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法的关系,然后用矩阵的秩加以判明。
101?
[?
3]?
110?
,记此为B?
AK
011?
这里r?
r?
r,
切不可两边取行列式!
!
因为矩阵不一定是方阵!
你来做下面的三个题:
已知向量组?
?
m线性无关。
设
m?
m,?
1
试讨论向量组?
m的线性相关性。
已知?
3线性无关,试问常数m,k满足什么条件时,向量组
k?
1,m?
3
线性无关?
线性相关?
教材P103第2题和P110例4和P113第4题
◆3.设非齐次线性方程Am?
4x?
b,r?
2,?
3是它的三个解,且
T,?
T
求该方程组的通解。
对于此类题,首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数
是多少,通解是如何构造的。
其次要知道解得性质。
你再做教材P147第3题
◆4.当k?
时,?
能由?
线性表示
一个向量能否用一个向量组表示的问题,可转化为非齐次方程组有无解的问题。
你来做:
设?
T,?
T,
问t为何值时,?
不能由?
3线性表示;
3线性表示且表法唯一;
3线性表示且表法无穷多并写出所有的表示方法。
关于含参数的方程组求解,如果系数矩阵是方阵,用行列式的方法往往简单,如
果不是方阵只有用初等行变换的方法了。
◆5.设?
1T?
k1T?
k2T,形式不1
3T,求?
3使Q1,?
为正交矩阵
求与一个向量正交的问题,就是解方程组的问题
1Tx?
当然要根据题之要求,还要使用Schimidt正交化,单位化过程
你写一写
正交矩阵的充要条件有哪些,如果给你两个正交向量求一个向量与它们都正交
你也应该会!
二选择题
◆1.设A,B为满足AB?
0的两个非零矩阵,则必有
A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关
A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关
A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关
A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关
遇到Am?
nBn?
p?
0,就要想到r?
n以及B的列向量均是线性方程组
Ax?
0的解。
另外:
遇到C?
AB要想到C的列组都是A的列组的线性组合,C的行组都是B的行组
的线性组合。
从这个角度也可做此题,你来想想。
◆2.设r?
n,则。
A[Em,O]
n对?
b?
R,Ax?
b必有无穷多解rc
若BA?
O?
B?
OTAA?
和是化标准形的问题。
这里A是行满秩矩阵,必有m阶子式非零,这个
m阶子式所在的行就是A的所有的行,只用列变换可把它所在的m列调到前面来
CA[Bm?
m,C]
此时B是非奇异矩阵,可只用列变换化为单位矩阵,然后用此单位矩阵只用列变换把后面的矩阵C消为零。
故是对的。
不对。
对于要知道,如果A是行满秩矩阵,则Ax?
b一定是有解的,这是因
为m?
r
至于是否有唯一解还是有无穷多解还要把增广矩阵的秩与未知数的个数,由题设r?
n,故有无穷多解也是对的。
对于这是书上定理AX?
O只有零矩阵解的充要条件是A是列满矩阵的
变形BA?
AB?
O这里A是列满秩,故也是对的。
对于要了解形如AA的是一个非常重要的矩阵,你必须知道这两个结
TT论一是AA是一个对称半正定的矩阵,二
T是r?
r。
用第二个结论立即知AA可逆的充要条件是A是列满秩。
这样就是对的。
对于Am?
m型的矩阵,如果m?
n,一定有Am?
果是方阵的话)
◆3.设A为n阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B,则
交换A的第1列与第2列得B交换A的第1行与第2行得B
交换A的第1列与第2列得?
B交换A的第1行与第2行得?
B
对于此类题你不仅要熟悉伴随矩阵的运算还要熟悉初等矩阵的性质。
交换A和第1
行和第2行得B,则有EA?
B,从而?
A?
B,由此关系找A与B的关系:
**********
B*?
BB?
1E?
A*E
由此知是对的。
◆4.设A为方阵,?
2是齐次线性方程组Ax?
0的两个不同的解向量,则是
A的特征向量
1与?
2,、、都是
齐次方程组有有两个不的解,当然必有非零解,从而必有特征值0,对应的特征向
量就是其非零解。
这里要选才能保证是非零的。
把此题变化一下:
设?
0的两个不同的解向量,r?
n?
则是Ax?
0的基础解系。
2
相似的矩阵是◆5.与矩阵?
2
100?
111?
100011?
,110?
010,010,0020020021?
12?
首先相似矩阵有相同的特征值,都是1和2,如有不是的就该排除,
这里没有。
这就要靠矩阵可对角化的充要条件是任一特征值的重数等于它所对应的
无关特征向量的个数去判别。
即ni?
r亦即
,只需考虑多r?
ni,对于单重的不需要考虑
重的。
这里只需考虑r3?
三计算题?
122?
222?
◆1.计算行列式Dn?
223?
n
提示此行列式特点是对角元不等,其余相等。
每一行减第一行。
你还有更好的方法吗。
答案?
!
)
评注关于行列式的计算重点掌握化三角形,以及特殊分块行列式的计算
◆2.解矩阵方程?
*?
XA?
2AX?
12E?
1其中A0?
02030000?
10?
0?
,求X?
提示先化简方程为:
X?
12E
40?
20答案X002?
00?
02?
评注关于解矩阵方程一定要先化简,变为如下形式之一
AX?
B,XA?
B,AXB?
C
主要考察矩阵的基本运算,矩阵求逆等知识。
注意左乘还右乘的关系,这是同学们最容易错的。
◆3.设向量组
1,2,3,4?
4?
TT
求此向量组的一个极大无关组,并把其余向量用该极大无关组线性表示。
第一部分选择题
一、单项选择题在每小题列出的四个选项中只有
一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式A.m+nC.n-m.设矩阵
a11a21
a12a22
=m,
0?
a13a23
=n,则行列式
a12?
a13a22?
a23
等于
020
B.-D.m-n
A=?
,则A-1等于
1300
0120
A.
B.
010
C.D.
1200
0130
3.设矩阵
10121?
,A*是A的伴随矩阵,则A*中位于的元素是
A.–B.C.D.–2.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有A.A=0B.B?
C时A=0C.A?
0时B=CD.|A|?
0时B=C
T
5.已知3×
4矩阵A的行向量组线性无关,则秩等于A.1B.C.D.
6.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1+λ2+…+λs=0C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1+λ2+…+λs=0D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+
λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0.设矩阵A的秩为r,则A中A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为0
8.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是A.η1+η2是Ax=0的一个解
12
η1+
η2是Ax=b的一个解
C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解.设n阶方阵A不可逆,则必有
A.秩A.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α,使α=0,则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量
D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,
λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关
11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有A.k≤B.k12.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=ATD.A的行向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=CTAC.则A.A与B相似B.A与B不等价
C.A与B有相同的特征值D.A与B合同
14.下列矩阵中是正定矩阵的为A.?
3?
03?
5?
B.?
24?
6?
120
1?
C.?
D.?
第二部分非选择题
二、填空题不写解答过程,将正确的答案写在每
小题的空格内。
错填或不填均无分。
1
1525
16?
36
15.
39
11?
16.设A=?
,B=?
.则A+2B17.设A=3×
3,|A|=2,Aij表示|A|中元素aij的代数余子式,则2+2+218.设向量与向量线性相关,则19.设A是3×
4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解,则它的通解为.
20.设A是m×
n矩阵,A的秩为r,则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为.
21.设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β与α-β的内积.2.设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为.
23.设矩阵A=
12
10?
31063?
8?
,已知α=
212?
是它的一个特征向量,则α所对应的特征值
为.
24.设实二次型f的秩为4,正惯性指数为3,则
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