含参数的一元二次方程整数解Word文档下载推荐.docx

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，　x2=

　（a≠0,　b2－4ac≥0）；

5　韦达定理：

x1+x2=

　x1x2=

（a≠0,　b2－4ac≥0）.

4、方程整数根的其他条件

整系数方程ax2+bx+c=0　（a≠0）有一个整数根x1的必要条件是：

x1是c的因数.　

特殊的例子有：

C=0

x1=0，

a+b+c=0

x1=1，

a－b+c=0

x1=－1.

例题精讲

【试题来源】

【题目】b为何值时,方程x2-bx-2=0和x2-2x-b（b-1）=0有相同的整数根?

并且求出它们相同的整数根.．

【答案】1；

2

【解析】　解：

设相同的整数根为x0,由根的定义,知

x20-bx0-2=0,①

x20-2x0-b（b-1）=0.②

1-②并整理,得（2-b）[x0-（1+b）]=0,

2∴b=2或x0=b+1.

当b=2时,两方程均为x2-2x-2=0,但无整数根;

当x0=b+1时,代入①或②,解之得b=1,于是

公共根x0=b+1=2.

【知识点】含参数的一元二次方程整数解

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【题目】设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，记S1=x1+1993x2，S2=x12+1993x22，…，Sn=x1n+1993x2n，则aS1993+bS1992+cS1991=　　　　

【答案】0

∵x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，

　　∴ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0。

aS1993+bS1992+cS1991

=a（x11993+1993x21993）+b（x11992+1993x21992）+c（x11991+1993x21991）

=（ax11993+bx11992+cx11991）+（a·

1993x21993+b·

1993x21992+c·

1993x21991）

=x11991（ax12+bx1+c）+1993x21991（ax22+bx2+c）

=0。

【适用场合】当堂练习

【难度系数】4

【题目】已知方程a2x2-（3a2-8a）x+2a2-13a+15=0（其中a为非负整数）至少有一个整数根.那么a=——

【答案】如下

【解析】解：

显然a≠0,故原方程为关于x的一元二次方程.

因为△=[-（3a2-8a）]2-4a2（2a2-13a+15）

=[a（a+2）]2是完全平方式,则原方程可用十字相乘

因式分解为:

[ax-（2a-3）][ax-（a-5）]=0,

【适用场合】当堂练习题

【题目】m是什么整数时，方程（m2-1）x2-6（3m-1）x＋72＝0有两个不相等的正整数根

【答案】m=2

解法1首先，m2-1≠0，m≠±

1．Δ=36（m-3）2＞0，所以m≠3．用求根公式可得

　　由于x1，x2是正整数，所以

m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，

　　解得m=2．这时x1=6，x2=4．

　　解法2首先，m2-1≠0，m≠±

1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知

　　所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即

m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，

　　只有m2=4，9，25才有可能，即m=±

2，±

3，±

5．

经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．

说明一般来说，可以先把方程的根求出来（如果比较容易求的话），然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法

【题目】已知关于x的方程a2x2-（3a2-8a）x＋2a2-13a＋15=0（其中a是非负整数）至少有一个整数根，求a的值

【答案】a=1，3，5

因为a≠0，所以

　　所以

　　所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5．

【题目】设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-（m-1）x＋1＝0有有理根，求m的值．

【答案】m=6

一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令

Δ=（m-1）2-4m＝n2，

　　其中n是非负整数，于是

m2-6m+1=n2，

　　所以（m-3）2-n2=8，

（m-3＋n）（m-3-n）＝8．

　　由于m-3＋n≥m-3-n，并且

（m-3＋n）+（m-3-n）=2（m-3）

　　是偶数，所以m-3＋n与m-3-n同奇偶，所以

【题目】关于x的方程ax2+2（a-3）x+（a-2）=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值

【答案】2，-4，-10

当a=0时，原方程变成-6x-2=0，无整数解．

　　当a≠0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式

Δ＝4（a-3）2-4a（a-2）＝4（9-4a）

　　为完全平方数，从而9-4a是完全平方数．令9-4a=n2，则n是正奇数，

　　要使x1为整数，而n为正奇数，只能n=1，从而a=2．要使x2为整数，即n-3｜4，n可取1，5，7，从而a=2，-4，-10．

　　综上所述，a的值为2，-4，-10．

　　说明本题是前面两种方法的“综合”．既要用判别式是平方数，又要用直接求根．有时候，往往是几种方法一同使用．

【难度系数】5

【题目】已知关于x的方程x2＋（a-6）x＋a=0的两根都是整数，求a的值．

【答案】0或16

设两个根为x1≥x2，由韦达定理得

　　从上面两式中消去a得

x1x2+x1+x2＝6，

　　所以（x1＋1）（x2+1）=7，

　　所以a=x1x2=0或16．

【题目】求所有有理数r，使得方程

rx2+（r+1）x＋（r-1）=0

　　的所有根是整数．

【答案】-1/7或0或1

【解析】解：

当r=0时，原方程为x-1=0，所以x=1．

　　当r≠0时，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为x1，x2，且x1≥x2，则

　　消去r得

x1x2-x1-x2＝2，

　　所以（x1-1）（x2-1）=3．

【题目】已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程

ax2＋2（2a-1）x＋4（a-3）=0

　　至少有一个整数根，求a的值．

【答案】1，6，10，3

将原方程变形为

（x＋2）2a=2（x＋6）．

　　显然x＋2≠0，于是

　　由于a是正整数，所以a≥1，即

　　所以x2+2x-8≤0，

（x＋4）（x-2）≤0，

　　所以-4≤x≤2（x≠-2）．

当x=-4，-3，-1，0，1，2时，得a的值为1，6，10，3，

【题目】已知方程x2+bx+c=0与x2+cx＋b=0各有两个整数根x1，x2

（2）求证：

b-1≤c≤b＋1；

　　（3）求b，c的所有可能的值．

【答案】

（b，c）=（5，6），（4，4），（6，5）

（1）由x1x2＞0知，x1与x2同号．若x1＞0，则x2＞0，

（2）由

（1）知，x1＜0，x2＜0，所以x1≤-1，x2≤-1．由韦达定理

　　c-（b-1）=x1x2＋x1＋x2＋1

　　　　　=（x1＋1）（x2+1）≥0，

　　所以c≥b-1．

　　同理有

　　所以c≤b+1，

　　所以b-1≤c≤b+1．

　　（3）由

（2）可知，b与c的关系有如下三种情况：

　　（i）c=b＋1．由韦达定理知

x1x2=-（x1＋x2）＋1，

　　所以（x1＋1）（x2＋1）=2，

　　解得x1＋x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6．

　　（ii）c=b．由韦达定理知

x1x2=-（x1＋x2），

　　所以（x1+1）（x2＋1）=1，

　　所以x1=x2=-2，从而b=4，c=4．

　　（iii）c=b-1．由韦达定理知

　　综上所述，共有三组解：

（b，c）=（5，6），（4，4），（6，5）．

习题演练

【题目】已知：

a,　b,　c是实数，且a=b+c+1.求证：

两个方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根

【答案】证明如下

证明　（用反证法）

设　两个方程都没有两个不相等的实数根，

那么△1≤0和△2≤0.

即

由①得b≥

，b+1≥

代入③，得

a－c=b+1≥

，　4c≤4a－5④

②＋④：

a2－4a+5≤0，

即（a－2）2+1≤0，这是不能成立的.

既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.

∴方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中，至少有一个