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刚才的二个小题都有一定的规律,同学们做的很好。
今天在上新课之前,老师给大家带来了一个非常重要的图形,一定要注意观看啊。
(课件出示一个圆点)。
生:
老师,就是一个圆点啊。
是啊,点是几何中最基本的图形,可别小看这个点。
许多点排列起来就组成一个有趣的点阵,比如:
我们常玩的五子棋,围棋(出示五子棋,围棋的图片)都是由各个点组成的点阵。
其实,两千多年前,希腊的数学家就开始研究点阵了。
这节课,我们也来尝试研究点阵的规律,好吗?
(板书课题——点阵中的规律)。
二.课中参与,兴趣正浓:
1、出示点阵,提出问题
(出示点阵),这就是他们当时研究过的一组点阵,请大家用数学的眼光仔细观察,看一看每个点阵中分别有多少个点?
第一个点阵有1个点,第二个点阵有4个点,第三个点阵有9个
2
点,第四个点阵有16个点。
你能说一说你是怎么得到每个点阵中点的个数的吗?
我是通过数出每个点阵中点的个数得到的。
谁还有不同的方法?
我是通过计算得到的。
能具体说一说是怎样通过计算得到的吗?
第一个点阵有1个点;
第二个点阵可以看成边长是2的正方形,共有2×
2=4个点;
第三个点阵可以看成边长是3的正方形,共有3×
3=9个点;
第4个点阵可以看成边长是4的正方形,共有4×
4=16个点。
2、探索点阵中的规律
刚才,我们在研究这一组点阵中点的个数时,同学们研究得非常好,但是如果每个点阵中点的个数再多一些,又该怎样求出点阵中点的个数呢?
(同桌之间讨论、交流)
谁来汇报讨论的情况?
3
我们分析了前面几个点阵图的特点,认为在这个点阵图中,点的个数的规律是:
1×
1,2×
2,3×
3,4×
4,……也就是n×
n
总结得非常好。
也就是说:
用“横排数×
竖排数”,对吗?
(板书)你们能根据这一规律说出第五个点阵有多少个点,并画出此图形吗?
(学生下面画第五个点阵图,展示)
为什么这样画?
因为前面四个都可以看作正方形,所以第五个图也是正方形。
说得很好。
请同学们再想一想,如果我们把第5个点阵中的点,按照这样的方法进行划分(出示教材第82页第(3)题图),看看你有什么发现?
(小组内讨论交流)
小组代表汇报。
(总结)每用折线画一次后,点阵中的个数是:
1=1
1+3=4
4
1+3+5=9
1+3+5+7=16
………………
(总结)这样划分后,点阵中的规律是:
1,1+3,1+3+5,1+3+5+7,……所有奇数相加的和。
真了不起。
这种划分方法,我们可以叫做“折线划分法”。
通过研究点阵,我们发现这组正方形点阵中有很多规律。
能用刚才的方法来研究长方形的点阵吗?
可以。
课件出示一组长方形的点阵。
(1)观察下列点阵,并在括号里填上适当的算式。
2,2×
3,3×
4,4×
5
这也是我们的方法之一,也就是“横排数×
竖排数”。
你们能画出第5个点阵吗?
请同学们在下面画,画好的请举手。
展示部分同学的作品,说:
“请同学们和我的对一下,看是不是一样。
”师:
另外,还有折线法,有兴趣的同学请在课下研究,看一看用折线
5
法是奇数相加还是偶数相加?
还可以用两个两个数,斜着一层一层
数,在这儿我们就不研究了。
【
(1)横排×
竖排:
(2)折线划分法:
2,2+4,2+4+6,2+4+6+8,2+4+6+8+10
(3)两个两个数:
2,6×
2,10×
2,15×
2
(4)斜着一层一层数:
1+1,1+2+2+1,1+2+3+3+2+1,1+2+3+4+4+3+2+1】
同学们真善于发现和创造规律。
除了正方形和长方形点阵外,还有很多其它形状的点阵,我们研究他们,同样会有很大的收获。
看看,这是一组什么形状的点阵?
(课件出示三角形点阵图),根据你发现的规律画出第五个点阵。
请在下面画,画好的请和我的对一下,看一看你画的对吗?
请同学们在仔细观察这幅图,你能横着一层一层数的方法,表示你发现的规律吗?
第一层:
1=1
第二层:
1+2=3
第三层:
1+2+3=6
6
第四层:
1+2+3+4=10
第五层:
1+2+3+4+5=15
同学们发现的很好,那如果我们竖着一层一层数的方法你能发现什么规律?
是的,同学们发现的很好。
三.应用新知,兴趣优在:
其实,点阵是灵活多样的,每个点阵都有自己的规律。
(课件出示练一练第1题)观察下图中的几个图形,小组内说说他们的规律,然后把规律写下不,也可以写在书P83面练一练的第一题上。
出示课件第二题,观察下图已有的几个图形,按规律画出下一个图形,也可以在书上P83面第二题上画下来。
7
画好的请和我的对一下,看看你画的对吗?
继续出示课件,选择一个对的。
(两个小题)
请看第3题,观察鱼的排列规律,在“?
”处画上鱼图。
你画对了吗?
(看上面白的,斜着看)
第4小题,请从下面六个图中选择一个合适的填在“?
”处。
(先看上面的横着看:
应选1,3,再看下面,白黑黑,黑黑白,黑白黑,只能选3。
请看图,应如何画下面的呢?
(顺时针)
四.课末设计,兴趣高涨:
刚才,我们共同研究了一些点阵的规律。
现在,你想自己设计一个点阵吗
想。
好。
接下来,我们就以小组为单位,开展一个点阵设计大赛,好吗?
课件出示要求:
点阵设计大赛
1、设计时间:
5分钟
2、设计要求:
(1)每人设计一组有规律、美观的点阵图,画出前4个点阵,并用算式计算出每个点阵的数量,然后在小组内交流自己的设计方案。
(2)每组评先出优秀作品,派代表说明设计的方法及点阵中的规律,并展示作品.
3)优秀设计作品将在班级“学习园地”展出.
五.联系生活,兴趣永存:
看来,同学们各个都是个出色的小设计师啊!
我刚才看了一下同学们的设计,大部分同学设计的都很好,由于时间的关系,今天就不展出了,请同学们课下评出好的,贴在学习园地上。
点阵的规律,生活中也十分常见。
比如:
(课件出示图片)由点阵构成的灯的图案,做操的队伍等等。
还有今年10月1日,你们看到的国庆阅兵仪式,这也是利用了点阵的知识。
可以说,生活中,处处离不开点阵的规律,离不开数学的知识。
对吗?
那么,就让我们用希腊数学家普洛克拉的一句话结束今天的学习:
9
哪里有数学,哪里就有美!
数学美把自然规律抽象成一幅简洁准确的图像。
——古希腊数学家:
普洛克拉
北师大版数学五年级上册《点阵中的规律》教学案例
一、谈话引入
从小我们就学数数、用数字,那么对于数字的发明和发展过程,你们都哪些了解?
(学生交流课前搜集的相关信息)
今天,我们就一起来探究点阵中隐含的规律。
二、探究正方形点阵中的规律
1、探究一组正方形点阵的规律。
我们一起来看看数学家们当年研究的点阵图,边看边说出各个点阵的点子数。
(依次出示前四个正方形点阵图,并逐步引导学生想像、猜测:
下一个点阵图会是什么样子呢?
第一个是1个点;
第二个是4个点;
在心里想第三个、第四个点阵图是什么样子。
(示图)与你的想像一样吗?
生1:
一样。
就是9个点。
生2:
我知道第四个点阵有16个点,肯定是的。
(随着点阵图的依次出现,学生的思维逐渐活跃,当第三个点阵图出现的时候,学生不用数,已经忍不住地说出了点数。
说明学生已经发现了这组正方形点阵中的规律。
但这时,教师没有急于让学生发表自己的看法,而是给学生留出了完善自己想法的时间,同时也暗示学生:
规律的呈现不能依靠一个或几个图形来归纳,应该有耐心地继续自己的观察活动。
除了能说出各个点阵的点数之外,仔细观察点阵图:
你们还有什么其它的发现?
第一个点阵是1个点,其余的都是正方形的。
我发现从第一个图开始点子数分别是加3、加5、加7。
生3:
我发现它们的点子数能写成1×
1、2×
2、3×
3、4×
4。
你们真了不起!
这种形状的点阵就是正方形点阵,大家不但用数字表示每个点阵的点数,还能用算式来表示这组点阵的规律。
根据刚才发现的规律,想一想:
第五个点阵是什么样子呢?
自己画出来,并用算式表示点数。
(学生活动:
独立画出第五个5×
5的点阵图,全班交流。
照这样的规律继续画下去,第9个点阵的点数如何用算式来表示?
第100个呢?
第n个呢?
在小组内交流一下。
第九个点阵表示为9×
9;
第100个点阵表示为100×
100;
第n个点阵就表示为n×
n。
(结合发现的规律,引导学生逐步完善自己的想法,建立总结正方形点阵规律的模型。
那么你们觉得每个正方形点阵的点子总数与什么有关系?
在小组内讨论交流。
点子总数与正方形点阵每一排的点子数有关系。
就是边长乘边长。
还与是第几个有关系,第一个就是1×
1,第二个就是2×
2,第三个就是3×
3,一直这样数下去。
(学会用简单的语言表述自己的想法,使得初步的形象感知得到提升)
说得真好!
每个正方形点阵的点子总数可以看作是一个相同数字相乘的积,这个数字与点阵的序号有关,与每个正方形点阵每排的点子数也有关系。
2、同一个点阵的不同划分中的规律。
刚才我们研究了一组正方形点阵中隐含的规律,那么对于同一个点阵来说,如果划分的方法不同,所呈现的规律也就不同。
请大家仔细观察第五个正方形点阵中点的划分方法,你能发现什么规律?
与同桌交流你的想法。
我发现都是用折线分开的。
我发现从短的线开始,每条线内的点分别是1、3、5、7、9。
这个正方形点阵的点数用算式表示就是:
1+3+5+7+9=25。
大家的发现真不少!
那如果把每条线所包围的点子数记下来,如何用算式来表示?
学生汇报:
第一条线:
1=1;
第二条线:
1+3=4;
第三条线:
1+3+5=9;
第四条线:
1+3+5+7=16;
第五条线:
1+3+5+7+9=25;
你们觉得这组算式有什么特点?
一个算式比一个算式多加一个数。
它们的得数正好是刚才那一排点阵的点子数。
都是连续的奇数在相加。
是从几开始的连续奇数呢?
是从1开始的连续奇数在相加。
如果按这样的划分方法划分第六个正方形点阵,它的点数该如何用算式来表示?
1+3+5+7+9+11=36。
刚才我们是把这个5×
5的正方形点阵用折线进行了划分,你们还有哪些不同的划分的方法?
如何用算式表示?
在小组内研究一下。
我们是用横线划分的,算式是:
5+5+5+5+5+5=25。
还可以用竖线划分,算式也是:
这些都可以写成是5×
5=25。
生4:
我们的方法不一样。
我们是用斜线划分的,用算式表示就是1+2+3+4+5
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