立方差公式Word文档格式.docx
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立方和公式及其推广:
(1)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
(2)an+bn=(a+b)[a(n-1)-a(n-2)×
b+...+(-1)^(r-1)×
a^(n-r)×
b^(r-1)+...+b^(n-1)](n为大于零的奇数,r为中括号内项的序数)(后面括号中各项式的幂之和都为n-1)。
an表示a的n次方。
字母表达
立方和公式
三项立方和公式
推导过程:
完全立方公式
(a-b)³
=a³
+3ab²
-3a²
b-b³
立方和累加
正整数范围中
注:
可用数学归纳法证明
2公式证明编辑
迭代法一
我们知道:
0次方和的求和公式
,即
1次方和的求和公式
2次方和的求和公式
——平方和公式,此公式可由同种方法得出,取公式
,迭代即得。
具体如下:
(k+1)3
-k3
=(k3
+3k2
+3k+1)-k3
=3k2
+3k+1
利用上面这个式子有:
23
-13
=3×
12
+3×
1+1
33
-23
22
2+1
43
-33
32
3
+1
53
-43
42
4+1
……
(n+1)3
-n3
n2
+3n+1
把上述各等式左右分别相加得到:
(n+1)3-13
(12+22+32+……+n2)+3×
(1+2+3+……+n)+n×
1
n3
+3n2
+3n+1-1=3×
(12+22+32+……+n2)+3×
n(n+1)/2+n
(1)
其中12
+22
+32
+……+n2
=n(n+1)(2n+1)/6
代入
(1)式,整理後得13
+23
+33
+……+n3=[n(n+1)/2]2
迭代法二
取公式:
系数可由杨辉三角形来确定
那么就得出:
…………⑴
…………⑵
…………⑶
…………
…………(n).
于是⑴+⑵+⑶+…+(n)有
左边=
右边=
把以上这已经证得的三个公式代入,
得
移项后得
等号右侧合并同类项后得
即
推导完毕。
排列组合法
设数列{
}=n(n+1)(n+2),其n项和为
,且设
=
+
+…+
,则
=1×
(1+1)×
(1+2)+2×
(2+1)×
(2+2)+…+n(n+1)(n+2)
+3
+2
+3×
+2×
+n(n+1)
又
(
)
=…
=6
∴
由此得
。
[1-2]
因式分解证明
3几何验证编辑
图象化立方和公式
透过绘立体的图像,也可验证立方和。
根据右图,设两个立方,总和为:
把两个立方体对角贴在一起,根据虚线,可间接得到:
要得到
,可使用
的空白位置。
该空白位置可分割为3个部分:
·
把三个部分加在一起,便得:
之后,把
减去它,便得:
公式发现两个数项皆有一个公因子,把它抽出,并得:
可透过完全平方公式,得到:
这样便可证明:
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- 关 键 词:
- 立方 公式
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