高三数学第二轮复习资料专题六 解析几何Word格式.docx
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A.b=a3
B.b=a3+
C.(b-a3)=0
D.|b-a3|+=0
答案 C
解析 易知A=O-O=(a,a3-b),且b≠0,a≠0,
若A为直角,·
=(0,b)·
(a,a3-b)=b(a3-b)=0,∴b-a3=0,
若B为直角,O·
A=(a,a3)·
(a,a3-b)=0,
∴a2+a3(a3-b)=0,则b-a3-=0,
故(b-a3)·
=0,选C.
2.(·
山东)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方
程为( )
A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0
C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0
答案 A
解析 如图所示:
由题意知:
AB⊥PC,kPC=,∴kAB=-2,∴直线AB的方程为:
y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0.
3.(·
课标全国Ⅱ)已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>
0)将△ABC分割为
面积相等的两部分,则b的取值范围是( )
A.(0,1)B.
C.D.
答案 B
解析 由题意画出图形,如图
(1).
由图可知,直线BC的方程为
x+y=1.
由解得M.
可求N(0,b),D.
∵直线y=ax+b将△ABC分割为面积相等的两部分,
∴S△BDM=S△ABC.
又S△BOC=S△ABC,
∴S△CMN=S△ODN,
即×
×
b=(1-b)×
.
整理得=.
∴=,∴-1=,
∴=+1,
即b=,可以看出,当a增大时,b也增大.
当a→+∞时,b→,即b<
当a→0时,直线y=ax+b接近于y=b.
当y=b时,如图
(2),
===.
∴1-b=,∴b=1-.
∴b>
1-.
由上分析可知1-<
b<
,故选B.
4.(·
天津)设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,
则m+n的取值范围是( )
A.[1-,1+]
B.(-∞,1-]∪[1+,+∞)
C.[2-2,2+2]
D.(-∞,2-2]∪[2+2,+∞)
答案 D
解析 圆心(1,1)到直线(m+1)x+(n+1)y-2=0的距离为=1,
所以m+n+1=mn≤(m+n)2,
所以m+n≥2+2或m+n≤2-2.
5.(·
江苏)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-
2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是________.
答案
解析 圆C的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为(4,0).
由题意知(4,0)到kx-y-2=0的距离应不大于2,
即≤2.整理,得3k2-4k≤0.解得0≤k≤.
故k的最大值是.
题型一 直线方程及应用
例1
(1)已知点M是直线l:
2x-y-4=0与x轴的交点,过M点作直线l的垂线,得到的直线
方程是( )
A.x-2y-2=0B.x-2y+2=0
C.x+2y-2=0D.x+2y+2=0
(2)“a=-1”是“直线ax+(2a-1)y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
审题破题
(1)先求M点坐标,然后利用点斜式写出直线方程;
(2)考虑斜率为0,斜率不存在两种特殊情况.
答案
(1)C
(2)A
解析
(1)显然直线l:
2x-y-4=0与x轴的交点坐标为M(2,0).
又∵所求直线与直线l:
2x-y-4=0垂直,
∴所求直线的斜率为-,
∴所求直线的方程为y-0=-(x-2),
即x+2y-2=0.
(2)若直线ax+(2a-1)y+1=0和直线3x+ay+3=0垂直,则a×
3+(2a-1)×
a=0,解得a=0或a=-1.故a=-1是两直线垂直的充分而不必要条件.
反思归纳 判断两条直线的位置关系时要注意两个易错点:
一是忽视直线的斜率不存在的情况,二是忽视两直线重合的情况.解答这类试题时要根据直线方程中的系数分情况进行讨论,求出结果后再反代到直线方程中进行检验,这样能有效地避免错误.
变式训练1
(1)若过点A(-2,m),B(m,4)的直线与直线2x+y+2=0平行,则m的值为________.
答案 -8
解析 因为AB所在的直线平行于直线2x+y+2=0,
所以kAB==-2,即m=-8.
(2)设A、B为x轴上两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程为________.
答案 x+y-5=0
解析 因为kPA=1,则kPB=-1.又A点坐标为(-1,0),点P的横坐标为2,则B点坐标为(5,0),直线PB的方程为x+y-5=0.
题型二 圆的方程及应用
例2
(1)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为( )
A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2
C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2
(2)若圆上一点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且圆与直线x-y+1=0相交的弦长为2,则圆的方程是__________________.
审题破题
(1)利用待定系数法设出圆C的方程,直线和圆相切可考虑代数法、几何法两种思路;
(2)将已知条件转化为直线x-y+1=0过圆心,弦长可通过几何法表示.
答案
(1)B
(2)(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244
解析
(1)方法一 设圆心坐标为(a,-a),
则=,
即|a|=|a-2|,解得a=1,
故圆心坐标为(1,-1),半径r==,
故圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
方法二 题目给出的圆的两条切线是平行线,故圆的直径就是这两条平行线之间的距离d==2;
圆心是直线x+y=0与这两条平行线交点的中点,直线x+y=0与直线x-y=0的交点坐标是(0,0)、与直线x-y-4=0的交点坐标是(2,-2),故所求的圆的圆心坐标是(1,-1),所求的圆的方程是(x-1)2+(y+1)2=2.
方法三 作为选择题也可以验证解答,圆心在x+y=0上,排除选项C、D,再验证选项A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.
(2)设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,说明圆心在直线x+2y=0上,即有a+2b=0,又(2-a)2+(3-b)2=r2,而圆与直线x-y+1=0相交的弦长为2,故r2-2=2,
依据上述方程,解得或
∴所求圆的方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.
反思归纳 求圆的方程一般有两类方法:
(1)几何法:
通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程;
(2)代数法:
即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数.其一般步骤是:
①根据题意选择方程的形式:
标准形式或一般形式;
②利用条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组;
③解出a、b、r或D、E、F,代入标准方程或一般方程.此外,根据条件,要尽量减少参数设方程,这样可减少运算量.
变式训练2
(1)已知圆C1:
x2+y2-2mx+4y+m2-5=0与圆C2:
x2+y2+2x-2my+m2-3=0,若圆C1与圆C2相外切,则实数m=________.
答案 -5或2
解析 对于圆C1与圆C2的方程,配方得
圆C1:
(x-m)2+(y+2)2=9,圆C2:
(x+1)2+(y-m)2=4,
则C1(m,-2),r1=3,C2(-1,m),r2=2.
如果圆C1与圆C2相外切,那么有|C1C2|=r1+r2,
即=5,
则m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2,
所以当m=-5或m=2时,圆C1与圆C2相外切.
(2)已知圆C关于y轴对称,经过点A(1,0),且被x轴分成两段弧长比为1∶2,则圆C的方程为________.
答案 x2+2=
解析 ∵圆C关于y轴对称,
∴圆C的圆心C在y轴上,可设C(0,b),
设圆C的半径为r,则圆C的方程为x2+(y-b)2=r2.
依题意,得,
解之得.
∴圆C的方程为x2+2=.
题型三 直线与圆的综合应用
例3
如图所示,已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:
x+2y+7=0相切,过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点,直线l与l1相交于点P.
(1)求圆A的方程;
(2)当=2时,求直线l的方程;
(3)·
是否为定值?
如果是,求出其定值;
如果不是,请说明理由.
审题破题 第
(1)问由圆A与直线l1相切易求出圆的半径,进而求出圆A的方程;
第
(2)问注意直线l的斜率不存在时也符合题意,以防漏解,另外应注意用好几何法,以减小计算量;
第(3)问分两种情况分别计算平面向量的数量积为定值后方可下结论.
解
(1)设圆A的半径为R.
∵圆A与直线l1:
x+2y+7=0相切,
∴R==2.
∴圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.
(2)当直线l与x轴垂直时,易知x=-2符合题意;
当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0.连接AQ,则AQ⊥MN.
∵=2,∴|AQ|==1.
由==1,得k=.
∴直线l的方程为3x-4y+6=0.
∴所求直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.
(3)∵AQ⊥BP,∴·
=0.
∴·
=(+)·
=·
+·
当直线l与x轴垂直时,得P.
则B=,又=(1,2),
=-5.
当直线l的斜率存在时
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