复变函数与积分变换重要知识点归纳docx文档格式.docx
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z=|ze旧,其中日=argz。
(二)复数的运算
1.加减法:
若z^x!
iy1,z2^x2iy2,贝U乙—z:
p*—x:
'
i屮-y
2乘除法:
1)若z,iyi,Z2=X2iy2,贝U
Z1Z2二X1X2—y』2'
iX2y「x』2;
乙_为iy1_为iy1X2-iy2
Z2X2iy2X2iy2x-iy2
X1X2%y2.i
2丄2i
X2y2
2
y2
2)若乙=乙e"
互=|z2e&
贝»
Z1Z2=
Z1Z2
e严);
z1-
Z1
e"
)
11
Z2
3.乘幂与方根
1)若z=z(cos。
+isin日)=ze旧,贝Uz"
=z"
(cosn日+isin附)=z"
e'
^。
2)若z=z(cos^+isin日)=|ze'
&
,贝
vz=z|n"
cos日+恥+isin日*2心i(k=o,1,2…n_1)(有n个相异的值)
Inn丿
(三)复变函数
1•复变函数:
w=fz,在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.
2•复初等函数
1)指数函数:
e^excosyisiny,在z平面处处可导,处处解析;
且ez=ez。
ez是以2二i为周期的周期函数。
(注意与实函数不同)
3)对数函数:
Lnz=lnz+i(argz+2k巧(k=0,±
1,±
2「)(多值函数);
主值:
lnz=lnz+iargz。
(单值函数)
Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处
解析,且lnz」;
z
负复数也有对数存在。
(与实函数不同)
3)乘幕与幕函数:
a—ebLna(a=0);
zb=ebLnz(z丸)
在除去原点及负实轴的z平面内处处解析,且zb1bzb,。
4)三角函数:
iziz
e-e
sinz=
2i
iz-iz
eesinzcosz
cosz,tgz,ctgz=
2coszsinz
sinz,cosz在z平面内解析,且sinz)=cosz,(cosz)=-sinz
有界性sinz"
cosz<不再成立;
z_zZ_z
4)双曲函数shz=e—,ch^=ee;
22
shz奇函数,chz是偶函数。
sh,zchSzz平面内解析,且
(sh*=cQzjchz。
shz
(四)解析函数的概念
1.复变函数的导数
1)点可导:
fzo=啊丄宁^;
2)区域可导:
fz在区域内点点可导。
2.解析函数的概念
1)点解析:
fz在zo及其z的邻域内可导,称fZ在zo点解析;
2)区域解析:
fz在区域内每一点解析,称fz在区域内解析;
3)若f(z)在Zo点不解析,称zo为fz的奇点;
3.解析函数的运算法则:
解析函数的和、差、积、商(除分母为
零的点)仍为解析函数;
解析函数的复合函数仍为解析函数;
(五)函数可导与解析的充要条件
1.函数可导的充要条件:
fZ=ux,yivx,y在xiy可导
―ux,y和vx,y在x,y可微,且在x,y处满足C-D条件:
.:
-u
v
z启
ex
此时,2.函数解析的充要条件:
fz=ux,y•ivx,y在区域内解析
:
=ux,y和vx,y在x,y在D内可微,且满足C一D条件:
_:
u;
v;
u
IIIIIIII__■,
x.:
y.:
yx,
此时f/“兰。
exex
注意:
若ux,y,vx,y在区域D具有一阶连续偏导数,则Ux,y,vx,y
在区域D内是可微的。
因此在使用充要条件证明时,只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足C-R条件时,函数f(z)=u・iv—定
是可导或解析的。
3.函数可导与解析的判别方法
1)利用定义(题目要求用定义,如第二章习题1)
2)利用充要条件(函数以fz=ux,yivx,y形式给出,如第二章习题2)
3)利用可导或解析函数的四则运算定理。
(函数fz是以z的形式给出,如第二章习题3)
(6)复变函数积分的概念与性质
n
1.复变函数积分的概念:
Jf(z)dz=li冬送f(匚畑,C是光滑曲线。
km
复变函数的积分实际是复平面上的线积分。
2.复变函数积分的性质
1).cfzdz八c丄fzdz(cJ与c的方向相反);
2)炉f(z)+Pg(zjdz[f(zJdz+B[g(z)dz,a,B是常数;
3)若曲线c由c与c连接而成,则Jf(z)dz=Jf(z)dz+Jf(z)dz。
1c2
3.复变函数积分的一般计算法
1)化为线积分:
[f(z)dz=|;
udx—vdy+i[vdx+udy;
(常用于理论证明)
2)参数方法:
设曲线c:
Z=Zt(〉乞t—),其中:
对应曲线c的起
点,P对应曲线c的终点,贝yJf(Z[fjZTt(Z。
tdt
cOt
(7)关于复变函数积分的重要定理与结论
1.柯西一古萨基本定理:
设fz在单连域B内解析,c为B内任一闭曲线,则
j'
jfzdz=0
c
2.复合闭路定理:
设fz在多连域D内解析,c为D内任意一条简单闭曲线,ci,c2,…cn是c内的简单闭曲线,它们互不包含互不相交,并且以GG,…cn为边界的区域全含于D内,贝U
1區fzdz•fzdz,其中c与Ck均取正向;
ck=1Ck
2\fzdz=0,其中-由c及c」(k=1,2,n)所组成的复合闭路。
r
3.闭路变形原理:
一个在区域D内的解析函数fz沿闭曲线c的积分,不因c在D内作连续变形而改变它的值,只要在变形过程中c不经过使fz不解析的奇点。
4.解析函数沿非闭曲线的积分:
设fz在单连域B内解析,Gz
为f(z)在B内的一个原函数,贝U『2f(z)dz=G(Z2)-GU)⑵,z2^B)
z1
说明:
解析函数fz沿非闭曲线的积分与积分路径无关,计算时只要求出原函数即可。
5。
柯西积分公式:
设fZ在区域D内解析,c为D内任一正向简单闭曲线,c的内部完全属于D,Z0为c内任意一点,则
二ifzoZ_Zo
6.高阶导数公式:
解析函数fZ的导数仍为解析函数,它的n阶
导数为
(n=1,2)
其中c为fZ的解析区域D内围绕Zo的任何一条正向简单闭曲线,
而且它的内部完全属于D
7.重要结论:
n1
(z-a)
dZ
2二i,
0,
n=0
n=0
(c是包含a的任意正向简单闭曲
线)
复变函数积分的计算方法
1)若fz在区域D内处处不解析,用一般积分法
cfzdz「f[zt]ztdt
2)设fz在区域D内解析,
c是D内一条正向简单闭曲线,则由柯西一古萨定理,Ncf(z)dz=0
c是D内的一条非闭曲线,Z1,Z2对应曲线c的起点和终点,则有
cfzdz二fzdz=FZ2-F乙
cZ|
3)设fz在区域D内不解析
曲线c内仅有一个奇点
f(z)缈〔z=2兀i
'
—Z。
石f(Z).耳dz=
-c(Z—Zd)
fZo
—nn!
(f(z)在c内解析)
曲线c内有多于一个奇点:
Nf(z)dz=wNf(Z)dz(c,内只有一个奇
k#ck
或:
[fzdz=2二宀Res[f(z),zk](留数基本定理)
ck」
若被积函数不能表示成fZn1,则须改用第五章留数定理来计
(Z-Z。
算
算。
(八)解析函数与调和函数的关系
1.调和函数的概念:
若二元实函数(x,y)在D内有二阶连续偏导数
且满足一7—2=0,
txcy
(x,y)为D内的调和函数。
2.解析函数与调和函数的关系
解析函数fZ二uiv的实部u与虚部V都是调和函数,并称虚部V
为实部u的共轭调和函数。
两个调和函数u与V构成的函数f(z)=uiv不一定是解析函数;
但
是若U,v如果满足柯西一
黎曼方程,则u•iv—定是解析函数。
3.已知解析函数fZ的实部或虚部,求解析函数fZ=uiv的方法。
1)偏微分法:
若已知实部U二ux,y,利用C-R条件,得二浮;
excy
(*)
对-v二出两边积分,得v=—dygx:
y:
x:
再对(*)式两边对x求偏导,得
-vu
=I
.x:
匸女ygx(**)
gx,可求出gX;
由C-R条件,2=3,得旦-卫dy
tyexcycx\exj
代入(*)式,可求得虚部-dygx。
2)线积分法:
若已知实部u=uxy,利用C-R条件可得dv=兰dx兰dy二一-Udx丄dy,
exdycyex
故虚部为v=("
)—旦dx+空dy+c;
fo’y。
)£
yex
由于该积分与路径无关,可选取简单路径(如折线)计算它,其
中xo,yo与x,y是解析区域中的两点。
3)不定积分法:
若已知实部u二ux,y,根据解析函数的导数公式和C-R条件得知,
打、£
udvcucu
fz=——i——=——-i——
ex£
yexcy
将此式右端表示成z的函数Uz,由于fz仍为解析函数,故
fz=Uzdz•c(c为实常数)
若已知虚部V也可用类似方法求出实部U.
(九)复数项级数
1.复数列的极限
1)复数列{〉n}={anibn}(n=1,2…)收敛于复数〉=abi的充要条件为
nima^a,lnmb^b(同时成立)
2)复数列{:
n}收敛=实数列{an},{bn}同时收敛。
2.复数项级数
1)复数项级数二:
nCn二an•4)收敛的充要条件是级数与'
b同
n=0n=0n=0
时收敛;
2)级数收敛的必要条件是nm>
n=o。
复数项级数的敛散性可以归纳为两
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