华师大版八年级数学下函数及其图像知识点归纳Word文档格式.docx
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这里有三种类型的问题:
(1)当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值。
(2)当已知函数值求自变量的值就是解方程。
(3)当给定函数值的一个取值范围〃欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组。
二〄平面直角坐标系:
1〄各象限内点的坐标的特征:
(1)点p(x,y)在第一象限→x>0,y>
0.
(2)点p(x,y)在第二象限→x<0,y>
(3)点p(x,y)在第三象限→x<0,y<0
(4)点p(x,y)在第四象限→x>0,y<
2〄坐标轴上的点的坐标的特征:
(1)点p(x,y)在x轴上→x为任意实数〃y=0
(2)点p(x,y)在y轴上→x=0,y为任意实数
3〄关于x轴〃y轴〃原点对称的点的坐标的特征:
(1)点p(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y).
(2)点p(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y).
(3)点p(x,y)关于原点对称的点的坐标为(-x,-y)
4〄两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征:
(1)点p(x,y)在第一、三象限夹角平分在线→x=y.
(2)点p(x,y)在第二〃四象限夹角平分在线→x+y=0
5〄与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征:
(1)位于平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同。
(2)位于平行于y轴的直线上的所有点的横坐标相同。
6〄点到坐标轴及原点的距离:
(1)点p(x,y)到轴的距离为|y︱.
(2)点p(x,y)到y轴的距离为∣x∣.
22
(3)点p(x,y)到原点的距离为x+y
(4)同在x轴上的两点A(x1,0)与B(x2,0)之间的距离为AB=|x1-x2|
(5)同在y轴上的两点C(0,y1)与D(0,y2)之间的距离为CD=|y1-y2|
三〄函数的图像
函数图像上的点与其解析式的关系
1〄函数图像上任意一点p﹙x,y﹚中的x、y满足函数关系式〃满足函数关系式的一对对应值﹙x,y﹚都在函数的图像上。
2〄判断点p﹙x,y﹚是否在函数图像上的方法〃将这个点的坐标﹙x,y﹚代入函数关系式〃如果满足函数关系式〃那么这个点就在函数的图像上〃如果不满足函数关系式〃那么〃这个点就不在函数的图像上。
四〄一次函数
(一)一次函数的定义
1〄定义:
含有自变量的式子为一次整式〃即形如式子y=kx+b(其中k和b为常数〃k≠0)叫做一次函数。
正比例函数:
在一次函数y=kx+b中如果b=0即变为y=kx(其中k≠0)〃这样的函数叫做正比例函数。
2〄注意:
(1)由一次函数和正比例函数的定义可知;
①函数是一次函数→解析式为y=kx+b的形式。
②函数是正比例函数→解析式为y=kx的形式。
(2)一次函数解析式y=kx+b的结构特征:
①k≠0②x的次数是1③常数b为任意实数
(3)正比例函数解析式y=kx的结构特征
①k≠0②x的次数是1③常数b=0
3〄说明:
在y=kx+b中若k=0则y=b﹙b为常数﹚这样的函数叫做常数函数〃它不是一次函数。
4〄正比例函数与一次函数的关系:
正比例函数是一次函数的特例〃一次函数包含正比例函数。
第页一次函数y=kx+b〃当b=0时为正比例函数
一次函数y=kx+b〃当b≠0时一般的一次函数
(二)一次函数的图像
1〄一次函数图像的形状:
一次函数y=kx+b的图像是一条直线〃通常称为直线y=kx+b
正比例函数y=kx的图像也是一条直线〃称为直线y=kx
2〄一次函数图像的主要特点:
一次函数y=kx+b的图像经过点﹙0〃b﹚的直线〃正比例函数y=kx+b的图像是经过原点﹙0〃0﹚的直线注意:
点﹙0〃b﹚是直线y=kx+b与y轴的交点。
①当b>0时〃此时交点在y轴的正半轴上〃
②当b<0时〃此时交点在y轴的负半轴上〃
③当b=0时〃此时交点在原点〃这时的一次函数就是正比例函数。
3〄一次函数图像的画法:
根据两点能画一条直线并且只能画一条直线〃即两点确定一条直线〃所以画一次函数的图像时〃只要先描出两点〃在连成直线即可。
那么〃先描出哪两点比较好呢<
选两点应以计算和描点简单为原则〃一般来说〃当b≠0时〃一般的一次函数y=kx+b的图像〃应选取b,0﹚;
当b=0时〃画正比例函数y=kx的图像〃通常取﹙0〃0﹚与k
22﹙1〃k﹚两点〃个别情况下可以做些变通〃例如画函数y=x的图像〃可以取﹙0〃0﹚与﹙1〃﹚两点〃33它与两个坐标轴的交点﹙0〃b﹚与﹙-
也可以取﹙0〃0﹚与﹙3〃2﹚两点。
4〄直线y=kx+b与坐标轴的交点
(1)令x=0,则y=b所以直线y=kx+b与y轴的交点坐标为﹙0〃b﹚
(2)令y=0,则kx+b=0所以x=-bk
b,0﹚注意:
此时直线y=kx+b与x轴〃y轴围成的三角形面积k所以直线y=kx+b与x轴的交点坐标为﹙-S=1b×
∣-∣×
∣b∣2k
5〄两直线在直角坐标系内的位置关系:
(1)两直线的解析式中当k相同时〃其位置关系是平行〃其中一条直线可以看作是另一条平移得到的〃平移规律是“左减右加〃上加下减”
(2)两直线的解析式中当b相同时〃其位置关系是相交〃交点坐标为﹙0〃b﹚.
第页
(三)一次函数的性质
1〄正比例函数的性质
(1)当k>0时〃图像经过第一、三象限〃y随x的增大而增大〃直线y=kx从左到右上升。
(2)当k<0时〃图像经过第二、四象限〃y随x的增大而减小〃直线y=kx从左到右下降。
2〄一次函数y=kx+b的性质
(1)当k>0时〃直线y=kx+b从左到右上升〃此时y随x的增大而增大。
(2)当k<0时〃直线y=kx+b从左到右下降〃此时y随x的增大而减小。
(3)当b>0时〃直线y=kx+b与y轴正半轴相交。
(4)当b<0时〃直线y=kx+b与y轴负半轴相交。
3〄直线y=kx+b的位置与k、b的符号之间的关系
直线y=kx+b的位置是由k与b的符号决定的〃其中k决定直线从左到右呈上升趋势还是下降趋势〃b决定直线与y轴交点的位置是在y轴的正半轴〃还是负半轴〃还是原点。
k和b综合起来决定直线y=kx+b在直角坐标系中的位置共有六种情况:
①当k>0〃b>0时〃直线经过第一、二、三象限〃不经过第四象限;
②当k>0〃b<0时〃直线经过第一、三、四象限〃不经过第二象限;
③当k<0〃b>0时〃直线经过第一、二、四象限〃不经过第三象限;
④当k<0〃b<0时〃直线经过第二、三、四象限〃不经过第一象限;
⑤当k>0〃b=0时〃直线经过第一、三象限;
⑥当k<0〃b=0时〃直线经过第二、四象限。
(四)正比例函数与一次函数解析式的确定
1〄确定一个正比例函数就是要确定正比例函数解析式y=kx﹙k≠0﹚中的常数k;
确定一个一次函数需要确定一次函数解析式一般形式y=kx+b﹙k≠0﹚中的常数k和b,解这类问题的一般方法是待定系数法。
2〄待定系数法:
先设出待求函数关系式﹙其中含有未知的系数﹚〃再根据已知条件列出方程或方程组〃求出未知系数〃从而得到所求结果的方法〃叫做待定系数法。
其中的未知系数也称待定系数〃如正比例函数y=kx中的k〃一次函数y=kx+b中的k和b都是待确定的系数。
3〄用待定系数法求函数解析式的一般步骤:
(1)设出含有待定系数的解析式;
(2)把已知条件﹙自变量与函数的对应值﹚代入解析式〃得到关于待定系数的方程或方程组;
(3)xx或方程组〃求出待定系数;
(4)将求得的待定系数的值代回所设的解析式。
第页注意:
通常正比例函数解析式设y=kx〃只有一个待定系数k〃一般只需一对x与y的对应值即可;
一次函数解析式设y=kx+b〃其中有两个待定系数k和b〃因而需要两对x与y的对应值〃才能求出k和b的值。
五〄反比例函数
(一)反比例函数定义
1〄一般的〃函数y=k-1﹙k是常数〃k≠0﹚叫做反比例函数〃反比例函数的解析式也可以写成y=kx的形x式〃其中k叫做比例系数。
2〄反比例函数解析式的主要特征:
(1)等号左边是函数y,右边是一个分式〃分子是不为零的常数k,分母中含有自变量x,且x的指数是1〃若写成y=kx的形式〃则x的指数是-1。
(2)比例系数“k≠0”是反比例函数定义的重要组成部分。
(3)自变量x的取值范围是x≠0的一切实数。
(二)反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线〃它有两个分支〃这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限〃它们关于原点成中心对称。
由于反比例函数中自变量x≠0〃函数y≠0〃所以它的图像与x轴和y轴都没有交点〃即双曲线的两个分支无限接近坐标轴〃但永远不与坐标轴相交。
(三)反比例函数的性质
1〄当k>0时〃图像在第一、三象限〃在每个象限内〃曲线从左到右下降〃也就是在每个象限内y随x的增大而减小。
2〄当k<0时〃图像在第二、四象限〃在每个象限内〃曲线从左到右上升〃也就是在每个象限内y随x的增大而增大。
(四)反比例函数解析式的确定
确定解析式的方法仍是待定系数法〃由于反比例函数y=-1k中只有一个待定系数〃因此只需要一对x与yx的对应值或图像上一个点的坐标〃即可求出k的值〃从而确定其解析式。
(五)“反比例关系”与“反比例函数”的区别与联系
反比例关系是小学学过的概念:
如果xy=k﹙k是常数k≠0﹚〃那么x与y这两个量成反比例关系〃这里x与y既可以代表单独的一个字母也可以代表多项式或单项式〃例如y+3与x成反比例则有y+3=成反比例〃则y=
例关系。
k,y与x²
xkk,成反比例关系不一定是反比例函数〃但是反比例函数y=中的两个变量必定成反比xx2
(六)反比例函数y=k﹙k≠0﹚中的比例系数k的几何意义x
11S矩形=|k|。
221〄如图〃过双曲线上一点作x轴、y轴的垂线PM、PN,所得矩形PMON面积为|k|。
2〄连结PO,则S△POM=
六〄函数的应用
1〄利用图像比较两个函数值的大小
在同一直角坐标系中的两个函数图像〃如果其中一个函数的图像在另一个函数图像的上方〃则该函数值就比另一个函数值大〃若在下方〃则该函数值就比另一个函数值小〃而其交点的横坐标就是分界点。
2〄两个一次函数图像的交点与二元一次方程组的关系
如果两个一次函数的图像相交〃则交点坐标必定同时满足两个函数解析式〃故交点坐标是有两个函数解析式组成的二元一次方程组的解。
3〄一次函数与方程、不等式的关系
(1)一次函数y=kx+b的图像与x轴的交点的纵坐标等于0〃反映在函数解析式就是函数值等于0〃则其横坐标也就是自变量的值为方程kx+b=0的解。
(2)一次函数y=kx+b在x轴上方的图像〃任意一点的纵坐标都大于0〃反映在函数解析式就是函数值y>0〃则对应的横坐标〃也就是自变量的值即为不等式kx+b>0的解集。
(3)一次函数y=kx+b在x轴下方的图像〃任意一点的纵坐标都小于0〃反映在函数解析式就是函数值y<0〃则对应的横坐标〃也就是自变量的值即为不等式kx+b<0的解集。
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- 师大 八年 级数 函数 及其 图像 知识点 归纳
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