北师版八年级下册数学总复习 类比探究专题训练Word文档格式.docx
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(3)问题拓展:
如图3,在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°
,CB=CD,∠BCD=140°
,以C为顶点作一个70°
角,角的两边分别交AB,AD于E,F两点,连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系,并加以证明.
【直角结构】
1.数学课上,张老师出示了问题:
如图1,四边形ABCD是正方形,∠DAB=
∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
,AB=BC=CD=DA,AB∥CD,AD∥BC,点E是边BC的中点,∠AEF=90°
,且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F,求证:
AE=EF.
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:
取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证△AME≌△ECF,所以AE=EF.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:
如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其他条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?
如果正确,写出证明过程;
如果不正确,请说明理由.
(2)小华提出:
如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?
2.提出问题:
如图1,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点P在对角线AC上,一条直角边经过点B,另一条直角边交边DC于点E,求证:
PB=PE.
分析问题:
学生甲:
如图1,过点P作PM⊥BC,PN⊥CD,垂足分别为M,N.通过证明两三角形全等,进而证明两条线段相等.
学生乙:
连接DP,如图2,很容易证明PD=PB,然后再通过“等角对等边”证明PE=PD,就可以证明PB=PE了.
解决问题:
请你选择上述一种方法给予证明.
问题延伸:
如图3,移动三角板,使三角板的直角顶点P在对角线AC上,一条直角边经过点B,另一条直角边交DC的延长线于点E,PB=PE还成立吗?
若成立,请证明;
若不成立,请说明理由.
【旋转结构】
1.发现:
如图1,点B是线段AD上的一点,分别以AB,BD为边向外作等边三角形ABC和等边三角形BDE,连接AE,CD,相交于点O.
①线段AE与CD的数量关系为_________;
∠AOC的度数为___________.
②△CBD可看作△ABE经过怎样的变换得到的?
________________.
(2)应用:
如图2,若点A,B,D不在一条直线上,
(1)中的结论①还成立吗?
请说明理由;
(3)拓展:
在四边形ABCD中,AB=AC,∠BAC=90°
,∠ADC=45°
,若AD=8,CD=6,请直接写出B,D两点之间的距离.
2.已知:
△ABC是等腰直角三角形,动点P在斜边AB所在的直线上,以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ,其中∠PCQ=90°
,探究并解决下列问题:
(1)如图1,若点P在线段AB上,且AC=1+
,PA=
,则:
①线段PB=_________,PC=_________;
②猜想:
PA2,PB2,PQ2三者之间的数量关系为__________;
(2)如图2,若点P在AB的延长线上,在
(1)中所猜想的结论仍然成立,请你利用图2给出证明过程;
(3)若动点P满足
,求
的值.(提示:
请利用备用图进行探求)
3.
(1)如图1,O是等边△ABC内一点,连接OA,OB,OC,且OA=3,OB=4,OC=5,将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD,连接OD.求:
①旋转角是__________度;
②线段OD的长为__________;
③求∠BDC的度数.
(2)如图2所示,O是等腰直角△ABC(∠ABC=90°
)内一点,连接OA,OB,OC,∠AOB=135°
,OA=1,OB=2,求OC的长.
小明同学借用了图1的方法,将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD,请你继续用小明的思路解答,或是选择自己的方法求解.
4.已知,在△ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边作正方形ADEF,连接CF.
(1)观察猜想
如图1,当点D在线段BC上时可以证明△ABD≌△ACF,则
①BC与CF的位置关系为______________;
②BC,DC,CF之间的数量关系为______________.
(2)类比探究
如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其他条件不变,
(1)中①②结论是否仍然成立?
若成立,请给予证明;
若不成立,请你写出正确结论再给予证明.
(3)拓展延伸
如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点A,F分别在直线BC的两侧,其他条件不变.
①BC,DC,CF之间的数量关系为________________;
②若正方形ADEF的边长为3,对角线AE,DF相交于点O,连接OC,则OC的长度为___________.
【新定义】
1.如图1,我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.
(1)概念理解:
如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美四边形吗?
请说明理由.
(2)性质探究:
试探索垂美四边形ABCD两组对边AB2,CD2与BC2,AD2之间的数量关系.
猜想结论:
(要求用文字语言叙述)_____________________,写出证明过程(先画出图形,写出已知、求证).
(3)问题解决:
如图3,分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5,求GE的长.
2.我们定义:
在△ABC中,把AB绕点A顺时针旋转α(0°
<α<180°
)得到AB′,把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′,连接B′C′.当α+β=180°
时,我们称△AB′C′叫△ABC的“旋补三角形”,△AB′C′的边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”.下面各图中,△AB′C′均是△ABC的“旋补三角形”,AD均是△ABC的“旋补中线”.
(1)如图1,若△ABC为等边三角形,BC=8,则AD的长等于________;
(2)如图2,若∠BAC=90°
,求证:
AD=
BC;
(3)如图3,若△ABC为任意三角形,
(2)中结论还成立吗?
如果成立,给予证明;
如果不成立,说明理由.
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