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二阶电路微分方程求解(符号数学求解)
uc(0)=3,i(0)=0
解:
零输入响应:
当L=0.5;
C=0.02,本二阶电路的谐振频率f=1.5915,周期T=0.6283
>
uc=dsolve('
L*C*D2u+R*C*Du+u=Us'
'
u(0)=3'
Du(0)=0'
)
uc=
-1/2*exp(-1/2*(C*R-(C^2*R^2-4*C*L)^(1/2))/C/L*t)*((C^2*R^2-4*C*L)^(1/2)*Us-3*(C^2*R^2-4*C*L)^(1/2)+C*R*Us-3*C*R)/(C^2*R^2-4*C*L)^(1/2)+1/2*exp(-1/2*(C*R+(C^2*R^2-4*C*L)^(1/2))/C/L*t)*(-(C^2*R^2-4*C*L)^(1/2)*Us+3*(C^2*R^2-4*C*L)^(1/2)+C*R*Us-3*C*R)/(C^2*R^2-4*C*L)^(1/2)+Us
L=0.5;
C=0.02;
R=0.3;
Us=0;
%R=10为临界状态
y=subs(uc)
y=
1/19982*exp((-3/10+1/5000*(-9991)^(1/2)*250000^(1/2))*t)*(-3/250000*(-9991)^(1/2)*250000^(1/2)-9/500)*(-9991)^(1/2)*250000^(1/2)-1/19982*exp((-3/10-1/5000*(-9991)^(1/2)*250000^(1/2))*t)*(3/250000*(-9991)^(1/2)*250000^(1/2)-9/500)*(-9991)^(1/2)*250000^(1/2)
ezplot(y,[0,5])
冲击响应:
L*C*D2u+R*C*Du+u=dirac(t)'
uc=
1/2*exp(-1/2*(R*C-(R^2*C^2-4*L*C)^(1/2))/L/C*t)*(-2*C+3*R*f*C+3*(R^2*C^2-4*L*C)^(1/2)*f)/(R^2*C^2-4*L*C)^(1/2)/f-1/2*exp(-1/2*(R*C+(R^2*C^2-4*L*C)^(1/2))/L/C*t)*(-2*C+3*R*f*C-3*(R^2*C^2-4*L*C)^(1/2)*f)/(R^2*C^2-4*L*C)^(1/2)/f-C*heaviside(t)*(-exp(1/2*(R*C+(-C*(-R^2*C+4*L))^(1/2))/L/C*t)+exp(1/2*(R*C-(-C*(-R^2*C+4*L))^(1/2))/L/C*t))*exp(-t*R/L)/(-C*(-R^2*C+4*L))^(1/2)/f
f=1000;
y=subs(uc)
-1/19982*exp((-3/10+1/5000*(-9991)^(1/2)*250000^(1/2))*t)*(-1/25+9/500/t+3/250000*(-9991)^(1/2)*250000^(1/2)/t)*(-9991)^(1/2)*250000^(1/2)*t+1/19982*exp((-3/10-1/5000*(-9991)^(1/2)*250000^(1/2))*t)*(-1/25+9/500/t-3/250000*(-9991)^(1/2)*250000^(1/2)/t)*(-9991)^(1/2)*250000^(1/2)*t+1/499550*heaviside(t)*(-exp((3/10+1/5000*(-9991)^(1/2)*250000^(1/2))*t)+exp((3/10-1/5000*(-9991)^(1/2)*250000^(1/2))*t))*exp(-3/5*t)*(-9991)^(1/2)*250000^(1/2)*t
ezplot(y)
阶跃响应:
L*C*D2u+R*C*Du+u=heaviside(t)'
3/2*exp(-1/2*(R*C-(R^2*C^2-4*L*C)^(1/2))/L/C*t)*(R*C+(R^2*C^2-4*L*C)^(1/2))/(R^2*C^2-4*L*C)^(1/2)-3/2*exp(-1/2*(R*C+(R^2*C^2-4*L*C)^(1/2))/L/C*t)*(R*C-(R^2*C^2-4*L*C)^(1/2))/(R^2*C^2-4*L*C)^(1/2)-1/2*((-R*C+(-C*(-R^2*C+4*L))^(1/2))*exp(1/2*(R*C-(-C*(-R^2*C+4*L))^(1/2))/L/C*t)+(R*C+(-C*(-R^2*C+4*L))^(1/2))*exp(1/2*(R*C+(-C*(-R^2*C+4*L))^(1/2))/L/C*t)-2*(-C*(-R^2*C+4*L))^(1/2)*exp(t*R/L))/(-C*(-R^2*C+4*L))^(1/2)*heaviside(t)*C*exp(-t*R/L)/f
信号源Us=3*t:
uc=dsolve('
L*C*D2u+R*C*Du+u=3*t'
L=0.5;
R=0.03;
ezplot(y,[05])
gridon
信号源Us=exp(j*3*t)
L*C*D2u+R*C*Du+u=exp(j*3*t)'
ezplot(abs(y),[05])
gridon
三、
实验内容
1.已知描述系统的微分方程和激励信号e(t)分别如下,试用解析方法求系统的单位冲激响应h(t)和零状态响应r(t),并用MATLAB绘出系统单位冲激响应和系统零状态响应的波形,验证结果是否相同。
①
;
②
③
【答
①y=dsolve('
D2y+4*Dy+4*y=-exp(-t)+dirac(t)'
Dy(0)=0'
y(0)=0'
)
;
ezplot(y)
②y=dsolve('
D2y+2*Dy+26*y=dirac(t)'
);
③y=dsolve('
D2y+4*Dy+3*y=exp(-2*t)*heaviside(t)'
】
2.如例题RLC电路。
求各类响应。
四、
预习要求
1.熟悉系统响应的求解方法。
2.了解MATLAB语言中关于符号数学运算及绘图。
五、实验报告要求
1.建立系统模型,理论计算微分方程的齐次解,特解,全响应的表达式。
由初始条件确定出积分常量。
并写出解题过程。
2.记录仿真结果(包括数据和波形)。
3.写出程序清单。
4.实验总结(收获及体会)
实训七
系统的零极点及频率响应特性——系统函数
1.掌握系统函数零极点的定义
2.熟悉零极点与频率响应的关系
3.掌握极点与系统稳定性的关系
4.
状态方程与系统函数的关系
5.
在MATLAB中实现系统函数与状态方程间的转换
1.原理(注意系统函数的4种表示法)
描述连续系统的系统函数H(s)的一般表示形式为:
(1.一般表示式)
其对应的零极点形式的系统函数为:
(2.零极点表示式)
共有n个极点:
p1,p2,…pn和m个零点:
z1,z2,…zm。
把零极点画在S平面中得到的图称为零极点图,人们可以通过零极点分布判断系统的特性。
当系统的极点处在S的左半平面时系统稳定;
处在虚轴上的单阶极点系统稳定;
处在S的右半平面的极点及处在虚轴上的高阶极点,系统是不稳定的。
描述系统除了可以用系统函数和零极图以外,还可以用状态方程。
对应上述用系统函数H(s)描述的系统,其状态方程可用相变量状态方程和对角线变量状态方程描述,形式分别为相变量状态方程:
输入方程为:
对角线变量方程:
输出方程:
矩阵中的p为系统函数的极点,k为部分分式展开中的系数,即
(3.部分分式表示式)
上述状态方程和输出方程均可表示为:
(4.状态方程表示式)
A、B、C、D分别表示对应的矩阵,上述两种表示中D=0。
系统在频域中的特性可以用频域中的系统函数表示
H(jω)是复函数,可表示为
称为幅频特性,
称为相频特性。
MATLAB语言提供了系统函数,零极点和状态方程之间的相互转换语句,也提供了得到系统频率特性的语句:
tf2zp:
从系统函数的一般形式求出其零点和极点。
zp2tf:
从零极点求出系统函数的一般式。
ss2zp:
从状态方程式求系统的零极点。
zp2ss:
从零极点求系统的状态方程。
ss2tf:
从状态方程求系统函数
tf2ss:
从系统函数求状态方程
[r,p,k]=residue(b,a):
从系统函数求部分分式表示式
freqs(b,a,w):
由H(s)的一般形式求其幅频特性和相频特性。
zplane(z,p):
z,p为列矢量,绘制零极图(也适用于数字系统)。
zplane(b,a):
b,a为行矢量,绘制零极图(也适用于数字系统)。
离散系统语句
[r,p,k]=residuez(b,a):
freqz(b,a,w):
Lsim(b,a,x);
模拟系统响应
Filter(b,a,x);
数字系统响应
2.例题1:
模拟系统
①
已知系统函数
,求其零极点图。
MATLAB程序如下:
b=[1
-0.5
2];
%分子系数,按降幂顺序排列。
a=[1
0.4
1];
%分母系数,按降幂顺序排列。
[z,p]=tf2zp(b,a);
%求零点z和极点p
zplane(z,p)
%作出零极点图
运行结果如下:
②
已知系统和状态方程和输出方程
求其系统的零极点。
A=[1,0;
1,-3];
B=[1;
0];
C=[-0.25,1];
D=0;
[z,p]=ss2zp(A,B,C,D)
%求出零极点
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