03第一章 数学模型概述Word文档下载推荐.docx
- 文档编号:15914576
- 上传时间:2022-11-17
- 格式:DOCX
- 页数:17
- 大小:201.42KB
03第一章 数学模型概述Word文档下载推荐.docx
《03第一章 数学模型概述Word文档下载推荐.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《03第一章 数学模型概述Word文档下载推荐.docx(17页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
自从牛顿将力学法则用数学模型表示出来之后,在包含物理学在内的自然科学领域中,出现了这样一种趋势:
致力于用单纯的数学式表示自然法则,求出它们的解,并与实验和观测结果相比较去理解。
因而在科学发展史上,有一段时间学者们认为:
“科学的本质是数学”。
例如,反映物体机械运动的基本客观规律——牛顿三定律,可用明确而紧凑的数学式子表示;
反映电路理论的基本规律——基尔霍夫定律也可用数学式子来表示;
马克思用公式I(V+m)=
c来描述社会再生产的基本规律。
这种反映某一类现象客观规律的数学式子就是这些现象的数学模型。
一个学科的内容能用数学来分析和表示,这是该学科精密化和科学化的一种表现。
利用数学这个有效的工具,可以深刻地认识客现现象的本质,预测未来,促进科学的发展。
随着电子计算机的问世与发展,许多学科的计算分支都在迅速发展,如计算物理学、计算化学等分支的出现和发展,导致需要建立有关系统的数学模型。
目前,在许多领域中,要对有关问题进行计算,必须先建立—问题的数学模型,没有数学模型,计算就不可能进行。
也可以这样认为:
今天,没有数学模型,许多基本的生产活动便无法进行,更不要说计算机的应用了。
1.1.2工程技术与数学模型
数学模型现在已越来越受到人们的重视,这不仅是因为数理等学科应用它,而且工程学等领域也视其为一种重要的方法。
在工程学领域,以前认为实验方法是至高无尚的,但现在已把数学模型视为与实验同等重要,甚至是更好的一种方法。
随着科学技术的进步,数学模型在工程技术上所起的作用也日益增大。
从设计上来看,要进行理论设计首先要建立生产过程正确的数学模型,否则会给设计以及生产带来很大的损失。
如在化学工业中,需要通过建立模型、分析计算来决定设备的大小,原料的数量,温度调节等问题。
又例如,1979年3月美国原子能委员会关闭了5座核电站,这是因为设计中所选取的冷却水管道系统的数学模型不妥,使得模拟计算结果的可靠程度不够,不能承受地震等的冲击而导致关闭,另外,日本在2001年关闭了东京附近的日本最大的核电站,原因也是原来使用的安全模型出现了问题。
可见数学模型对工程设计十分重要。
在生产过程中,为了分析和改进生产中出现的问题,采用先建立数学模型,然后在计算机上进行模拟计算的办法来代替实验,可以节约较多的人力、财力和时间,还可以避免发生故障或危险,甚至完成实验不可能完成的任务。
例如,阿波罗卫星返回地球时在高120千米的大气层上空以11千米/秒的速度开始,仅用30分种左右时间就回到地面,若用风洞来实验,必须有极大的设备,这实际上无法实现,就只有用建立数学模型的方法来解决。
在比较精密的生产中,常用电子计算机控制和指挥生产,这也需要建立反映生产过程的数学模型。
总之,随着科学技术日益发展,生产要求日益精确,在设计、控制生产等各个环节都越来越多地需要了解有关的数学模型。
1.2数学模型及其分类
1.2.1模型及其分类
在自然科学、工程技术和社会科学的许多领域中,定量的系统分析,系统综合已受到人们更多的重视。
模型是开展这些工作的有效工具,模型化则是开展这些工作的前提和基础。
一切客观存在的事物及其运动形态统称为实体,模型是对实体的特征及其变化规律的一种表示或者抽象,而且往往是对实体中那些所要研究的特定的特征定量的抽象,可以说,模型是把对象实体通过适当的过滤,用适当的表现规则描绘出的简洁的模仿品,通过这个模仿品,人们可以了解到所研究实体的本质,而且在形式上便于人们对实体进行分析和处理。
通常,对模型有4个基本要求:
目的性、清晰性、准确性、经济性。
把实体(对象)变为模型的过程称为建模或模型化。
按模型的表达形式,一般可粗略地分为实体模型和符号模型两大类。
实体模型包括:
实物模型(如城市模型、作战沙盘、船舶模型等)和模拟模型(如地图、电路图、电路模拟机械运动等)。
符号模型也称语言模型,这是模型中最丰富多彩的一大部分。
包括数学模型,结构模型,仿真模型及诸如化学、音乐、美术等学科的符号模型,也包括用自然语言表达的直观描述式模型。
除上述分类外,还可按其形式、结构、用途和对象等分类,在众多分类的模型中,数学模型是发展最快,内容最丰富、最受人偏爱的一种。
1.2.2数学模型及其分类
什么是数学模型?
数学模型指对于现实世界的某一特定对象,为了某个特定目的,做出一些必要的简化和假设,运用适当的数学工具得到的一个数学结构。
它或者能解释特定现象的现实性态,或者能预测对象的未来状态,或者能提供处理对象的最优决策或控制。
在这里,数学模型被看成是一个能实现某个特定目标的有用工具。
从本质上说,数学模型是一个以“系统”概念为基础的,关于现实世界的一小部分或几个方面抽象的“映象”。
数学模型的特征是:
1.是某事物为一种特殊目的而作的一个抽象化、简单化的数学结构,这意味着扬弃、筛选,是舍弃次要因素,突出主要因素的主要结果;
是事物的一种模拟,虽源于现实,但非实际的原型,而又高于现实。
2.它是数学上的抽象,在数值上可以作为公式应用,可以推广到与原物相近的一类问题。
3.可以作为某事物的数学语言,可以译成算法语言,编写程序进入计算机。
通常所谓的处理事物和过程的模型化方法,往往就是为之建立数学模型来处理。
常见的数学模型分类有以下几种:
按数学模型的功能可分为定量的和定性的。
按数学模型的目的可分为理论研究的,预期结果的和优化的。
按数学模型变量之间的关系可分为代数的,几何的和积分的。
按数学模型的结构可分为分析的,非分析的和图论的。
按数学模型所研究对象的特性可分为确定的和随机的,静态的和动态的,连续的和离散的,或线性的和非线性的。
按数学模型所用的数学方法可分为初等模型,微分方程模型,优化模型,控制论模型,逻辑模型,扩散模型……
按数学模型研究对象的实际领域可分为人口模型,交通模型,生态模型,生理模型,经济模型,社会模型,工程系统模型……
按数学模型研究对象的了解程度可分为白箱模型,灰箱模型和黑箱模型。
还有一些其他分类方法,这里只是为了叙述和阅读方便起见,列举出几种常见分类方法,而模型的分类问题并没有什么重要意义,只是为了问题阐述便利而已。
1.3建模实例
本节所讲的两个例子,一个是理论上的结果,一个是工程中的问题,对于数学模型的用途和建模方法都有一定代表性,首先介绍给大家,以便对数学模型全貌的了解有所收益。
例1.1万有引力定律
牛顿(Newton,l642~1727)是世界上伟大的科学家,在物理学特别是力学中有卓越的贡献,而且在数学上,他是微积分的两大奠基人之一。
万有引力定律的发现是牛顿在力学上的重大贡献之一。
牛顿在研究力学的过程中发明了微积分,又成功地在开普勒(KeplerJohannes,l571~1630)三定律的基础上运用微积分推导了万有引力定律。
这一创造性成就可以看作是历史上最著名的数学模型之一。
历史背景15世纪下半叶,人类社会发展到了一个新阶段,商品经济的繁荣促进了航海业的发展,哥伦布、麦哲伦,…扬帆远航,在强大的社会需要的推动下,天文观测的精确程度不断提高。
在大量实际观测数据面前,一直处于天文学统治地位的“地心说”开始动摇了,科学家对“地心说”开始产生了疑惑。
哥白尼在天文观测的基础上,冲破宗教统治和“地心说”的束缚,提出了“日心说”,这是天文学乃至整个科学的一大革命。
但是由于历史条件和科学水平的限制,他的理论尚有不少缺陷,如他认为行星绕太阳的运行轨道是圆形的。
自然科学与社会科学的交汇点是天文学
丹麦天文学家第谷·
布拉赫(TychoBrahe,l546~1601)对行星运动作了大量观测,积累了20年的资料。
他的助手开普勒分析研究了这些资料,运用数学工具,发现火星的实际位置与按照哥白尼理论计算的位置相差8弧分。
在深入分析的基础上,于1609年归纳出开普勒第一、二定律。
为了寻求行星运动周期与轨道尺寸的关系,根据其老师大量而且非常精确的天文观测资料,反复研究,终于在1619年发现了行星运行周期与到太阳距离之间的关系开普勒第三定律,这就是天文学上至今仍然十分著名的开普勒三定律:
(1)行星的轨道是一个椭圆,太阳位于其中一个焦点上。
(2)行星运行过程中,行星和太阳的连线在单位时间内扫过相等的面积
(3)各行星公转周期的平方同轨道长半轴的立方成正比。
上述定律只是阐明行星的运动情况,但并没有解释为什么这样运动。
那么,是什么力量作用在行星上,使它的速度不断改变并保持在椭圆轨道上运动呢?
牛顿认为一切运动都有其力学原因,开普勒三定律的背后必定有某个力学规律在起作用。
他要构造一个模型加以解释。
他以微积分(当时称流数法)为工具,在开普勒三定律和牛顿力学第二定律的基础上,演绎推倒出著名的万有引力定律。
这一定律成功地定量解释了许多自然现象,为其后一系列的观测和实验数据所证实,成为物理学中的一个基本定律。
万有引力定律的建立
首先建立以太阳为原点的极坐标系(r,),向径r表示行星位置,如图1-1所示。
再把开普勒三定律作为假设I、Ⅱ、
,牛顿第二定律作为假设Ⅳ,并分别用数学式子表示:
(1)轨道方程为:
(1-1)
及
(1-2)
a为长半轴,b为短半轴,e为离心率。
(2)
(1-3)
A是单位时间内向径r扫过的面积,对某一颗行星而言,A是常数,
。
(3)
(1-4)
T是行星运行周期,k是绝对常数。
(4)
(1-5)
这表示太阳和行星间的作用力f与加速度r的方向一致,与r的大小成正比。
以上假设中把所有的行星甚至太阳本身都当作质点来处理。
这是进行数学表述时所作的一种近似或理想化,因为太阳的半径比太阳到行星的距离小得多,因而这种近似是合理的。
下面从这四条假设出发,推出万有引力定律:
太阳与行星间作用力的方向是太阳和行星连线方向,指向太阳;
大小与太阳—行星间距离的平方成反比,比例系数是绝对常数。
为此,如图1-1,选单位向量
(1-6)
于是
(1-7)
由(1-6)得到:
(1-8)
将式(1-7)对r求导,利用式(1-8)便得到行星运动的速度和加速度:
(1-9)
(1-10)
根据式(1-3),得:
(1-11)
(1-12)
由式(1-11)和式(1-12)可知式(1-10)右端第二项
,于是式(1-10)为:
(1-13)
再对式(1-1)求导,利用式(1-11)可以得到:
(1-14)
(1-15)
将式(1-11)、(1-15)代入式(1-13)整理可得:
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 03第一章 数学模型概述 03 第一章 数学模型 概述
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)