)幻+2J申24严电2
由b]b2b3=g,得b23=-^»
88
解得b2=l.
代入已知条件<
blb2b3^
21
bl+b2+b3=l■-
bib3=i
bl+b3=V'
解这个方程组得b]=2,&
3=当或山=吉,b3=2
•e.a)=-1,d=2或a)=3>
d=-2.所以,当ai=-1,d=2时an=a)+(n-1)d=2n-3・
当ai=3,d=-2时
an=ai+(n-1)d=5-2n.
8.已知等差数列闵}的公差大于0,.H.a3,巧是方程x2-14x+45=0的两根,数列{g}的前n项的和为Sn,且Sn=l
乙
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)记Cn=3nbn>
求证Cn+l—Cn«
(1)Tas,as是方程x2-14x4-45=0的两根,_FL数列{a“}的公差d>
0,
••』3=5,a5=9,公差d~-2.
5-3
/.an=a5+(n-5)d=2n-1.
又当时,有b]»
i・务,・・・切二■!
・•
当r>
2时,有b/Sn-Sn-g<
bn-!
-bn),・••占諾(n》2).
乙Mn_1
・・・数列{bn}是等比数列,切€,q冷.
OO
・k-k二
_2(2n+l)Cn+1-3“+1
•,bn-blq-彳丫
亠-2(2n-l)
(2)由(I)知Cn二二——,
8(1-n)
nnn
2(2n+l)2(2n-l)
cn+lcn~3^+12n—3廿1
••cn+l-crv
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S5=35,和a?
的等差中项为13・
(I)求如及Sn;
d4
(II)令b肿「一(nGN),求数列{bn}的前n项和Tn.
證-1
(I)设等差数列{an}的公差为d,
因为S5=5a3=35,35+37=26,
解得ai=3,d=2,...(4分)
所以an=3+2(n-I)=2n+l;
Sn=3n~x2=n2+2n・...(6分)
(8分)
(II)由(I)知an=2n+1,
所以bn-
=1_1
~nn+1
所以Tf(V)+Q送)+…+(歸)»
岛侖,2分)
10.已知等怎数列{如}是递增数列,H•满足a4ea7=15,a3+a8=8.
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)令bn二一-——(n>
2),bi=g,求数列{%}的前n项和Sn.
9an-lan3
(1)根据题意:
a34-ag=8=a4+a7,04*37=15,知:
g,幻是力程x2-8x+15=0的两根,且a4<
a7
解得如=3,a7=5,设数歹1」血}的公差为d
由巧二*4+(7_4)陀,得故等差数列曲的通项公式为:
an=a4+(n-4)・d二3+(n~4)詣二畔
(2)
2(2^T'
dr:
:
l
11.设f(x)=x3,等差数列{a*}中a3=7,ai+a2+a3=12,记Sn=f(冷&
十】),令bn=anSn,数列{*}的前n项和为Tn・
bn
(I)求{a.}的通项公式和Sn;
(II)求证:
T<
-^;
n3
(HI)是否存在正整数m,n,且IVm<
n,使得T|,Tm,G成等比数列?
若存在,求出m,n的值,若不存在,说明理由.
(I)设数列{a*}的公差为d,由a3=ai+2d=7,a1+a2+a3=3a1+3d=12.
解得ai=l,d=3/.an=3n-2
•**f(x)=x3ASn=f(和廿詁=an+i=3n+l.
(II)bn=anSn=(3n-2)(3n+l)
・••丄二^~~4(亠—亠八・・T4(1一丄)V
bn(3n_2)(3n+l)33n_23n+ln33n+l3
(III)由
(2)知,T二~^—・・・T、二丄,T
n3n+l4
./id\21n即6irr+l3n+4
•3irrFl=43n+l
当mn7时,m2-6m-1=(m-3)2-l()>
0,则如学<
1,而西邑二3畀>
3,m2nn
所以,此时不存在正整数m,n,且1<
m<
n,使得T],Tm,G成等比数列.
综上,存在正整数m=2,n=16,Kl<
n,使得Ti,Tm,T“成等比数列.
12.已知等差数列&
}的前n项和为Sn=pn2-2n+q(p,qGR),nGN+.
(I)求的q值;
(II)若ai与as的等差中项为18,%满足an=21og2bn,求数列{g}的前n和口・
(I)当n=l吋,ai=Si=p-2+q
当n>
2时,an=Sn-Sn-i=pn-2n+q-p(n-1)+2(n-1)-q=2pn-p-2V{a„}是等差数列,ai符合42时,an的形式,
p-2+q=2p-p-2,
q=0
ai+ac
(II)••冷3二;
,由题意得a3=18
又a3=6p-p-2,6p-p-2=18,解得p=4
•Ian=8n-6
由an=21og2bn,得bn=24n'
3.
bq4(n+1)~3
・・・b产2,浮二一二2"
1二16,即血}是首项为2,公比为16的等比数列
1bn24n'
3
,.数列{bn}的前n项和T#(二J)舞(16^-1)•
13.已知等差数列心計的前n项和为Sn,R满足:
a2+34=14,S?
=70.
(I)求数列an的通项公式;
(II)设bn=2Sn+48>
数列九的最小项是第儿项,并求出该项的值.
n
"
2»
+4d二14【解答】解:
(I)设公差为d,则有彳b”...(2分)
i+21d二70
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