勾股定理提优训练卷B文档格式.docx
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请写出你的猜想,不需证明.
3.
(1)如图1,在△ABC中,BA=BC,D,E是AC边上的两点,且满足∠DBE=
∠ABC(0°
<∠CBE<∠
ABC).以点B为旋转中心,将△BEC按逆时针旋转∠ABC,得到△BE′A(点C与点A重合,点E到点E′处)连接DE′,求证:
DE′=DE.
(2)如图2,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°
,D,E是AC边上的两点,且满足∠DBE=
<∠CBE<45°
).求证:
DE2=AD2+EC2.
4.如图,在△ABC中,∠ABC=45°
,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,F为BC中点,BE与DF,DC分别交于点G,H,∠ABE=∠CBE.
(1)求证:
BH=AC;
(2)求证:
BG2﹣GE2=EA2.
5.(2012•南充)在Rt△POQ中,OP=OQ=4,M是PQ的中点,把一三角尺的直角顶点放在点M处,以M为旋转中心,旋转三角尺,三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B.
MA=MB;
(2)连接AB,探究:
在旋转三角尺的过程中,△AOB的周长是否存在最小值?
若存在,求出最小值;
若不存在,请说明理由.
6、
(1)边长为连续整数的直角三角形存在吗?
如果存在,有多少个?
(2)边长为连续整数的钝角三角形存在吗?
(3)边长为连续整数的锐角三角形存在吗?
7、如图,在△ABC中,∠BAC=45°
,AD⊥BC于点D,BD=3,CD=2,求△ABC的面积。
海伦公式:
(2005•台州)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”,即已知三角形的三边长,求它的面积.用现代式子表示即为:
…①(其中a、b、c为三角形的三边长,s为面积).
而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式:
s=
…②(其中p=
.)
(1)若已知三角形的三边长分别为5,7,8,试分别运用公式①和公式②,计算该三角形的面积s;
(2)你能否由公式①推导出公式②?
请试试.
2014年10月09日tfwangdan的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共1小题)
考点:
勾股定理的应用.菁优网版权所有
分析:
根据题意由勾股定理得出关于AC,BC,a,b的等式,再利用2AC﹣a<2BC+b,得出a>b.
解答:
解:
∵AC=BC,当梯子的顶端A下滑a米时,梯足B沿CB方向滑动了b米,
∴CD=AC﹣a,EC=BC+b=AC+b,
∴AC2+BC2=(AC﹣a)2+(AC+b)2,
∴2AC•a﹣a2=2BC•b+b2,
∴a(2AC﹣a)=b(2BC+b),
∵AC=BC,
∴2AC﹣a<2BC+b,
∴a>b,
故选:
点评:
本题考查了勾股定理在实际生活中的应用,本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键.
二.解答题(共5小题)
2.(2006•大兴安岭)已知∠AOB=90°
旋转的性质;
全等三角形的性质;
全等三角形的判定;
勾股定理.菁优网版权所有
专题:
探究型.
(1)CD与OA垂直时,根据勾股定理易得OC与OD、OE的关系,将所得的关系式相加即可得到答案.
(2)当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时,易得△CKD≌△CHE,进而可得出证明;
判断出结果.解此题的关键是根据题意找到全等三角形或等价关系,进而得出OC与OD、OE的关系;
最后转化得到结论.
(1)当CD与OA垂直时,
∵△CDO为Rt△,
∴OC=
,
∴
由题意得四边形ODCE是正方形,
∴OD+OE=OD+OD=2OD,
∴OD+OE=
.
(2)过点C分别作CK⊥OA,垂足为K,CH⊥OB,垂足为H.
∵OM为∠AOB的角平分线,且CK⊥OA,CH⊥OB,
∴CK=CH,∠CKD=∠CHE=90°
又∵∠1与∠2都为旋转角,
∴∠1=∠2,
∴△CKD≌△CHE,
∴DK=EH,
∴OD+OE=OD+OH+EH=OD+OH+DK=OH+OK.
由
(1)知:
OH+OK=
(3)结论不成立.
过点C分别作CK⊥OA,
CH⊥OB,
∵OC为∠AOB的角平分线,且CK⊥OA,CH⊥OB,
又∵∠KCD与∠HCE都为旋转角,
∴∠KCD=∠HCE,
∴OE﹣OD=OH+EH﹣OD=OH+DK﹣OD=OH+OK,
∴OD,OE,OC满足
本题考查旋转的性质:
旋转变化前后,对应线段、对应角分别相等,图形的大小、形状都不改变,两组对应点连线的交点是旋转中心.
3.(2012•宿迁)
(1)如图1,在△ABC中,BA=BC,D,E是AC边上的两点,且满足∠DBE=
ABC).以点B为旋转中心,将△BEC按逆时针旋转∠ABC,得到△BE′A(点C与点A重合,点E到点E′处)连接DE′,
求证:
).
全等三角形的判定与性质;
压轴题;
(1)先根据∠DBE=
∠ABC可知∠ABD+∠CBE=∠DBE=
∠ABC,再由图形旋转的性质可知BE=BE′,∠ABE′=∠CBE,故可得出∠DBE′=∠DBE,由全等三角形的性质即可得出△DBE≌△DBE′,故可得出结论;
(2)把△CBE逆时针旋转90°
,由于△ABC是等腰直角三角形,故可知图形旋转后点C与点A重合,∠E′AB=∠BCE=45°
,所以∠DAE′=90°
,由
(1)证DE=DE′,再根据勾股定理即可得出结论.
(1)证明:
∵∠DBE=
∠ABC,
∴∠ABD+∠CBE=∠DBE=
∵△ABE′由△CBE旋转而成,
∴BE=BE′,∠ABE′=∠CBE,
∴∠DBE′=∠DBE,
在△DBE与△DBE′中,
∵
∴△DBE≌△DBE′,
∴DE′=DE;
(2)证明:
如图所示:
把△CBE逆时针旋转90°
,连接DE′,
∵BA=BC,∠ABC=90°
∴∠BAC=∠BCE=45°
∴图形旋转后点C与点A重合,CE与AE′重合,
∴AE′=EC,
∴∠E′AB=∠BCE=45°
∴∠DAE′=90°
在Rt△ADE′中,DE′2=AE′2+AD2,
∵AE′=EC,
∴DE′2=EC2+AD2,
同
(1)可得DE=DE′,
∴DE′2=AD2+EC2,
∴DE2=AD2+EC2.
本题考查的是图形的旋转及勾股定理,熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键.
线段垂直平分线的性质;
证明题.
(1)根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠ABC,∠ABE=∠DCA,推出DB=CD,根据ASA证出△DBH≌△DCA即可;
(2)根据DB=DC和F为BC中点,得出DF垂直平分BC,推出BG=CG,根据BE⊥AC和∠ABE=∠CBE得出AE=CE,在Rt△CGE中,由勾股定理即可推出答案.
证明:
(1)∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°
∵∠ABC=45°
∴∠BCD=180°
﹣90°
﹣45°
=45°
=∠ABC
∴DB=DC,
∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°
∴∠A+∠ACD=90°
,∠A+∠HBD=90°
∴∠HBD=∠ACD,
∵在△DBH和△DCA中,
∴△DBH≌△DCA(ASA),
∴BH=AC.
(2)连接CG,
由
(1)知,DB=CD,
∵F为BC的中点,
∴DF垂直平分BC,
∴BG=CG,
∵∠ABE=∠CBE,BE⊥AC,
∴EC=EA,
在Rt△CGE中,由勾股定理得:
CG2﹣GE2=CE2,
∵CE=AE,BG=CG,
∴BG2﹣GE2=EA2.
本题考查了勾股定理,等腰三角形性质,全等三角形的性质和判定,线段的垂直平分线的性质的应用,注意:
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,等腰三角形具有三线合一的性质,主要考查学生运用定理进行推理的能力.
勾股定理;
等腰直角三角形.菁优网版权所有
代数几何综合题;
压轴题.
(1)过点M作ME⊥OP于点E,作MF⊥OQ于点F,可得四边形OEBF是矩形,根据三角形的中位线定理可得ME=MF,再根据同角的余角相等可得∠AME=∠BMF,再利用“角边角”证明△AME和△BMF全等,根据全等三角形对应边相等即可证明;
(2)根据全等三角形对应边相等可得AE=BF,设OA=x,表示出AE为2﹣x,即BF的长度,然后表示出OB=2+(2﹣x),再利用勾股定理列式求出AM
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