线性代数试题库1答案2Word格式文档下载.docx
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1,52,
4.已知数域F上的向量a1,5,5线性无关,下列不正确的是(D)
中必有一个向量是其余向量的线性组合。
n
{(印,…,an)|a^R,i=1;
"
n且2a^0}
iT
7.向量空间R3的如下变换中,为线性变换的是(
二.填空题(3X10=30分)
1.当且仅当
IX1+X2+X3=0
k=(-1或3)时,齐次线性方程组{3x1、-X2+kX3=0有非零解
I2
少^,+X2+kX3=0
ai
2.设A=a2
H0,B=(bi,b2,b3)H0,则秩(AB)%
(1)。
〔丄丄丄、
3.向量(X,y,Z)关于基(0,1/2,0),(1/3,0,0),(0,0,1/4)的坐标为V?
^,:
丿
4.设向量空间F2的线性变换
CT,T为CT(X1,X2)=(X1+X2,X2),T(X1,X2)=(X1—X2,0),贝U©
—1)&
1,X?
)=(2X1,X2)。
5.已知V=《为,%2,%3,&
)Ixj+2x2=0},则dimV=(3)。
解:
x=
解:
(1)f(N,X2,X3)=y2中y;
—y:
-5y2,
(2)r=5,(3)p=3;
s=1,⑷A=6>
0,是正定二次型。
CT佗)=cr(泸)=Zcr(n陆1n=卫(泸)=,令)!
=aa则;
U任意q,E2-V,a齐,由叭匕1+◎)=£
£
+%)=&
%+a©
2"
(匕1)+巩匕2)
b+c
C+a
a+b
a
b
C
2。
行列式
6+0
5+a1
a1+b1
=2
a1
b1
C1
匕2+C2
C2中a?
a^bz
a2
b2
C2
b(k£
)=akq=k(a上1)=kb(£
),•.cr是线性变换。
c
证:
原式=
+
bi
=
bl
Ci+
Ci
ci
32
■-
二二二
、■六
1.n
选择题:
(3X5=15分)
阶行列式D的元素aj的余子式Mj与aj的代数余子式Aj的关系是(C)
Aj=MjBo
Aij=(-1)nMjCoAj=(-1)i^MjD。
A.当m<
n时,有非零解B.当m>
C.当m=n时,只有零解D.当m=n时,只有非零解
3.已知n维向量《1,5,g线性无关,下列不正确的是(D)
Aot1,ot2线性无关B.a2,ot3线性无关C.ot3,^1线性无关D.a1,ot2,ot3中必有一个向量
是其余向量的线性组合。
4.若A是mxn矩阵,且r(A)=r,贝JA中(
A.至少有一个r阶子式不等于0,但没有等于0的r-1阶子式;
B.必有等于0的r-1阶子式,有不等于0的r阶子式;
C.
有等于0的r-1阶子式,没有等于0的r阶子式;
D.
三、计算题
I22厂
由E-A=1,兀2=3X1=(1,-1T,X2=(1,1『分别单位化,得几1=
r运Q
22_
72J2
3.设二次型f(X1,X2,X3)=X12+2x;
+5x;
+2X1X2+2X1X3+6X2X3,回答下列问题:
(1)将它化为典范型。
二次型的正、负惯性指标及符号差为何?
二次型是否是正定二次型?
(12分)
(1)f(N,x2,X3)=%2+y2+yI-y}-5y5
(2)r=5,(3)p=3;
s=1,(4)A=6>
0,是正定二次型。
1
-1
2
求向量组的秩及其一个极大无关组。
4.设向量组4
a2=
a3
3、
7
(101分)
引
5'
3丿
a5
r1
<
叶•1_1
4
a1
1-1
03
a2
3
A=30
14
日3
T03
a3—3a1
a3—3a1—a2
21
5
6
a4
-2
a4—2a1
-4
a4—2a1—a2
日5
00
a5—a1
0a5
—a1—(a4—2a1
-a2)
其中r-
=0,a2-
(a4
-2a]-a4
r(A)=3,
曰
-a2
a1-
}=
0由此
^1宀2,a4疋
个极大尢
关组,
3'
=3^1+a
2,a5
——
-a2+a4
四、证明题
证明:
(Aa,AP)=(AaJaP=aTATAP"
Cl
C1+
线性代数试题库(3)答案
、选择题(3X5=15分)
1.已知m个方程n个未知量的一般线性方程组AX=B有解,则无穷多解的条件是(C)
3.n阶行列式D的元素aij的余子式Mij与aij的代数余子式Aij的关系是(C)
必有一个向量是其余向量的线性组合。
5.设Ct1,^2,ss是四维欧氏空间V的一个标准正交基,a=6+^2-s-J,
C.2D.4
二.填空题(3X6=18分)
1.设A是一个n阶实可逆矩阵,则二次型X'
(A'
A)X的标准形是(X'
lX).
3.向量(x,y,z)关于基(0,1/2,0),(1/3,0,0),(0,0,1/4)的坐标为
4.设%,身叫已是四维欧氏空间V的一个标准正交基,a"
1+^2-(X3“4,l3'
2'
4丿
则e|=
(2)
Pa)
5.已知实矩阵A=
Di_
e
6.A与B相似,则|A|(=)(叮)
(a>
0)
是正交阵,则b=0。
|B|。
二、计算题
a4
1+a4
1+ata2a3
a11+a2a3
a’a21+a3
a1a2a3
a;
a;
a2
a3
4=1+0=1.
2.设A=
X
,求矩阵
使AB=A-B
(10分)
设B=
/
la3
b3
c1\
c2
c3丿
VAB=A-B,/
3b1
4b2
2b3
5c1
7c2
G_a1
3—a;
J-a3
3—A
4_b2
2_b3
5_5
7_C2
2—C3丿
解得B=
3-44-52-3
3.
(15分)
7!
求可逆矩阵T使T-1AT为对角形
=0,再=1,為=3,Xj=(1,-1j,X;
=(1,1y分别单位化,得几1—
T
仏=
2,2
•7
所以T=
2l!
a/2J2
「22丿
设a=(2
由E-A
4.
设二次型f(X1,X;
X3)=2X1;
+5x2+5x2+4XiX2-4XiX3-8X2X3,回答下列问题:
(1)将它化为典范
(2)二次型的秩为何?
(3)二次型的正、负惯性指标及符号差为何?
(4)二次型是否
是正定二次型?
(12分)
(1)f(x,,X2,X3)=%2+y2-15y:
(2)r=4,(3)p=3;
s=2,⑷A=10>
1.试证:
设A是n阶矩阵,则|A*|=|A|Z
AA=
Ae取行列
AeTA
:
若A=0则A*=0此时命题也成立,
a"
nX
2.
试证:
+C
c+a
+C1
C1+a1
=;
b;
+C2
c;
+a2
+b2
a1a;
十C1
C;
aba1b1a;
b;
aba1bla;
b1b;
a
Q
(10分)
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